571 בגרות קיץ מועד ב 2022 שאלה 2 סדרות

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא an ומנתה היא q .
א. הוכיחו כי לכל n טבעי מתקיים \(a_1*a_{2n}=a_n*a_{n+1}\)
בעבור 2k האיברים הראשונים בסדרה A מתקיים כי מכפלת שני האיברים האמצעיים בסדרה שווה \(10,935*a_1\) .
נתון: \(a_{2k-2}=1,215\)
ב. מצאו את q( שתי אפשרויות(.
נתון: \(a_1=5\) .
ג. (1) קבעו אם הסדרה A היא סדרה עולה, סדרה יורדת או סדרה לא עולה ולא יורדת. נמקו את התשובה.
(2) מצאו את k .

מן הסדרה A בונים את הסדרה האין־סופית B באופן הזה:\(\frac{1}{a_2},\frac{1}{a_2},\frac{1}{a_3},...\)
ד. הוכיחו שהסדרה B היא סדרה הנדסית.
בסדרה B מחליפים את הסימן של כל האיברים במקומות האי־זוגיים
כך שמתקבלת הסדרה C שלפניכם: \(-\frac{1}{a_2},\frac{1}{a_2},-\frac{1}{a_3},...\)
ה. מצאו את סכום הסדרה C