כיתה ט' הסתברות

מבוא

1. הסתברות היא תחום תוכן העוזר בקבלת החלטות מושכלות. לעתים קרובות אדם נאלץ לקבל החלטות בתנאיי חוסר וודאות, ושיקולים הסתברותיים עוזרים לשקלל סיכויים וסיכונים לקבלת החלטות מיטביות.
2. בכיתה ח למדו התלמידים את המשמעות של ההסתברות הן כמדד למידת ההיתכנות שאדם מייחס להתרחשות מאורע, והן כשכיחות היחסית של המאורע כשחוזרים על אותו הניסוי מספר רב של פעמים. הם למדו לחשב הסתברויות של מאורעות בניסויים שבהם קיימת סימטריה ניכרת לעין בין כל תוצאות הניסוי, ולכן מניחים שכל התוצאות הן שוות הסתברות.
3. התכנים המרכזיים הנוספים בכיתה ט הם:
   1. הסתברות מותנית: כשנוסף מידע חלקי על תוצאת הניסוי אזי ההסתברות המיוחסת
           למאורע יכולה להשתנות.
   2. מושג האי-תלות והשימוש בו בחישוב הסתברויות.
   3. חישוב הסתברויות של איחוד וחיתוך של כמה מאורעות במקרים שבהם הנתונים
           מאפשרים זאת (מאורעות זרים, מאורעות בלתי תלויים, או מאורעות תלויים שבהם
           אפשר לחשב הסתברות מותנית).

מטרת הלימוד היא פיתוח אינטואיציה להתניה ואי-תלות, לצד המשך פיתוח יכולת החישוב. יש לגשת לפתרון שאלות בדרך אינטואיטיבית, ולהימנע מהצבה מכנית בנוסחאות.

א.   הסתברות מותנית

הסתברות משקפת את מידת ההיתכנות שאדם מייחס להתרחשות מאורע כשהוא מנצל באופן מושכל את מלוא המידע שברשותו. ההסתברות להתרחשות מאורע יכולה להשתנות כשהמידע שבידי האדם משתנה. להסתברות של מאורע כשידוע שמאורע אחר התרחש קוראים הסתברות מותנית.

דגשים:

1. יש להציג מגוון של דוגמאות שבהן שינוי במידע משנה את ההסתברות המיוחסת להתרחשות מאורע. בשלב ראשון על העיסוק להיות איכותני, ולהסתפק בקביעה אם המידע הנוסף הגדיל, הקטין או לא שינה את ההסתברות.
2. תוספת של מידע מצמצמת את התוצאות האפשריות שלהן אפשר לצפות, וכתוצאה מכך יש לשקלל מחדש את ההסתברויות שמיוחסות למאורעות שונים. אפשר להדגים תופעה זו באמצעות שכיחויות יחסיות. למשל: אם מטילים קובייה מספר רב של פעמים, השכיחות היחסית של התוצאה "4" תהיה קרובה ל- 1/6. אבל אם נתבונן רק באותן הטלות שבהן תוצאת ההטלה הייתה זוגית, הרי שהשכיחות  היחסית של התוצאה "4" תהיה קרובה ל- 1/3. מכאן שההסתברות לתוצאה "4" היא 1/6, אבל אם ידוע מראש שהתוצאה היא זוגית אזי ההסתברות לתוצאה "4" היא 1/3. במקרה זה נאמר: ההסתברות המותנית של התוצאה "4" כשידוע שהתוצאה היא זוגית היא 1/3.
3. יש לתרגל מגוון של דוגמאות שבהן אפשר לחשב באופן כמותי את השתנות ההסתברות כתוצאה ממידע נוסף.  

ב.   הסתברות של שני מאורעות
 

דגשים:

1. אם השכיחות היחסית של מאורע אחד (כשחוזרים על אותו הניסוי מספר רב של פעמים) היא a, ומבין כל הפעמים שבהם התקיים מאורע זה השכיחות היחסית של מאורע אחר היא b, אזי השכיחות היחסית של הפעמים שבהן התקיימו שני המאורעות יחדיו היא המכפלה ab. (יש לקשר בין עובדה זו ובין המשמעות של כפל שברים קטנים מ-1).
2. מסעיף 1 נובע כי ההסתברות ששני מאורעות יתרחשו יחדיו שווה למכפלת ההסתברות שהמאורע הראשון התרחש בהסתברות שהמאורע השני התרחש, כשזו מותנית בכך שהמאורע הראשון התרחש.
3. יש ללמוד לחשב על סמך סעיף 2 את ההסתברות ששני מאורעות יתרחשו יחדיו.
4. יש ללמוד למַדל ולארגן נתונים הסתברותיים באמצעות מודלים כדוגמת עץ ושטח, וללמוד להשתמש במודלים מגוונים לפתרון בעיות.
5. ההסתברות ששני מאורעות יתרחשו יחדיו אינה יכולה להיות גדולה מההסתברות הנפרדת של כל מאורע. יש לנמק עובדה זו הן באמצעות שיקולים אינטואיטיביים, והן בהסתמך על הקשר שבין הסתברות ששני מאורעות יתרחשו יחדיו והסתברות מותנית.

ג.   הסתברות של מאורעות זרים, הסתברות של מאורעות בלתי תלויים והסתברות של מאורעות תלויים

דגשים:

1. שני מאורעות הם זרים אם לא ייתכן ששניהם יתרחשו יחדיו.
2. שני מאורעות הם בלתי תלויים אם הידיעה על התרחשות האחד אינה משנה את ההסתברות להתרחשות האחר. שני מאורעות שאינם בלתי תלויים נקראים תלויים.
3. במצבים שבהם האקראיות של שני מאורעות היא ממקורות שונים המאורעות הם בלתי תלויים.
4. אם שני מאורעות הם זרים אזי ההסתברות שהאחד יתרחש כשידוע שהאחר התרחש היא אפס. מכאן נובע ש:
   א. המאורעות תלויים, כלומר הידיעה מראש שהאחד התרחש משפיעה על ההסתברות להתרחשותו של האחר
   ב. ההסתברות ששניהם יתרחשו יחדיו היא אפס.
5. אם שני מאורעות הם בלתי תלויים אזי ההסתברות שהאחד יתרחש כשידוע מראש שהאחר התרחש שווה להסתברות שהוא יתרחש גם ללא המידע על התרחשות המאורע האחר. נובע מכאן שההסתברות ששניהם יתרחשו יחדיו היא מכפלת ההסתברויות שלהם.
6. אם שני מאורעות הם זרים אזי ההסתברות שלפחות אחד מהם יתרחש היא סכום ההסתברויות שלהם. אם שני מאורעות אינם זרים אזי ההסתברות שלפחות אחד מהם יתרחש קטנה מסכום ההסתברויות שלהם.
7. הסתברות שלפחות אחד משני מאורעות יתרחש אינה יכולה להיות קטנה מההסתברות הנפרדת של כל אחד מהם.
8. יש לתרגל תכנים אלה באמצעות דוגמאות מחיי יומיום.
9. אפשר להרחיב תכונות אלה בעבור יותר משני מאורעות, ובפרט בעבור ניסויים חוזרים בלתי תלויים.