מספרים מרוכבים בגרות קיץ מועד ב' 2017

במעגל שמרכזו בראשית הצירים במישור גאוס חסום משולש שווה צלעות ABC.

הקדקוד A מתאים למספר המרוכב z_1=a-√3∙a∙i (a>0 הוא פרמטר ממשי).

נתון: הקדקוד B נמצא ברביע הראשון.

א. הבע באמצעות a את המספרים המרוכבים z_2 ו- z_3 המתאימים לקדקודים

B ו- C בהתאמה.

נתון: z_3=(z_1^3)/4.

ב. מצא את a.

ג. המספר z_1^(6n+5) מתאים לנקודה P במישור גאוס. n הוא מספר שלם.

הנקודה O היא ראשית הצירים. הראה שהנקודה B נמצאת על הקרן OP.