דגימה מתוך התפלגות נורמלית

אנו דנים במשתנה מקרי $x ̅$ שהוא ממוצע המדגם מתוך משתנה מקרי בעל תוחלת μ וסטיית תקן

σ שהם  סימון מקובל לפרמטרים האמיתיים באוכלוסייה.

אנו דנים במ"מ $x ̅$   שהוא ממוצע המדגם מתוך מ"מ X (או אוכלוסייה), בעל תוחלת μ וסטיית תקן σ .

ראינו בדוגמא ש: $E(x ̅ )=μ$   ו- $V(x ̅ )=\frac{σ^2}{n}$     => $σ_X ̅ =\frac{σ_X}{√n}$

משפט:

בדגימת מדגם שגודלו n מתוך מ"מ נורמליX  בעל תוחלת μ ושונות σ,

יהיה ממוצע המדגם $x ̅$   גם הוא מ"מ נורמלי, בעל תוחלת μ ושונות $σ^2/n$ .

כלומר: אם $X \sim N(μ,σ^2 )$  אזי $Z_X$  שהוא $\frac{X-μ}{σ}$  מתפלג אף הוא נורמלית עם ממוצע 0 וסטיית תקן 1, כלומר:  

$Z_X=\frac{X-μ}{σ} \sim N(0,1)$

באופן דומה, אם $X ̅ \sim N(μ,σ^2/n)$  אזי:

$Z_X ̅ =\frac{X ̅-μ}{\frac{σ}{√n}} \sim N(0,1)$

נדגים את התפלגות הדגימה של הממוצע בעזרת מדגם מאוכלוסיית משפחות מישוב חופית:

בישוב חופית 5000 משפחות שמהן ל- 500 משפחות 4 רכבים, ל-1500 משפחות 3 רכבים, ל-1250 משפחות 2 רכבים, ל-1000 משפחות רכב אחד ול-750 משפחות אין רכב כלל.

התפלגות מספר הרכבים של תושבי חופית היא:

ה. שתי משפחות מחופית נבחרו באופן מקרי ועם החזרה.

נסמן ב- $X_1$  את מספר הרכבים שיש למשפחה הראשונה,

וב- $X_2$  את מספר הרכבים שיש למשפחה השנייה שנבחרה.