תחומי קעירות של פונקציה ונקודת פיתול

פונקציה f(x), אשר גזירה בתחום נקראת קעורה כלפי מעלה בתחום זה

אם הגרף של f(x) בתחום זה נמצא כולו מעל לכל ישר המשיק לגרף,

למעט נקודת ההשקה (שהיא משותפת למשיק ולגרף).

פונקציה f(x), אשר גזירה בתחום נקראת קעורה כלפי מטה בתחום זה

אם הגרף של f(x) בתחום זה נמצא כולו מתחת לכל ישר המשיק לגרף,

למעט נקודת ההשקה (שהיא משותפת למשיק ולגרף).

 

נתונה פונקציה f(x) ונתונה נקודה x_1 שבה יש לפונקציה משיק.

פונקציה קעורה כלפי מעלה – אם קיימת סביבה של הנקודה x_1 עבורה גרף הפונקציה נמצא מעל למשיק בנקודה x_1 אז הפונקציה f(x) קעורה כלפי מעלה בנקודה הנ"ל.

פונקציה קעורה כלפי מטה – אם קיימת סביבה של הנקודה x_1 עבורה גרף הפונקציה נמצא מתחת למשיק בנקודה x_1 אז הפונקציה f(x) קעורה כלפי מטה בנקודה הנ"ל.

נקודת פיתול – אם בנקודה x_1 המשיק לגרף הפונקציה עובר מצד אחד של גרף הפונקציה לצד השני אז הנקודה x_1 נקראת נקודת פיתול.  מעבר מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה או להיפך.

 

נניח שנתונה פונקציה f(x) המוגדרת בסביבת הנקודה x_1 וידוע כי בנקודה x_1 קיימת לפונקציה נגזרת שנייה f′′(x_1):

(1) אם f^′′ (x_1 )>0, אז הפונקציה קעורה כלפי מעלה ∪ בנקודה x_1.

אם בנקודה x_1 הנגזרת השנייה חיובית, אז הפונקציה קעורה כלפי מעלה ∪ בנקודה זו.

(2) אם f^′′ (x_1 )<0, אז הפונקציה קעורה כלפי מטה ∩ בנקודה x_1.

אם בנקודה x_1 הנגזרת השנייה שלילית, אז הפונקציה קעורה כלפי מטה ∩ בנקודה זו.

 

תרגיל (1)

נתונה הפונקציה: y=x^3+3x^2-9x

מצא נקודות פיתול, תחומי קעירות כלפי מעלה ותחומי קעירות כלפי מטה

 

תרגיל (2)

נתונה הפונקציה: y=x^4-8x^3-30x^2+3x+8

מצא נקודות פיתול, תחומי קעירות כלפי מעלה ותחומי קעירות כלפי מטה

 

תרגיל (3)

נתונה הפונקציה: y=-x^4+4x^3-6x^2

מצא נקודות פיתול, תחומי קעירות כלפי מעלה ותחומי קעירות כלפי מטה

 

תרגיל (4) 

נתונה הפונקציה: \(y=\frac{4x-1}{x^2}\)

מצא תחום הגדרה, נקודות פיתול, תחומי קעירות כלפי מעלה ותחומי קעירות כלפי מטה

 

תרגיל (5)

נתונה הפונקציה: \(y=x\sqrt{x-3}\)

מצא תחום הגדרה, נקודות פיתול, תחומי קעירות כלפי מעלה ותחומי קעירות כלפי מטה

 
00:15:50
 

פרקים נוספים

OpenBook