בעיות קיצון כלכליות משתנה אחד מיחידות 3-4

בעיות המתארות סיפור על הכנסות והוצאות של גוף כלכלי מסוים.

ניעזר בהגדרת פונקציית הרווח= הכנסות פחות הוצאות ולאחר מכן נמצא את הכמות שבה הרווח מקסימלי או את הרווח המקסימלי.

סימונים

Q – כמות, מספר אי שלילי (0 וחיובי)

P – מחיר, בד"כ ליחידה אחת (חיובי)

TR(Q) – Total Revenue - פונקציית ההכנסה/הפדיון  = מחיר ליחידה * כמות מבוקשת

הכמות הנמכרת כפול המחיר ליחידה.

TR(Q)=P*Q

TC(Q) – Total Cost פונקציית העלות הכוללת (סך ההוצאות). לכל כמות תוצר Q היא מודיעה לנו, מהי העלות הכספית המינימלית ליצרן, הדרושה לייצור כמות זו.

AC(Q) – Average Cost – פונקציית העלות הממוצעת מתארת את העלות הממוצעת ליחידת תוצר. מקבלת ערכים חיוביים בלבד.

\(AC(Q)=\frac{TC(Q)}{Q}\)

MC(Q) – Marginal Cost פונקציית העלות השולית, היא הנגזרת של TC.

MC(Q)=TC'(Q)

MR(Q) – פונקציית הפדיון השולי, היא הנגזרת של TR.

MR(Q)=TR'(Q)

\(π(Q)=TR(Q)-TC(Q)\) פונקציית הרווח מוגדרת כהפרש בין תקבוליו לעלויותיו. זה איננו המספר פאי אלא פונקציה. רווח באנגלית הוא Profit אבל האות P מסמנת בד"כ מחיר Price ולכן נשתמש באות היוונית המתאימה לה פאי.

פונקציה זו היא סך ההכנסות פחחות סך כל ההוצאות.

\(Mπ(Q)=π'(Q)\) פונקציית הרווח השולי – הנגזרת של פונקציית הרווח

מציאת הרווח המקסימאלי

התנאי ההכרחי לרווח מקסימאלי הוא \(π' (Q)=0\). על פי כללי גזירה:

\(π'(Q)=TR'(Q)-TC'(Q)\)

נשווה לאפס ונקבל כי התנאי ההכרחי לרווח מקסימאלי הוא:

TR'(Q)=TC'(Q)

תנאי הכרחי שקול לרווח המקסימלי הוא: מכיוון שראינו ש: MC(Q)=TC'(Q) וגם MR(Q)=TR'(Q) אז:

MR(Q)=MC(Q)

מסקנה: בנקודת המקסימום של פונקציית הרווח המשיק לפידיון מקביל לעלות הכוללת.