571 בגרות קיץ מועד א 2022 שאלה 2 סדרות

סדרה I היא סדרה הנדסית אין־סופית שאיבריה הם \(a_1,a_2,a_3,...\) ומנתה היא : \(9*r^2\)
נתון: \(0<r<1/3\)
בין כל שני איברים בסדרה I ִ הכניסו איבר נוסף, ונוצרה סדרה הנדסית חדשה יורדת, סדרה II , שאיבריה הם \(b_1,b_2,b_3,...\) ומנתה היא q .
א. (1) הביעו את q באמצעות r .
(2)  ַהסבירו מדוע שתי הסדרות I ו־ II מתכנסות.
נתון כי סכום סדרה II גדול פי 4/3 מסכום סדרה I
ב. חשבו את q .
נתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה II הוא 12 .
ג. ִמצאו את סכום כל האיברים של סדרה II במקומות שמתחלקים ב־5 (\(b_5,b_{10},b_{15},...\))
ד. מצאו בסדרה II את היחס בין האיבר החמישי לבין סכום כל האיברים שאחרי איבר זה.
ה. הוכיחו כי בכל סדרה הנדסית מתכנסת היחס בין איבר כלשהו לבין סכום כל האיברים שאחריו
אינו תלוי במיקום של האיבר בסדרה.