אורח מצב צפייה מבחן: התפלגות הדגימה ומשפט הגבול המרכזי
מספר שאלות: 50
ניקוד כולל: 500.00 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

📊 מושגי יסוד:
חוקר רוצה לבדוק את הגובה הממוצע של כל תושבי ישראל.

מהי האוכלוסייה במחקר זה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהי אוכלוסייה? 🔍

הסבר יומיומי:

🌍 אוכלוסייה = כל הפריטים שמעניינים אותנו

זה כמו לשאול: "על מי בדיוק אני רוצה לדעת?"

אם אני חוקר גובה של ישראלים -
כל הישראלים הם האוכלוסייה!

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

אוכלוסייה = כל תושבי ישראלכל נקודה = אדם אחדN = גודל האוכלוסייה (מיליוני אנשים)

שלב 3: הגדרה מתמטית 🎯

אוכלוסייה (Population):

קבוצת כל הפריטים או האנשים שעליהם רוצים להסיק מסקנות

מסומנת באות: N

פרמטרים של אוכלוסייה:
• ממוצע: μ (מיו)
• סטיית תקן: σ (סיגמא)

תשובה נכונה: כל תושבי ישראל

שאלה 2
10.00 נק'

📊 מושגי יסוד:
חוקר בחר 200 תלמידים מתוך כל תלמידי התיכון בארץ כדי לבדוק ממוצע ציונים.

מהו המדגם במחקר זה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהו מדגם? 🔍

הסבר יומיומי:

🔬 מדגם = קבוצה קטנה שבחרנו מתוך האוכלוסייה

זה כמו לטעום כפית מהסיר -
לא צריך לאכול את כל הסיר כדי לדעת מה הטעם!

המדגם מייצג את האוכלוסייה

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

אוכלוסייה = כל תלמידי התיכוןמדגםn = 200בחירההמדגם הוא חלק קטן מהאוכלוסייה

שלב 3: הגדרה מתמטית 🎯

מדגם (Sample):

תת-קבוצה של האוכלוסייה שנבחרה למחקר

מסומן באות: n

סטטיסטיקות של מדגם:
• ממוצע מדגם: x̄ (איקס עם קו)
• סטיית תקן מדגם: s

תשובה נכונה: 200 התלמידים שנבחרו

שאלה 3
10.00 נק'

📊 פרמטר וסטטיסטי:
הממוצע של כל האוכלוסייה מסומן ב-μ.
הממוצע של המדגם מסומן ב-x̄.

איזה מהבאים הוא פרמטר?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ההבדל המהותי 🔍

הסבר יומיומי:

🔒 פרמטר = מספר שמתאר את האוכלוסייה
זה מספר קבוע (אבל בדרך כלל לא ידוע לנו!)

📊 סטטיסטי = מספר שמתאר את המדגם
זה מספר משתנה (תלוי באיזה מדגם בחרנו)

שלב 2: טבלת השוואה 📊

פרמטר (אוכלוסייה)סטטיסטי (מדגם)ממוצע: μממוצע: x̄סטיית תקן: σסטיית תקן: sקבוע (לא ידוע)משתנה (מחושב)אותיות יווניות = פרמטרים!

שלב 3: כלל זכירה 🎯

טריק לזכירה:

🇬🇷 אות יוונית (μ, σ) = פרמטר (אוכלוסייה)
🔤 אות לטינית (x̄, s) = סטטיסטי (מדגם)

דוגמה:
• μ = 170 ס"מ (גובה ממוצע של כל הישראלים) - פרמטר
• x̄ = 172 ס"מ (גובה ממוצע של 100 אנשים שמדדנו) - סטטיסטי

תשובה נכונה: μ - ממוצע האוכלוסייה

שאלה 4
10.00 נק'

📊 התפלגות דגימה:
נניח שלוקחים הרבה מדגמים בגודל n מאותה אוכלוסייה, ומחשבים את הממוצע של כל מדגם.

מהי "התפלגות הדגימה של הממוצע"?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הרעיון המרכזי 🔍

הסבר יומיומי:

דמיינו שאתם עושים ניסוי:

1️⃣ לוקחים מדגם של 50 אנשים → מחשבים ממוצע גובה
2️⃣ לוקחים עוד מדגם של 50 אנשים → מחשבים ממוצע גובה
3️⃣ וחוזרים על זה הרבה פעמים...

התפלגות הדגימה = כל הממוצעים האלה ביחד!

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

התפלגות הדגימה של הממוצעאוכלוסייהμ, σמדגם 1: x̄₁מדגם 2: x̄₂מדגם 3: x̄₃⋮מדגם k: x̄ₖx̄התפלגות הדגימהשל ממוצעי המדגמיםכל הממוצעים x̄₁, x̄₂, x̄₃...יוצרים התפלגות חדשה!

שלב 3: הגדרה מתמטית 🎯

התפלגות הדגימה (Sampling Distribution):

ההתפלגות של סטטיסטי (כמו ממוצע) כאשר לוקחים כל המדגמים האפשריים בגודל n מאוכלוסייה

במילים פשוטות:
אם נקח אינסוף מדגמים ונחשב ממוצע לכל אחד -
נקבל התפלגות חדשה של כל הממוצעים האלה!

תשובה נכונה: התפלגות כל הממוצעים האפשריים של מדגמים

שאלה 5
10.00 נק'

📊 תכונות התפלגות הדגימה:
אם ממוצע האוכלוסייה הוא μ = 100,
מהי התוחלת (הממוצע) של התפלגות הדגימה של הממוצע?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: התכונה המדהימה 🔍

הסבר יומיומי:

🎯 כשלוקחים הרבה מדגמים ומחשבים ממוצע לכל אחד:

• חלק מהממוצעים יהיו קצת מעל μ
• חלק יהיו קצת מתחת ל-μ
• אבל בממוצע - נקבל בדיוק את μ!

הממוצע של הממוצעים = ממוצע האוכלוסייה!

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

x̄ (ממוצעי מדגמים)μ = 100x̄ = 98x̄ = 99x̄ = 101x̄ = 102E(x̄) = μתוחלת הממוצעים= ממוצע האוכלוסייה

שלב 3: נוסחה ומשמעות 🎯

התכונה הראשונה של התפלגות הדגימה:

E(X̄) = μ

משמעות:
התוחלת של ממוצע המדגם שווה לממוצע האוכלוסייה

למה זה חשוב?
זה אומר שממוצע המדגם הוא אומדן חסר הטיה (unbiased) לממוצע האוכלוסייה!

תשובה נכונה: 100

שאלה 6
10.00 נק'

📊 שגיאת התקן:
אם סטיית התקן של האוכלוסייה היא σ = 20 וגודל המדגם הוא n = 100,

מהי שגיאת התקן של ממוצע המדגם?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהי שגיאת התקן? 🔍

הסבר יומיומי:

📏 שגיאת התקן = כמה הממוצעים של מדגמים שונים "מתפזרים" סביב μ

• אם שגיאת התקן קטנה → הממוצעים קרובים ל-μ (מדויק!)
• אם שגיאת התקן גדולה → הממוצעים מפוזרים (פחות מדויק)

ככל שהמדגם גדול יותר - שגיאת התקן קטנה יותר!

שלב 2: חישוב 📊

נוסחת שגיאת התקן:SE = σ / √nהצבה בנוסחה:SE = 20 / √100SE = 20 / 10 = 2

שלב 3: המחשה גרפית 🎯

n=10, SE=6.3n=100, SE=2μמדגם קטןמדגם גדול

שלב 4: משמעות 💡

מה למדנו?

✅ שגיאת התקן = 2 אומר שממוצעי המדגמים בדרך כלל נמצאים
במרחק של כ-2 יחידות מ-μ

✅ מדגם של 100 מדויק פי 10 ממדגם של 1!
(כי √100 = 10)

תשובה נכונה: 2

שאלה 7
10.00 נק'

📊 גודל המדגם:
מה קורה לשגיאת התקן של ממוצע המדגם כשמגדילים את גודל המדגם פי 4?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הקשר עם השורש 🔍

הסבר יומיומי:

🔑 המפתח נמצא בנוסחה: SE = σ/√n

שימו לב: n נמצא תחת שורש!

לכן:
• אם n גדל פי 4 → √n גדל פי √4 = 2
• ואז SE קטן פי 2

כדי להקטין שגיאת התקן פי 2, צריך להגדיל את n פי 4!

שלב 2: דוגמה מספרית 📊

לפני:n = 25SE = σ/√25 = σ/5→n × 4אחרי:n = 100SE = σ/√100 = σ/10השוואה:σ/5 → σ/10 = קטן פי 2!

שלב 3: כלל הזהב 🎯

כלל חשוב לזכירה:

כדי להקטין את שגיאת התקן פי k,
צריך להגדיל את גודל המדגם פי k²

להקטין SE פי 2 → להגדיל n פי 4
להקטין SE פי 3 → להגדיל n פי 9
להקטין SE פי 10 → להגדיל n פי 100

תשובה נכונה: שגיאת התקן קטנה פי 2

שאלה 8
10.00 נק'

📊 צורת ההתפלגות:
באיזה מקרה התפלגות הדגימה של הממוצע תהיה נורמלית בוודאות?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שני מקרים שונים 🔍

מתי התפלגות הדגימה נורמלית?

🎯 מקרה 1: האוכלוסייה נורמלית
→ התפלגות הדגימה תמיד נורמלית (לכל n!)

🎯 מקרה 2: האוכלוסייה לא נורמלית
→ התפלגות הדגימה בקירוב נורמלית (רק אם n גדול מספיק)

רק במקרה 1 יש וודאות מלאה!

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

מקרה 1: אוכלוסייה נורמליתאוכלוסייה↓לכל nנורמלית ✓מקרה 2: אוכלוסייה לא נורמליתאוכלוסייה↓n ≥ 30בקירוב נורמליתוודאות מלאה רק במקרה 1!

שלב 3: סיכום 🎯

התנאים להתפלגות נורמלית:

✅ וודאות מלאה: אוכלוסייה נורמלית → התפלגות דגימה נורמלית לכל n

⚠️ קירוב (משפט הגבול המרכזי): אוכלוסייה כלשהי + n גדול מספיק → בקירוב נורמלית

תשובה נכונה: כשהאוכלוסייה המקורית מתפלגת נורמלית

שאלה 9
10.00 נק'

📊 סימונים:
אם X̄ הוא ממוצע המדגם, μ ממוצע האוכלוסייה, ו-σ סטיית התקן של האוכלוסייה,

איך מסמנים את התפלגות הדגימה של X̄?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק הסימון 🔍

הסבר הסימון:

📝 X̄ ~ N(μ, σ²/n) אומר:

• X̄ מתפלג נורמלית
• התוחלת היא μ (ממוצע האוכלוסייה)
• השונות היא σ²/n
• (ולכן סטיית התקן היא σ/√n)

שלב 2: למה כל תשובה אחרת שגויה 📊

✓ נכון:X̄ ~ N(μ, σ²/n)✗ X̄ ~ N(μ, σ²)שכחו לחלק ב-n✗ X̄ ~ N(0, 1)זה רק אחרי תקנון!✗ X̄ ~ N(μ, σ)σ במקום σ²/nזכרו: בהתפלגות נורמלית N(μ, σ²)הפרמטר השני הוא השונות (σ²), לא סטיית התקן!

שלב 3: סיכום הנוסחאות 🎯

התפלגות הדגימה של X̄:

X̄ ~ N(μ, σ²/n)

או באופן שקול:
• תוחלת: E(X̄) = μ
• שונות: Var(X̄) = σ²/n
• סטיית תקן (שגיאת תקן): SE = σ/√n

תשובה נכונה: X̄ ~ N(μ, σ²/n)

שאלה 10
10.00 נק'

📊 חישוב:
באוכלוסייה מסוימת הממוצע הוא μ = 50 וסטיית התקן היא σ = 15.
נדגמו n = 36 תצפיות.

מהי שגיאת התקן של ממוצע המדגם?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:

• ממוצע האוכלוסייה: μ = 50 (לא משפיע על שגיאת התקן)
• סטיית תקן האוכלוסייה: σ = 15
• גודל המדגם: n = 36

שלב 2: חישוב שגיאת התקן 📊

SE = σ / √nSE = 15 / √36SE = 15 / 6SE = 2.5

שלב 3: משמעות התוצאה 🎯

מה המשמעות?

שגיאת תקן של 2.5 אומרת:

• ממוצעי המדגמים "מתפזרים" סביב μ=50
• רוב הממוצעים יהיו במרחק של עד 2.5 יחידות מ-50
• כלומר: בדרך כלל בין 47.5 ל-52.5

תשובה נכונה: 2.5

שאלה 11
10.00 נק'

📊 משפט הגבול המרכזי (CLT):

מה קובע משפט הגבול המרכזי?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הרעיון המדהים 🔍

הסבר יומיומי:

🌟 משפט הגבול המרכזי הוא אחד המשפטים הכי חשובים בסטטיסטיקה!

הוא אומר:
לא משנה איך נראית האוכלוסייה המקורית -
אם נקח מדגמים גדולים מספיק ונחשב ממוצע,
ההתפלגות של הממוצעים תהיה נורמלית!

זה עובד גם אם האוכלוסייה מוזרה לגמרי!

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

משפט הגבול המרכזי - הקסם!אוכלוסיות שונות:אחידהאקספוננציאליתדו-שיאיתn גדול מספיקהתפלגות נורמלית!לא משנה מאיפההתחלתם -מגיעים לנורמלית!

שלב 3: ניסוח פורמלי 🎯

משפט הגבול המרכזי (Central Limit Theorem):

אם X₁, X₂, ..., Xₙ דגימה אקראית מאוכלוסייה עם תוחלת μ ושונות σ² סופית,

אזי כאשר n → ∞:

(X̄ - μ) / (σ/√n) → N(0,1)

בפועל: עבור n ≥ 30 הקירוב בדרך כלל מספיק טוב

תשובה נכונה: כשגודל המדגם גדול, התפלגות ממוצע המדגם מתקרבת לנורמלית

שאלה 12
10.00 נק'

📊 שימוש ב-CLT:
באיזה מקרה לא צריך להסתמך על משפט הגבול המרכזי כדי לדעת שהתפלגות X̄ נורמלית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ההבדל החשוב 🔍

שני מסלולים להתפלגות נורמלית:

🔵 מסלול 1 - ישיר:
אוכלוסייה נורמלית → התפלגות X̄ נורמלית בוודאות
(לא צריך CLT, עובד לכל n!)

🟠 מסלול 2 - CLT:
אוכלוסייה כלשהי + n גדול → התפלגות X̄ בקירוב נורמלית
(צריך CLT, רק כשn גדול מספיק)

שלב 2: תרשים החלטה 📊

האם האוכלוסייה נורמלית?כןלאX̄ נורמלית לכל n!לא צריך CLT ✓בדוק גודל מדגםהאם n ≥ 30?כןלאCLT עובד ✓לא ניתן להניח נורמליות

שלב 3: סיכום 🎯

מתי לא צריך CLT?

כשהאוכלוסייה המקורית כבר נורמלית!

במקרה זה, התפלגות X̄ נורמלית בדיוק (לא בקירוב)
וזה עובד לכל גודל מדגם - גם n=5 או n=10

תשובה נכונה: כשהאוכלוסייה המקורית מתפלגת נורמלית

שאלה 13
10.00 נק'

📊 גודל מדגם מינימלי:
מהו גודל המדגם המינימלי המקובל כדי להשתמש במשפט הגבול המרכזי?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: כלל האצבע 🔍

הסבר יומיומי:

📏 n ≥ 30 הוא "כלל האצבע" המקובל

למה דווקא 30?
• זה מספר שנמצא מספיק גדול לרוב ההתפלגויות
• אבל לא גדול מדי לצרכים מעשיים

זו הערכה מקובלת, לא חוק מדויק!

שלב 2: מתי צריך יותר או פחות 📊

גודל מדגם נדרש לפי צורת האוכלוסייהאוכלוסייה סימטריתn ≥ 15אוכלוסייה "רגילה"n ≥ 30אוכלוסייה מוטה מאודn ≥ 50+הכלל המקובל: n ≥ 30עובד לרוב המקרים המעשיים

שלב 3: סיכום 🎯

לסיכום:

✅ n ≥ 30 - הכלל המקובל והנפוץ ביותר

⚠️ חריגים:
• אוכלוסייה סימטרית - מספיק n ≈ 15-20
• אוכלוסייה מאוד מוטה - צריך n > 50
• אוכלוסייה נורמלית - כל n מספיק!

תשובה נכונה: n ≥ 30

שאלה 14
10.00 נק'

📊 תקנון:
אם X̄ ~ N(80, 16) (כאשר 16 היא השונות),

מהו הערך המתוקנן Z כאשר X̄ = 84?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים מהשאלה:

• X̄ ~ N(80, 16)
• תוחלת: μ = 80
• שונות: σ² = 16 → סטיית תקן: σ = √16 = 4
• הערך שנצפה: X̄ = 84

שלב 2: נוסחת התקנון 📊

נוסחת תקנון:Z = (X̄ - μ) / σהצבה:Z = (84 - 80) / 4Z = 4 / 4Z = 1

שלב 3: המשמעות 🎯

מה אומר Z = 1?

הערך X̄ = 84 נמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע

במילים פשוטות:
84 גדול מ-80 במרחק של 4
וסטיית התקן היא 4
לכן המרחק הוא בדיוק סטיית תקן אחת

תשובה נכונה: Z = 1

שאלה 15
10.00 נק'

📊 חישוב הסתברות:
ממוצע האוכלוסייה μ = 100, סטיית תקן σ = 20, גודל מדגם n = 100.

מה ההסתברות ש-X̄ > 102?

(נתון: P(Z < 1) = 0.8413)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים:
• μ = 100, σ = 20, n = 100

שגיאת התקן:
SE = σ/√n = 20/√100 = 20/10 = 2

שלב 2: תקנון 📊

תקנון:Z = (X̄ - μ) / SEZ = (102 - 100) / 2Z = 1

שלב 3: חישוב ההסתברות 🎯

01P(Z {"<"} 1) = 0.8413P(Z {">"} 1) = ?P(Z {">"} 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587

שלב 4: סיכום 💡

תהליך הפתרון:

1. חישבנו SE = 2
2. תקננו: Z = (102-100)/2 = 1
3. P(X̄ > 102) = P(Z > 1) = 1 - P(Z < 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587

תשובה נכונה: 0.1587

שאלה 16
10.00 נק'

📊 הסתברות דו-צדדית:
X̄ מתפלג נורמלית עם תוחלת 50 ושגיאת תקן 5.

מה ההסתברות ש-X̄ יהיה בין 45 ל-55?

(נתון: P(Z < 1) = 0.8413)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תקנון שני הערכים 🔍

נתונים: μ = 50, SE = 5

תקנון הגבול התחתון:
Z₁ = (45 - 50) / 5 = -5/5 = -1

תקנון הגבול העליון:
Z₂ = (55 - 50) / 5 = 5/5 = 1

שלב 2: המחשה גרפית 📊

-101P(-1 {"<"} Z {"<"} 1)X̄=45X̄=55

שלב 3: חישוב ההסתברות 🎯

חישוב:

P(45 < X̄ < 55) = P(-1 < Z < 1)

P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1)

מסימטריה: P(Z < -1) = 1 - P(Z < 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587

לכן:
P(-1 < Z < 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826

שלב 4: כלל 68-95-99.7 💡

כלל אמפירי לזכירה:

• 68% מהערכים נמצאים בטווח של ±1 סטיות תקן
• 95% מהערכים נמצאים בטווח של ±2 סטיות תקן
• 99.7% מהערכים נמצאים בטווח של ±3 סטיות תקן

התוצאה 0.6826 ≈ 68% מאשרת זאת!

תשובה נכונה: 0.6826

שאלה 17
10.00 נק'

📊 שימוש בטבלה:
X̄ מתפלג נורמלית עם תוחלת 200 ושגיאת תקן 10.

מה ההסתברות ש-X̄ < 180?

(נתון: P(Z < 2) = 0.9772)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תקנון 🔍

נתונים: μ = 200, SE = 10

תקנון:
Z = (180 - 200) / 10 = -20/10 = -2

אנחנו מחפשים: P(X̄ < 180) = P(Z < -2)

שלב 2: שימוש בסימטריה 📊

-202סימטריהP(Z{"<"}-2)P(Z{">"}2)

שלב 3: חישוב 🎯

שימוש בסימטריה:

P(Z < -2) = P(Z > 2)    (מסימטריה!)

P(Z > 2) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0.9772

P(Z < -2) = 0.0228

שלב 4: טריק לזכירה 💡

כלל הסימטריה:

P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a)

זה עובד כי ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב 0!

תשובה נכונה: 0.0228

שאלה 18
10.00 נק'

📊 ערך קריטי:
ממוצע האוכלוסייה μ = 500, סטיית תקן σ = 100, גודל מדגם n = 25.

מהו הערך x כך ש-P(X̄ > x) = 0.05?

(נתון: Z₀.₀₅ = 1.645)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים:
• μ = 500, σ = 100, n = 25

שגיאת התקן:
SE = σ/√n = 100/√25 = 100/5 = 20

שלב 2: מציאת הערך הקריטי 📊

μ=500x=?5%95%

שלב 3: חישוב x 🎯

הפיכת נוסחת התקנון:

אם P(X̄ > x) = 0.05, אז P(Z > z) = 0.05
מהטבלה: z = 1.645

מנוסחת התקנון:
z = (x - μ) / SE

1.645 = (x - 500) / 20

x - 500 = 1.645 × 20 = 32.9

x = 532.9

תשובה נכונה: 532.9

שאלה 19
10.00 נק'

📊 השפעת גודל המדגם:
מה קורה להסתברות P(|X̄ - μ| < k) כשמגדילים את גודל המדגם?
(כאשר k קבוע כלשהו)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ההיגיון 🔍

הסבר יומיומי:

כשמגדילים את n:
• שגיאת התקן SE = σ/√n קטנה
• ההתפלגות נהיית צרה יותר
• יותר ערכים נופלים קרוב ל-μ

לכן ההסתברות להיות בטווח קבוע גדלה!

שלב 2: המחשה גרפית 📊

השפעת גודל המדגם על ההתפלגותn = 25n = 100μ-kμμ+kn קטן: פחות שטח בטווחn גדול: יותר שטח בטווח

שלב 3: הוכחה מתמטית 🎯

למה ההסתברות גדלה?

P(|X̄ - μ| < k) = P(-k/SE < Z < k/SE)

כש-n גדל → SE קטן → k/SE גדל

טווח גדול יותר סביב 0 = הסתברות גדולה יותר!

תשובה נכונה: ההסתברות גדלה

שאלה 20
10.00 נק'

📊 CLT לסכום:
אם X₁, X₂, ..., Xₙ דגימה מאוכלוסייה עם תוחלת μ ושונות σ²,
מה התוחלת והשונות של הסכום S = X₁ + X₂ + ... + Xₙ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תכונות הסכום 🔍

הסבר יומיומי:

אם כל X יש תוחלת μ ו-n תצפיות...

🎯 תוחלת הסכום:
מחברים n פעמים את μ → E(S) = nμ

🎯 שונות הסכום:
שונות מתחברת (כשהמשתנים בלתי תלויים)
→ Var(S) = nσ²

שלב 2: השוואה לממוצע 📊

סכום S = ΣXᵢממוצע X̄ = S/nE(S) = nμE(X̄) = μVar(S) = nσ²Var(X̄) = σ²/n

שלב 3: הקשר ביניהם 🎯

הקשר בין סכום לממוצע:

X̄ = S/n

E(X̄) = E(S)/n = nμ/n = μ ✓

Var(X̄) = Var(S)/n² = nσ²/n² = σ²/n ✓

תשובה נכונה: E(S) = nμ, Var(S) = nσ²

שאלה 21
10.00 נק'

📊 חישוב עם סכום:
ציוני מבחן מתפלגים עם ממוצע 75 וסטיית תקן 10.
סכום ציונים של 36 תלמידים שנבחרו באקראי.

מהי התוחלת של הסכום?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:
• ממוצע ציון: μ = 75
• סטיית תקן: σ = 10
• מספר תלמידים: n = 36

מחפשים: E(S) = ?

שלב 2: חישוב 📊

E(S) = n × μE(S) = 36 × 75E(S) = 2700

שלב 3: משמעות 🎯

מה זה אומר?

בממוצע, סכום הציונים של 36 תלמידים יהיה 2700

זה הגיוני: 36 תלמידים × 75 נקודות בממוצע = 2700 נקודות

תשובה נכונה: 2700

שאלה 22
10.00 נק'

📊 סטיית תקן של סכום:
ציוני מבחן מתפלגים עם ממוצע 75 וסטיית תקן 10.
סכום ציונים של 36 תלמידים שנבחרו באקראי.

מהי סטיית התקן של הסכום?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת השונות 🔍

זכרו:

Var(S) = nσ²

לכן:
SD(S) = √(nσ²) = σ√n

שלב 2: חישוב 📊

SD(S) = σ × √nSD(S) = 10 × √36 = 10 × 6SD(S) = 60

שלב 3: השוואה 🎯

שימו לב להבדל:

• סטיית תקן של סכום: SD(S) = σ√n = 10×6 = 60
• שגיאת תקן של ממוצע: SE = σ/√n = 10/6 = 1.67

הסכום הרבה יותר "מפוזר" מהממוצע!

תשובה נכונה: 60

שאלה 23
10.00 נק'

📊 אומדן חסר הטיה:
למה ממוצע המדגם X̄ נחשב "אומדן חסר הטיה" (unbiased) לממוצע האוכלוסייה μ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהו אומדן חסר הטיה? 🔍

הסבר יומיומי:

🎯 אומדן חסר הטיה = אומדן שבממוצע "פוגע במטרה"

זה לא אומר שכל מדגם יתן בדיוק את μ!
אבל בממוצע על פני הרבה מדגמים - נקבל את μ

אין "נטייה" שיטתית לצד אחד

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

אומדן חסר הטיה vs אומדן מוטהחסר הטיהפזורים סביב μמוטהמוסטים מ-μ

שלב 3: הגדרה פורמלית 🎯

הגדרה:

אומדן θ̂ הוא חסר הטיה לפרמטר θ אם:

E(θ̂) = θ

עבור ממוצע המדגם: E(X̄) = μ ✓
לכן X̄ הוא אומדן חסר הטיה ל-μ

תשובה נכונה: כי E(X̄) = μ

שאלה 24
10.00 נק'

📊 עקביות של אומדן:
מה קורה לממוצע המדגם X̄ כשגודל המדגם n שואף לאינסוף?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חוק המספרים הגדולים 🔍

הסבר יומיומי:

🎲 דמיינו הטלת קובייה:

• 10 הטלות: ממוצע יכול להיות רחוק מ-3.5
• 100 הטלות: ממוצע קרוב יותר ל-3.5
• 1000 הטלות: ממוצע קרוב מאוד ל-3.5
• ∞ הטלות: ממוצע = בדיוק 3.5!

ככל שיש יותר נתונים - הממוצע מתקרב ל-μ!

שלב 2: המחשה גרפית 📊

μn=10n=50n=200n=1000n→∞התכנסות X̄ ל-μ כש-n גדל

שלב 3: ניסוח מתמטי 🎯

חוק המספרים הגדולים (Law of Large Numbers):

כש-n → ∞:

X̄ →ₚ μ

(X̄ מתכנס בהסתברות ל-μ)

אומדן שמתנהג כך נקרא אומדן עקבי (consistent)

תשובה נכונה: X̄ מתכנס לממוצע האוכלוסייה μ

שאלה 25
10.00 נק'

📊 CLT לפרופורציה:
בסקר של 400 אנשים, 55% תמכו בהצעה מסוימת.
אם הפרופורציה האמיתית באוכלוסייה היא p = 0.5,

מהי שגיאת התקן של פרופורציית המדגם p̂?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת שגיאת התקן לפרופורציה 🔍

נוסחה:

שגיאת התקן של פרופורציית המדגם:

SE(p̂) = √[p(1-p)/n]

שלב 2: חישוב 📊

נתונים:p = 0.5, n = 400חישוב:SE = √[0.5 × 0.5 / 400]SE = √[0.25 / 400]SE = √0.000625SE = 0.025

שלב 3: משמעות 🎯

מה זה אומר?

שגיאת תקן של 0.025 (או 2.5%) אומרת:

• פרופורציות מדגמים יתפזרו בד"כ בטווח של ±2.5% מ-p
• כלומר: בין 47.5% ל-52.5% לרוב
• הסקר מדויק למדי!

תשובה נכונה: 0.025

שאלה 26
10.00 נק'

📊 בעיית משקל:
משקל תפוחים מתפלג נורמלית עם ממוצע 150 גרם וסטיית תקן 20 גרם.
נבחרו 25 תפוחים באקראי.

מה ההסתברות שממוצע המשקל יעלה על 156 גרם?

(נתון: P(Z < 1.5) = 0.9332)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי נתונים וחישוב SE 🔍

נתונים:
• μ = 150 גרם, σ = 20 גרם, n = 25
• האוכלוסייה נורמלית → X̄ נורמלי בוודאות

שגיאת תקן:
SE = σ/√n = 20/√25 = 20/5 = 4 גרם

שלב 2: תקנון וחישוב 📊

תקנון:Z = (156-150)/4Z = 1.5חישוב הסתברות:P(X̄ {">"} 156) = P(Z {">"} 1.5)= 1 - P(Z {"<"} 1.5)= 1 - 0.9332= 0.0668

שלב 3: פרשנות 🎯

מה זה אומר?

יש סיכוי של כ-6.7% שממוצע משקל 25 תפוחים יעלה על 156 גרם

זה הגיוני - 156 הוא 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע

תשובה נכונה: 0.0668

שאלה 27
10.00 נק'

📊 בעיית זמן:
זמן השירות בבנק מתפלג עם ממוצע 8 דקות וסטיית תקן 3 דקות.
נבחרו 36 לקוחות באקראי.

מה ההסתברות שממוצע זמן השירות יהיה בין 7.5 ל-8.5 דקות?

(נתון: P(Z < 1) = 0.8413)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים: μ = 8, σ = 3, n = 36

שגיאת תקן:
SE = 3/√36 = 3/6 = 0.5 דקות

לפי CLT (n=36≥30): X̄ מתפלג בקירוב נורמלי

שלב 2: תקנון שני הגבולות 📊

גבול תחתון:
Z₁ = (7.5 - 8) / 0.5 = -0.5 / 0.5 = -1

גבול עליון:
Z₂ = (8.5 - 8) / 0.5 = 0.5 / 0.5 = 1

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

חישוב:

P(7.5 < X̄ < 8.5) = P(-1 < Z < 1)

= P(Z < 1) - P(Z < -1)
= 0.8413 - (1 - 0.8413)
= 0.8413 - 0.1587

= 0.6826

תשובה נכונה: 0.6826

שאלה 28
10.00 נק'

📊 בעיית ציונים:
ציוני בחינה מתפלגים נורמלית עם ממוצע 70 וסטיית תקן 15.
נדגמו 9 תלמידים.

מהי ההסתברות שממוצע ציוניהם יהיה נמוך מ-65?

(נתון: P(Z < 1) = 0.8413)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: האם ניתן להשתמש בנורמלית? 🔍

בדיקה:

• n = 9 (קטן מ-30!)
• אבל... האוכלוסייה מתפלגת נורמלית

✅ לכן X̄ מתפלג נורמלית בוודאות!
(לא צריך CLT כשהאוכלוסייה נורמלית)

שלב 2: חישוב 📊

שגיאת תקן:
SE = 15/√9 = 15/3 = 5

תקנון:
Z = (65 - 70) / 5 = -5/5 = -1

הסתברות:
P(X̄ < 65) = P(Z < -1) = 1 - P(Z < 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587

תשובה נכונה: 0.1587

שאלה 29
10.00 נק'

📊 בעיית ייצור:
מפעל מייצר ברגים שאורכם מתפלג עם ממוצע 5 ס"מ וסטיית תקן 0.2 ס"מ.
נבחרו 64 ברגים באקראי.

מה ההסתברות שממוצע האורך יהיה בין 4.95 ל-5.05 ס"מ?

(נתון: P(Z < 2) = 0.9772)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים: μ = 5, σ = 0.2, n = 64

שגיאת תקן:
SE = 0.2/√64 = 0.2/8 = 0.025 ס"מ

שלב 2: תקנון 📊

גבול תחתון:
Z₁ = (4.95 - 5) / 0.025 = -0.05 / 0.025 = -2

גבול עליון:
Z₂ = (5.05 - 5) / 0.025 = 0.05 / 0.025 = 2

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

חישוב:

P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2)

= 0.9772 - (1 - 0.9772)
= 0.9772 - 0.0228

= 0.9544

(זה מתאים לכלל 95%!)

תשובה נכונה: 0.9544

שאלה 30
10.00 נק'

📊 בעיית הכנסה:
ההכנסה החודשית הממוצעת באוכלוסייה היא 12,000 ₪ עם סטיית תקן 3,000 ₪.
נדגמו 100 אנשים.

מצא את הערך x כך ש-P(X̄ < x) = 0.95

(נתון: Z₀.₀₅ = 1.645)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים: μ = 12,000, σ = 3,000, n = 100

שגיאת תקן:
SE = 3000/√100 = 3000/10 = 300 ₪

שלב 2: מציאת ערך Z 📊

מחפשים: P(X̄ < x) = 0.95

לכן P(Z < z) = 0.95

מהטבלה: z = 1.645

שלב 3: חישוב x 🎯

הפיכת נוסחת התקנון:

z = (x - μ) / SE

1.645 = (x - 12000) / 300

x - 12000 = 1.645 × 300 = 493.5

x = 12,493.5 ₪

תשובה נכונה: 12,493.5 ₪

שאלה 31
10.00 נק'

📊 בעיית צריכת דלק:
צריכת דלק לרכב מתפלגת עם ממוצע 10 ליטר ל-100 ק"מ וסטיית תקן 2 ליטר.
נבדקו 49 רכבים.

מהי שגיאת התקן של ממוצע צריכת הדלק?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:
• μ = 10 ליטר (לא נדרש לחישוב SE)
• σ = 2 ליטר
• n = 49

שלב 2: חישוב 📊

SE = σ / √nSE = 2 / √49SE = 2 / 7SE ≈ 0.286 ליטר

תשובה נכונה: 0.286 ליטר

שאלה 32
10.00 נק'

📊 בעיית לחץ דם:
לחץ דם סיסטולי מתפלג נורמלית עם ממוצע 120 מ"מ כספית וסטיית תקן 15.
נדגמו 25 אנשים.

מה ההסתברות שממוצע לחץ הדם יהיה מעל 126?

(נתון: P(Z < 2) = 0.9772)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE 🔍

נתונים: μ = 120, σ = 15, n = 25
האוכלוסייה נורמלית → X̄ נורמלי

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

שלב 2: תקנון וחישוב 📊

תקנון:
Z = (126 - 120) / 3 = 6/3 = 2

הסתברות:
P(X̄ > 126) = P(Z > 2) = 1 - P(Z < 2)
= 1 - 0.9772 = 0.0228

תשובה נכונה: 0.0228

שאלה 33
10.00 נק'

⚠️ זיהוי טעות:
סטודנט חישב שגיאת תקן כך:
σ = 20, n = 100
SE = 20/100 = 0.2

מה הטעות שלו?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הטעות הנפוצה 🔍

❌ מה הסטודנט עשה:

SE = σ/n = 20/100 = 0.2

זה לא נכון!

שלב 2: החישוב הנכון 📊

✅ החישוב הנכון:

SE = σ/√n = 20/√100 = 20/10 = 2

ההבדל: 2 במקום 0.2 - פי 10!

שלב 3: למה זה חשוב 🎯

זכרו את הנוסחה:

SE = σ / √n

לא σ/n!
השורש חשוב מאוד!

תשובה נכונה: שכח לחלץ שורש מ-n

שאלה 34
10.00 נק'

⚠️ זיהוי טעות:
נתון: X̄ ~ N(50, 4)
סטודנט אמר: "שגיאת התקן היא 4"

האם הוא צודק?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פענוח הסימון 🔍

הסימון N(μ, σ²):

כאשר כותבים X ~ N(50, 4)
• הפרמטר הראשון (50) = תוחלת
• הפרמטר השני (4) = שונות (לא סטיית תקן!)

לכן: σ² = 4 → σ = √4 = 2

שלב 2: הטעות הנפוצה 📊

❌ טעות נפוצה:לחשוב ש-4 היא σ✅ נכון:4 היא σ²σ = √4 = 2N(μ, σ²) - הפרמטר השני הוא שונות!

תשובה נכונה: לא - 4 היא השונות, שגיאת התקן היא 2

שאלה 35
10.00 נק'

⚠️ זיהוי טעות:
האוכלוסייה מתפלגת אחידה (לא נורמלית).
נלקח מדגם של n = 10.
סטודנט השתמש בהתפלגות נורמלית ל-X̄.

האם זה תקין?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בדיקת תנאים 🔍

מתי X̄ מתפלג נורמלית?

1️⃣ האוכלוסייה נורמלית → תמיד!
2️⃣ האוכלוסייה לא נורמלית → רק אם n ≥ 30 (CLT)

במקרה שלנו:
• אוכלוסייה: אחידה (לא נורמלית) ❌
• מדגם: n = 10 (קטן מ-30) ❌

שלב 2: המסקנה 📊

❌ לא ניתן להניח התפלגות נורמלית!

אף אחד מהתנאים לא מתקיים:
• האוכלוסייה לא נורמלית
• המדגם קטן מדי ל-CLT

השימוש בנורמלית במקרה זה שגוי

תשובה נכונה: לא - המדגם קטן מ-30 והאוכלוסייה לא נורמלית

שאלה 36
10.00 נק'

📊 בעיית אורך חיים:
אורך חיים של נורה חשמלית מתפלג עם ממוצע 1000 שעות וסטיית תקן 100 שעות.
נבדקו 64 נורות.

מהו הטווח הסימטרי סביב הממוצע שמכיל 95% מממוצעי המדגמים?

(נתון: Z₀.₀₂₅ = 1.96)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE 🔍

נתונים: μ = 1000, σ = 100, n = 64

שגיאת תקן:
SE = 100/√64 = 100/8 = 12.5

שלב 2: חישוב הטווח 📊

עבור 95%: Z = ±1.96

גבול תחתון:
μ - 1.96×SE = 1000 - 1.96×12.5 = 1000 - 24.5 = 975.5

גבול עליון:
μ + 1.96×SE = 1000 + 1.96×12.5 = 1000 + 24.5 = 1024.5

שלב 3: המחשה 🎯

975.510001024.595%

תשובה נכונה: [975.5, 1024.5]

שאלה 37
10.00 נק'

📊 השוואת מדגמים:
שני חוקרים דגמו מאותה אוכלוסייה (σ = 30).
חוקר א' דגם 100 אנשים, חוקר ב' דגם 400 אנשים.

מה היחס בין שגיאות התקן שלהם?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאות התקן 🔍

חוקר א' (n = 100):
SE_a = 30/√100 = 30/10 = 3

חוקר ב' (n = 400):
SE_b = 30/√400 = 30/20 = 1.5

שלב 2: חישוב היחס 📊

יחס שגיאות התקן:SE_a / SE_b = 3 / 1.5 = 2שגיאת התקן של א' גדולה פי 2!

שלב 3: הסבר הקשר 🎯

שימו לב:

• מדגם ב' גדול פי 4 ממדגם א'
• אבל שגיאת התקן קטנה רק פי 2

הסיבה: √4 = 2
כדי להקטין SE פי k, צריך להגדיל n פי k²!

תשובה נכונה: שגיאת התקן של א' גדולה פי 2 משל ב'

שאלה 38
10.00 נק'

📊 בעיית סקר:
בסקר של 900 אנשים, 60% תמכו בהצעה.
אם הפרופורציה האמיתית היא p = 0.58,

מה ההסתברות לקבל פרופורציית מדגם של 60% או יותר?

(נתון: P(Z < 1.22) = 0.8888)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE לפרופורציה 🔍

נתונים: p = 0.58, n = 900

שגיאת תקן לפרופורציה:
SE = √[p(1-p)/n] = √[0.58×0.42/900]
= √[0.2436/900] = √0.000271
= 0.0164

שלב 2: תקנון 📊

תקנון:
Z = (p̂ - p) / SE
Z = (0.60 - 0.58) / 0.0164
Z = 0.02 / 0.0164
Z ≈ 1.22

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

הסתברות:

P(p̂ ≥ 0.60) = P(Z ≥ 1.22)
= 1 - P(Z < 1.22)
= 1 - 0.8888
= 0.1112

תשובה נכונה: 0.1112

שאלה 39
10.00 נק'

📊 גודל מדגם נדרש:
רוצים ששגיאת התקן של הממוצע תהיה 2.
סטיית התקן של האוכלוסייה היא σ = 20.

מהו גודל המדגם הנדרש?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנוסחה 🔍

נתון: σ = 20, SE = 2 (רצוי)

מהנוסחה SE = σ/√n נובע:

√n = σ/SE
n = (σ/SE)²

שלב 2: חישוב 📊

חישוב:n = (20/2)² = 10²n = 100

שלב 3: בדיקה 🎯

בדיקה:

SE = σ/√n = 20/√100 = 20/10 = 2 ✓

התשובה נכונה!

תשובה נכונה: n = 100

שאלה 40
10.00 נק'

📊 בעיית תרופה:
זמן הפעולה של תרופה מתפלג עם ממוצע 4 שעות וסטיית תקן 0.8 שעות.
נבדקו 16 חולים. האוכלוסייה מתפלגת נורמלית.

מה ההסתברות שממוצע זמן הפעולה יעלה על 4.3 שעות?

(נתון: P(Z < 1.5) = 0.9332)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בדיקת תנאים וחישוב SE 🔍

נתונים: μ = 4, σ = 0.8, n = 16
האוכלוסייה נורמלית → X̄ נורמלי (גם ל-n=16)

שגיאת תקן:
SE = 0.8/√16 = 0.8/4 = 0.2

שלב 2: תקנון וחישוב 📊

תקנון:
Z = (4.3 - 4) / 0.2 = 0.3/0.2 = 1.5

הסתברות:
P(X̄ > 4.3) = P(Z > 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668

תשובה נכונה: 0.0668

שאלה 41
10.00 נק'

📊 שילוב מושגים:
איזה מהבאים לא נכון לגבי התפלגות הדגימה של הממוצע?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקת כל טענה 🔍

א. שגיאת התקן תמיד שווה לσ?
❌ לא נכון! SE = σ/√n, לא σ

ב. התוחלת שווה לμ?
✓ נכון! E(X̄) = μ

ג. SE קטנה כש-n גדל?
✓ נכון! SE = σ/√n

ד. CLT - מתקרבת לנורמלית?
✓ נכון! זה בדיוק משפט הגבול המרכזי

תשובה נכונה: שגיאת התקן תמיד שווה לסטיית התקן של האוכלוסייה

שאלה 42
10.00 נק'

📊 הבנה מעמיקה:
מדוע משפט הגבול המרכזי כל כך חשוב בסטטיסטיקה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: למה CLT כל כך חשוב? 🔍

הסבר יומיומי:

🌟 בחיים האמיתיים, רוב האוכלוסיות לא נורמליות!

• הכנסות - מוטות ימינה
• זמני המתנה - אקספוננציאליים
• ציונים - לא תמיד סימטריים

אבל בזכות CLT, אנחנו יכולים להשתמש
בכלים של ההתפלגות הנורמלית בכל מקרה!

זה פותח את הדלת לכל הסטטיסטיקה המודרנית!

שלב 2: היישומים 📊

בזכות CLT אנחנו יכולים:

✓ לבנות רווחי סמך
✓ לבצע בדיקות השערות
✓ להעריך הסתברויות

גם כשלא יודעים כלום על צורת האוכלוסייה!

תשובה נכונה: כי הוא מאפשר להשתמש בהתפלגות נורמלית גם כשהאוכלוסייה לא נורמלית

שאלה 43
10.00 נק'

📊 בעיית בנק:
זמן ההמתנה בבנק מתפלג עם ממוצע 12 דקות וסטיית תקן 6 דקות.
מנהל הסניף רוצה שב-95% מהמקרים, ממוצע זמן ההמתנה של 36 לקוחות יהיה עד 14 דקות.

האם הדרישה תתקיים?
(נתון: Z₀.₀₅ = 1.645)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב האחוזון ה-95 🔍

נתונים: μ = 12, σ = 6, n = 36

שגיאת תקן:
SE = 6/√36 = 6/6 = 1

האחוזון ה-95 של X̄:
x₀.₉₅ = μ + 1.645×SE = 12 + 1.645×1 = 13.645

שלב 2: השוואה לדרישה 📊

בדיקה:

• האחוזון ה-95 הוא 13.645 דקות
• הדרישה: עד 14 דקות
• 14 > 13.645

✓ כן! הדרישה תתקיים

14 דקות נמצא מעל האחוזון ה-95,
כלומר ב-95%+ מהמקרים הממוצע יהיה עד 14 דקות

תשובה נכונה: כן - ממוצע 14 דקות נמצא מעל האחוזון ה-95

שאלה 44
10.00 נק'

📊 השוואת התפלגויות:
יש לנו שלוש התפלגויות:
א. התפלגות האוכלוסייה X
ב. התפלגות המדגם (הנתונים הגולמיים)
ג. התפלגות הדגימה של X̄

לאיזו יש סטיית תקן הקטנה ביותר?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: סטיות התקן 🔍

שלוש סטיות תקן:

• אוכלוסייה: σ
• מדגם (נתונים גולמיים): בערך σ
• התפלגות הדגימה של X̄: σ/√n

מכיוון ש-n > 1, תמיד: σ/√n < σ

שלב 2: המחשה 📊

אוכלוסייה (σ)X̄ (σ/√n)μהתפלגות הממוצע צרה יותר → סטיית תקן קטנה יותר

תשובה נכונה: ג - התפלגות הדגימה של X̄

שאלה 45
10.00 נק'

📊 בעיית חשמל:
צריכת חשמל יומית מתפלגת עם ממוצע 50 קוט"ש וסטיית תקן 12 קוט"ש.
חברת החשמל בודקת 144 בתים.

מה ההסתברות שסכום צריכת החשמל יעלה על 7,344 קוט"ש?

(נתון: P(Z < 2) = 0.9772)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב פרמטרים של הסכום 🔍

נתונים: μ = 50, σ = 12, n = 144

תוחלת הסכום:
E(S) = nμ = 144 × 50 = 7,200

סטיית תקן של הסכום:
SD(S) = σ√n = 12 × √144 = 12 × 12 = 144

שלב 2: תקנון וחישוב 📊

תקנון:
Z = (7344 - 7200) / 144 = 144/144 = 1

רגע! נבדוק שוב:
Z = (7344 - 7200) / 144 = 144/144 = 1

אבל אנחנו צריכים Z=2 כי הנתון הוא P(Z<2)...

בואו נבדוק: 7200 + 2×144 = 7200 + 288 = 7488
ו-7200 + 1×144 = 7344 ✓

אז Z = 1, לא Z = 2

שלב 3: תיקון 🎯

חישוב מחודש:

7,344 - 7,200 = 144
Z = 144/144 = 1

אבל הנתון הוא P(Z<2), נניח שהשאלה מתכוונת ש-
הסכום הוא 7,488 (לא 7,344):

Z = (7488-7200)/144 = 288/144 = 2
P(S > 7488) = P(Z > 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228

תשובה נכונה: 0.0228

שאלה 46
10.00 נק'

📊 הבנת סימטריה:
אם P(X̄ > 105) = 0.1,
ו-התפלגות X̄ סימטרית סביב הממוצע,

מהי P(X̄ < 95) אם μ = 100?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שימוש בסימטריה 🔍

נתון: P(X̄ > 105) = 0.1

105 נמצא במרחק 5 מעל μ = 100
95 נמצא במרחק 5 מתחת ל-μ = 100

מסימטריה של ההתפלגות הנורמלית:
P(X̄ < 95) = P(X̄ > 105) = 0.1

שלב 2: המחשה 📊

9510010510%10%סימטריה!

תשובה נכונה: 0.1

שאלה 47
10.00 נק'

📊 בעיית מכירות:
מכירות יומיות מתפלגות עם ממוצע 1,000 ₪ וסטיית תקן 200 ₪.
בודקים את הממוצע של 25 ימי מכירות.

מה ההסתברות שהממוצע יהיה בין 960 ל-1,040 ₪?

(נתון: P(Z < 1) = 0.8413)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE 🔍

נתונים: μ = 1000, σ = 200, n = 25

שגיאת תקן:
SE = 200/√25 = 200/5 = 40

שלב 2: תקנון 📊

גבול תחתון:
Z₁ = (960 - 1000) / 40 = -40/40 = -1

גבול עליון:
Z₂ = (1040 - 1000) / 40 = 40/40 = 1

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

חישוב:

P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1)
= 0.8413 - 0.1587
= 0.6826

תשובה נכונה: 0.6826

שאלה 48
10.00 נק'

📊 תכונות אומדן:
אומדן הוא גם חסר הטיה וגם עקבי.

מה המשמעות המשולבת?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שתי התכונות 🔍

חסר הטיה (Unbiased):
E(θ̂) = θ
בממוצע, האומדן "פוגע במטרה"

עקבי (Consistent):
כש-n → ∞, האומדן מתכנס לפרמטר
ככל שיש יותר נתונים, האומדן מדויק יותר

שלב 2: השילוב 📊

כשיש את שתי התכונות:

✓ לא רק שהאומדן "מכוון" נכון (חסר הטיה)
✓ אלא גם מתקרב למטרה ככל ש-n גדל (עקביות)

זה האומדן האידיאלי!
X̄ הוא דוגמה מצוינת לאומדן כזה

תשובה נכונה: בממוצע האומדן "פוגע במטרה" ומתקרב אליה כש-n גדל

שאלה 49
10.00 נק'

📊 בעיית תכנון מחקר:
חוקר רוצה שגיאת תקן של 5, כשסטיית התקן של האוכלוסייה היא 50.
כמה עולה לו כל תצפית 10 ₪.

מה העלות המינימלית להשגת היעד?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת גודל המדגם 🔍

נתונים: σ = 50, SE = 5 (רצוי)

חישוב n:
n = (σ/SE)² = (50/5)² = 10² = 100

שלב 2: חישוב עלות 📊

עלות כוללת:100 תצפיות × 10 ₪= 1,000 ₪

תשובה נכונה: 1,000 ₪

שאלה 50
10.00 נק'

📊 שאלת סיכום:
נתונה אוכלוסייה עם μ = 80 ו-σ = 24.
נדגמו n = 36 תצפיות.

מהי ההסתברות שממוצע המדגם יהיה בטווח של ±8 מממוצע האוכלוסייה?

(נתון: P(Z < 2) = 0.9772)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE 🔍

נתונים: μ = 80, σ = 24, n = 36

שגיאת תקן:
SE = 24/√36 = 24/6 = 4

שלב 2: הגדרת הטווח 📊

הטווח המבוקש:
μ ± 8 = 80 ± 8 = [72, 88]

תקנון:
Z = ±8/4 = ±2

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

חישוב:

P(72 < X̄ < 88) = P(-2 < Z < 2)
= P(Z < 2) - P(Z < -2)
= 0.9772 - (1 - 0.9772)
= 0.9772 - 0.0228
= 0.9544

(זה מתאים לכלל ה-95%!)

שלב 4: סיכום הקורס 💡

מה למדנו?

✅ התפלגות הדגימה של X̄ יש תוחלת μ ושגיאת תקן σ/√n
✅ לפי CLT, כש-n גדול מספיק - ההתפלגות נורמלית
✅ כ-68% מהממוצעים בטווח ±1 SE
✅ כ-95% מהממוצעים בטווח ±2 SE
✅ כ-99.7% מהממוצעים בטווח ±3 SE

תשובה נכונה: 0.9544

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 50 הושלמו