572 בגרות קיץ מועד ב 2022 שאלה 2

נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC . נסמן: OC=w , OB=v , OA=u.
נתון: \(|w|=|v|=|u|\) ,\(\sphericalangle AOB=\sphericalangle BOC=\sphericalangle COA=90^\circ \) .

הנקודה H מקיימת s,t .OH=tu+sv+kw ו־k הםפרמטרים.

נתון כי OH מאונך לבסיס ABC של הפירמידה.

א. הוכיחוכי t=s=k .

הנקודה M נמצאת בבסיס ABC של הפירמידה, והיא נקודת המפגש של תיכוני הבסיס.

ב. הוכיחוכי OM= 1/3 u+ 1/3 v+ 1/3 w ,והסבירו מדוע OM הוא גובה לבסיס ABC של הפירמידה.

הנקודה P נמצאת על הישר , שעליו מונח הגובה לבסיס ABC .

ג. הביעו באמצעות u , v , w , את הווקטור OP שבעבורו נפח הפירמידה PABC כפול מנפח הפירמידה OABC (שתי אפשרויות).

ממקמים את הפירמידה OABC במערכת צירים. הנקודה O נמצאת בראשית הצירים, הנקודה A נמצאת על החלק החיובי של ציר ה־x, הנקודה B על החלק החיובי של ציר ה־y, והנקודה C על החלק החיובי של ציר ה־z.

נתון: |u|=a .

ד. מצאו את ההצגה הפרמטרית של הישר l, שעליו נמצא הקטע OP.

ה. הביעו באמצעות a את משוואת המישור ABC .

ו. נתון כי נפח הפירמידה OABC הוא 20 5/6 . חשבו את a .