571 בגרות חורף 2022 שאלה 2 סדרות

נתונה סדרה חשבונית A עולה שאיבריה הם \(a_1,a_2,a_3,...\) והפרשה d .
מסמנים ב־ Sn את סכום n האיברים הראשונים בסדרה A , לכל n טבעי.
מגדירים סדרה נוספת, B , שאיבריה הם \(b_1,b_2,b_3,...\) . איברי הסדרה B מקיימים \(b_n=S_{n+1}-S_n\) ,
לכל n טבעי.
א. (1) האם הסדרה B היא סדרה חשבונית? נמק.
(2) האם הסדרה B זהה לסדרה A ? נמק.
מסמנים ב־ Tn את סכום n האיברים הראשונים בסדרה B , לכל n טבעי.
ב. הוכח כי לכל n טבעי זוגי מתקיים:

\(T_n=\frac{(b_1+b_2)(b_1-b_2)+(b_3+b_4)(b_3-b_4)+...+(b_{n-1}+b_n)(b_{n-1}-b_n)}{-d}\)

נתון: \(b_1^2-b_2^2+b_3^2-b_4^2+...+b_{39}^2-b_{40}^2=-95\)

\(T_5=-20\)

ג. חשב את 1b ואת d( אפשר להיעזר בסעיף ב(.
מחברים בזה אחר זה את איברי הסדרה A הנמצאים במקומות האי־זוגיים, החל באיבר הראשון.
ד. מהו המספר המינימלי של איברים שיש לחבר באופן זה כדי שהסכום שיתקבל יהיה מספר חיובי שלם? נמק.