תרגיל 1 בעיות מינימום ומקסימום מספרים

סכום של שני מספרים הוא 8. מצא את שני המספרים, אם נתון שסכום ריבועיהם מינימלי.

שלב 1

קביעת נעלמים: נסמן ב- x את אחד המספרים.

מכיוון שסכום המספרים הוא 8, נסמן את המספר השני: 8-x

שלב 2

בניית פונקציית המטרה:

כעת נרכיב פונקציית מטרה המתארת את סכום ריבועיהם של שני המספרים:

שלב 3

מציאת הנקודות החשודות כנקודות קיצון,

על ידי גזירת פונקציית המטרה, והשוואת הנגזרת לאפס

שלב 4

קביעת סוג הנקודה

ניעזר בנגזרת השנייה, ונראה כי: f’’(x)=4>0.

הנגזרת השנייה חיובית, ומכאן שהנקודה x=4 היא נקודת מינימום.

שלב 5

בדיקה מחדש – מה ביקשו בשאלה?

נתבקשנו למצוא את שני המספרים. המספר הראשון הוא x ולכן ערכו 4,

המספר השני הוא 8-x ולכן גם ערכו הוא 4.

גילינו כי מבין כל המספרים האפשריים שסכומם הוא 8,

סכום ריבועיהם של 4 ו-4 הוא המינימלי ביותר