572 בגרות חורף 2023 שאלה 1

נתונה אליפסה שמשוואתה \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{b^2}=1\) , b הוא פרמטר חיובי.

ידוע כי המוקדים של האליפסה נמצאים על ציר ה־ x .

נסמן את נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר ה־ y ב־ D1 ו־ D2 , את המוקד השמאלי של האליפסה נסמן ב־ F1 , ואת המוקד הימני שלה ב- F2.

א. (1) מצאו את הערך של b.

(2) חשבו את שטח הריבוע F1D1F2D2. 

הציבו במשוואת האליפסה \(b^2=4.5\),וענו על הסעיפים ב–ד.

הנקודה E היא נקודה כלשהי על האליפסה.

מחברים באמצעות קו ישר את המוקד השמאלי F1 עם הנקודה E וממשיכים את הקו הישר עד לנקודה M (ראו סרטוט), כך שמתקיים EM = EF2 .

ב. הוכיחו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות M הוא מעגל, ורשמו את משוואתו.

מזיזים את המעגל שמצאתם בסעיף ב ימינה ב־ \(\frac{3}{\sqrt2}\) יחידות, ומתקבל מעגל אחר.

מכפילים ב־ \(\frac{2}{3}\) את שיעור ה־ y של כל אחת מן הנקודות שעל המעגל האחר, ומתקבל עקום חדש.

ג. זהו את צורת העקום החדש, ומצאו את משוואתו.

נתון משולש ששניים מקודקודיו הם נקודות החיתוך של העקום החדש עם ציר ה־ x , והקודקוד הנוסף נמצא גם הוא על העקום החדש.

ד. מצאו את השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש. נמקו את תשובתכם.