572 בגרות קיץ מועד א 2023 שאלה 3

נתונה המשוואה \(z^3=\frac{1}{z^3}\), z3 הוא מספר מרוכב. 

נתון גם כי המספר z0 הוא אחד מפתרונות המשוואה וכי הוא מיוצג על ידי נקודה הנמצאת ברביע הרביעי במישור גאוס.

א. מצאו את המספר המרוכב z0 .

הנקודות B,A ו־C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים המרוכבים \(di \cdot z_0,d\cdot z_0\) ו- \(d\cdot (z_0)^4\) בהתאמה, d>0 הוא פרמטר.

נתון כי שטח המשולש ABC הוא 6+5d .

ב. מצאו את הערך של d.

נגדיר: \(w=((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2})(1+i)\)

ג. מצאו את |w| ואת הארגומנט (הזווית) של w .

נתון כי המספר \(w^n\) (n הוא מספר טבעי) הוא מספר מדומה טהור, ונמצא מחוץ למעגל החוסם את המשולש ABC .

ד. מצאו את הערך המינימלי האפשרי של n.