572 בגרות קיץ מועד ב 2022 שאלה 5

נתונה פונקצייה f(x) המקיימת את התכונות האלה: הפונקצייה מוגדרת לכל x ורציפה, הפונקצייה היא אי־זוגית, הישר 0=y הוא אסימפטוטה של הפונקצייה, ולפונקצייה יש נקודת מינימום יחידה ששיעוריה הם \((-1,-a)\) , a הוא פרמטר חיובי.

א. סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקצייה f(x) .

נתונה הפונקצייה h(x)=ln(f(x)) .

ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה h(x) .

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקצייה h(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).

(3) מצאו את טווח הערכים של a שבעבורו גרף הפונקצייה h(x) חותך את ציר ה־ x בשתי נקודות.

(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה h(x) , אם ידוע שהגרף שלה חותך את ציר ה־ x בשתי נקודות.

נתון: \(f(x)=\frac{4x}{1+x^2}\)

g(x) היא פונקציייה המקיימת: g'(x)=f(x) וגם: g(0)=0.

ג. (1) מצאו את הפונקצייה g(x) .

(2) האם הפונקצייה g(x) היא זוגית, אי־זוגית או לא זוגית ולא אי־זוגית? נמקו.

לפניכם האינטגרל \(t>-5 , \int\limits_{-5}^t g(x)dx\)

ד. מהו הערך של t שבעבורו מתקיים \(2\cdot \int\limits_{-5}^t g(x)dx= \int\limits_{-5}^5 g(x)dx\) ? נמקו.