שיעור - סימטריה - מבוא

סימטרייה היא תכונה של צורה.

צורה היא סימטרית, אם אפשר להעתיק אותה על עצמה על ידי שיקוף, הזזה או סיבוב.

טרנספורמציות איזומטריות ( איזומטרית=שוות מידה) הן העתקות של המישור על עצמו השומרות על מרחקים.

בהעתקות אלה המרחקים נשמרים, ולכן כל קטע יועתק תמיד לקטע השווה לו באורכו.

הפירוש האינטואיטיבי של תכונה זו הוא שהצורות המועתקות אינן משתנות (לא ב"צורתן" ולא ב"גודלן").

העתקת שיקוף

השיקוף בישר y הוא העתקה של כל נקודה במישור אל "תמונת הראי" שלה ביחס לישר y.

צורות מועתקות אל "תמונת הראי" שלהן, שהרי הן מורכבות מנקודות.

כל נקודה מועתקת ל"תמונת הראי" שלה,

למשל: A מועתקת ל–A’ ,

B מועתקת ל– B’,

ובסך הכול מתקבלת צורת הענן החופפת בדיוק לענן המקורי.

העתקת סיבובית

העתקת הסיבוב מסובבת את כל המישור סביב נקודה מסוימת (הנקראת נקודת הסיבוב) בזווית מסוימת (הנקראת זווית הסיבוב).

כל הנקודות במישור מסתובבות סביב אותה נקודה ובאותה זווית.

את העתקת הסיבוב מאפיינים אפוא שני נתונים: נקודת הסיבוב וזווית הסיבוב.

O – היא נקודת הסיבוב

α - היא זווית הסיבוב

כל הנקודות של הצורה מסתובבות סביב O בזווית 𝛼

העתקת הסיבוב מסובבת את כל המישור סביב נקודה אחת.

נקודה זו נקראת, כאמור, נקודת הסיבוב.

נקודה זו נשארת במקומה במהלך הסיבוב, ולכן היא משמשת נקודת שֶבֶת של ההעתקה.

כאשר מסובבים צורה, נקודת הסיבוב יכולה להיות מחוץ לצורה, עליה או בתוכה.

כאשר נקודה A מסתובבת סביב מרכז O ומגיעה אל התמונה A’, מידת הסיבוב שלה היא מידת הזווית AOA’.

במתמטיקה נהוג לראות בזווית הסיבוב זווית בעלת כיוון. כאשר התנועה היא נגד כיוון מחוגי השעון, זווית הסיבוב מוגדרת זווית חיובית. כאשר התנועה היא עם כיוון השעון, זווית הסיבוב מוגדרת זווית שלילית.

העתקת הזזה

העתקת ההזזה ”מסיעה" את כל נקודות המישור בכיוון מסוים ובמידת אורך מסוימת.

כיוּון ההזזה ומרחק ההזזה נקבעים לפי חץ ההזזה.

אפשר לתאר את חץ ההזזה כ"פקודה" שלפיה מבצעים את ההזזה.

כלומר, ההזזה מעתיקה את כל נקודות המישור כך:

כל הנקודות מועתקות באותו כיוון - הכיוון של חץ ההזזה.

כל הנקודות זזות באותה מידת אורך,

כלומר, המרחק בין כל נקודה לבין תמונתה (הנקודה המתקבלת ממנה לאחר ההזזה) הוא קבוע ושווה לאורך החץ הנתון.

הערות להגדרות 

כל ההעתקות האלה הן העתקות של נקודות. העתקה של צורה (סיבוב, הזזה או שיקוף שלה) מתקבלת מהעתקת כל הנקודות המרכיבות אותה.

כל ההעתקות האלה פועלות על כל נקודות המישור. לעתים קרובות אנחנו מתעניינים בהעתקה של צורה מסוימת, אבל יש לזכור שיחד אתה נעות גם כל שאר נקודות המישור, גם אם אינן מסומנות באופן מפורש.

נזכיר את המרכיבים החשובים של כל אחת מן ההעתקות:

בשיקוף - ישר השיקוף

בהזזה - כיוון ההזזה ומידת ההזזה (או בקיצור: וקטור ההזזה)

בסיבוב - נקודת הסיבוב וזווית הסיבוב.

כל שינוי באחד המרכיבים של העתקה מסוימת יוצר העתקה אחרת, ולכן יש בעצם אינסוף העתקות שיקוף אפשריות, אינסוף העתקות הזזה אפשריות ואינסוף העתקות סיבוב אפשריות.

נקודות שֶבֶת הן נקודות הנשארות במקומן בהעתקה.

בשיקוף - כל הנקודות על קו השיקוף הן נקודות שבת

בסיבוב (לא זהותי, כלומר שאינו סיבוב ב- 360° או בכפולות של 360°) - רק נקודת הסיבוב היא נקודת שבת.

בהזזה (לא זהותית, כלומר שאינה בחץ שאורכו 0) - אין כלל נקודות שבת.

הגדרות

צורה מישורית נקראת סימטרית ביחס לציר ה-y ,

אם לכל נקודה (x,y) השייכת לצורה זו, גם הנקודה (-x,y) שייכת לה.

צורה מישורית נקראת סימטרית ביחס לציר ה-x ,

אם לכל נקודה (x,y) השייכת לצורה זו, גם הנקודה (x,-y) שייכת לה.

צורה מישורית נקראת סימטרית ביחס לראשית הצירים,

אם לכל נקודה (x,y) השייכת לצורה זו, גם הנקודה (-x,-y) שייכת לה.