שיעור - בעיות קיצון מינימום ומקסימום

בעיות קיצון

האפשרות למצוא את הפתרון הטוב ביותר מבין מגוון פתרונות אפשריים לבעיה נתונה היא אחד הביטויים לעצמתה של המתמטיקה.

הכלים של החשבון הדיפרנציאלי הם מן הכלים המרכזיים בהשגת מטרה זו.

בעיות קיצון עונות על השאלה כיצד לבחור מבין כל האפשרויות את האפשרות המקסימלית.

בעיות קיצון הן בעיות בהן עלינו למצוא עבור איזה ערך של x מתקבל גודל מקסימלי או מינימלי כלשהו (שטח, נפח, אורך וכו').

בעיות קיצון יכולות להופיע בנושאים שונים:

בגיאומטריה, באינטגרלים, בבעיות מילוליות ובגיאומטריה אנליטית.

כל המתמטיקאים הגדולים עסקו בבעיות קיצון.

הנתונים והמשתנים המופעים בבעיות מינימום ומקסימום

1. נתון או נתונים קבועים.
2. שני משתנים (אפשר לסמנם ב-x ו- z) או יותר הקשורים זה לזה באמצעות הנתון הקבוע.
3. משתנה נוסף (אפשר לסמנו ב-y), זהו הביטוי עבורו רוצים למצוא את המינימום או המקסימום.

דוגמא לבעיית מינימום-מקסימום:

מבין כל המלבנים בעלי היקף של 20 ס"מ יש למצוא את צלעותיו ושטחו של המלבן בעל השטח המקסימלי.

השלבים בבעיות קיצון

1. קביעת נעלמים: נסמן ב- x את אחד המשתנים בשאלה, ניעזר בנתונים ונבטא באמצעות x את המשתנים הנוספים המופיעים בשאלה.
2. בניית פונקציית המטרה: נזהה את הפונקציה שעבורה יש למצוא את המינימום או המקסימום ונבטא אותה באמצעות x בלבד.
3. מציאת הנקודות החשודות כנקודות קיצון, על ידי גזירת פונקציית המטרה, והשוואת הנגזרת לאפס. ונמצא את ערכי x שעבורם מקבלת הפונקציה מינימום או מקסימום.
4. קביעת סוג הנקודה (מינימום או מקסימום) בעזרת הנגזרת השנייה או באמצעות טבלה.
5. בדיקה מחדש – מה ביקשו בשאלה? יש לרשום תשובה בהתאם לנקודת הקיצון שמצאנו. במידת הצורך, לחשב את הערך המינימלי או המקסימלי

שאלה נוספת

אני רוצה לבנות חצר מלבנית לכלב שלי גיזמו, החצר תהיה צמודה לקיר ארוך בקצה החצר.

קניתי גליל גדר רשת באורך 12 מטר.

אחת מצלעות המלבן (החצר של גיזמו) היא קיר,

ולכן הגדר צריכה להספיק לשלוש צלעות של מלבן.

מהו השטח הגדול ביותר של חצר שאני יכולה לבנות בדרך זו?