דגימה מתוך התפלגות נורמלית

אנו דנים במשתנה מקרי \(x ̅\) שהוא ממוצע המדגם מתוך משתנה מקרי בעל תוחלת μ וסטיית תקן

σ שהם  סימון מקובל לפרמטרים האמיתיים באוכלוסייה.

אנו דנים במ"מ \(x ̅\)   שהוא ממוצע המדגם מתוך מ"מ X (או אוכלוסייה), בעל תוחלת μ וסטיית תקן σ .

ראינו בדוגמא ש: \(E(x ̅ )=μ\)   ו- \(V(x ̅ )=\frac{σ^2}{n}\)     => \(σ_X ̅ =\frac{σ_X}{√n}\)

משפט:

בדגימת מדגם שגודלו n מתוך מ"מ נורמליX  בעל תוחלת μ ושונות σ,

יהיה ממוצע המדגם \(x ̅\)   גם הוא מ"מ נורמלי, בעל תוחלת μ ושונות \(σ^2/n\) .

כלומר: אם \(X \sim N(μ,σ^2 )\)  אזי \(Z_X\)  שהוא \(\frac{X-μ}{σ}\)  מתפלג אף הוא נורמלית עם ממוצע 0 וסטיית תקן 1, כלומר:  

\(Z_X=\frac{X-μ}{σ} \sim N(0,1)\)

באופן דומה, אם \(X ̅ \sim N(μ,σ^2/n)\)  אזי:

\(Z_X ̅ =\frac{X ̅-μ}{\frac{σ}{√n}} \sim N(0,1)\)

נדגים את התפלגות הדגימה של הממוצע בעזרת מדגם מאוכלוסיית משפחות מישוב חופית:

בישוב חופית 5000 משפחות שמהן ל- 500 משפחות 4 רכבים, ל-1500 משפחות 3 רכבים, ל-1250 משפחות 2 רכבים, ל-1000 משפחות רכב אחד ול-750 משפחות אין רכב כלל.

התפלגות מספר הרכבים של תושבי חופית היא:

ה. שתי משפחות מחופית נבחרו באופן מקרי ועם החזרה.

נסמן ב- \(X_1\)  את מספר הרכבים שיש למשפחה הראשונה,

וב- \(X_2\)  את מספר הרכבים שיש למשפחה השנייה שנבחרה.