571 בגרות חורף נבצרים 2022 שאלה 2 סדרות

נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם \(a_1,a_2,a_3,...\) ומנתה היא q . כל איברי הסדרה A שונים מאפס.

 היא סדרה הנדסית? הוכח את תשובתך.
א. האם הסדרה \(\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\frac{1}{a_3},...\) היא סדרה הנדסית? הוכח את תשובתך.
ב. (1) מסמנים ב־Sn את הסכום של n האיברים הראשונים של הסדרה A ( n טבעי(.

הוכח כי לכל n מתקיים: \(\frac{S_n}{a_1*a_n}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_m}\)
)2( נתון: \(q=3, a_1=1\)

סכום n האיברים הראשונים בסדרה A גדול פי 6561 מן הסכום: \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_m}\)
מצא את n .
הסדרה B מתקבלת מן הסדרה A על ידי הפיכת הסימנים של האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה A .
איברי הסדרה B הם\(b_1,b_2,b_3,...\)
נסמן ב־Tm את הסכום של m האיברים הראשונים של הסדרה B . נתון כי m הוא מספר טבעי אי־זוגי.

ג. נתונה נוסחה: \(\frac{T_m}{b_1*b_m}=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}-...+\frac{1}{a_m}\)
קבע אם הנוסחה הנתונה נכונה. הוכח את תשובתך.