אורח מצב צפייה מבחן: סדרה הנדסית
מספר שאלות: 45
ניקוד כולל: 99.90 נק'
שאלה 1
2.22 נק'

🎯 זיהוי סדרה הנדסית:
איזו מהסדרות הבאות היא סדרה הנדסית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהי סדרה הנדסית? 🔍

סדרה הנדסית = סדרה שבה מכפילים באותו מספר קבוע בכל פעם!

המספר הזה נקרא מנה (q)

דוגמה: 2, 6, 18, 54
כל פעם כופלים ב-3 (×3, ×3, ×3)

שלב 2: בדיקת כל סדרה 📊

✓ Sequence A: 2, 6, 18, 54, 1622×36×318×354×3162q=3 ✓✗ Sequence B: 2, 5, 8, 11, 142+35+38Arithmetic! ✗✗ Sequence C: 1, 4, 9, 16, 251×44×2.259Squares! ✗Only A is geometric!

שלב 3: הגדרה 🎯

סדרה הנדסית: היחס בין כל שני איברים עוקבים קבוע

aₙ₊₁ / aₙ = q

תשובה: 2, 6, 18, 54, 162, ...

שאלה 2
2.22 נק'

📏 מציאת המנה:
בסדרה ההנדסית: 4, 12, 36, 108, 324

מהי המנה (q)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהי המנה? 🔍

המנה (q) = במה כופלים בכל צעד

כדי למצוא: חלקו איבר באיבר הקודם!

q = איבר שני ÷ איבר ראשון

שלב 2: הדגמה 📊

Sequence: 4, 12, 36, 108, 3244a₁×312a₂×336a₃×3108a₄×3324q = 3

שלב 3: החישוב 🎯

בדיקה:
12 ÷ 4 = 3 ✓
36 ÷ 12 = 3 ✓
108 ÷ 36 = 3 ✓
324 ÷ 108 = 3 ✓

q = 3

תשובה: q = 3

שאלה 3
2.22 נק'

🔢 סדרת הכפלות:
בכיתה יש תחרות הכפלה:
יום ראשון: 🍎 (1 תפוח)
יום שני: 🍎🍎 (2 תפוחים)
יום שלישי: 🍎🍎🍎🍎 (4 תפוחים)

כמה תפוחים ביום החמישי?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הסדרה 🔍

הסדרה: 1, 2, 4, ...

בדיקה: 2÷1=2, 4÷2=2

זו סדרה הנדסית עם q = 2 (הכפלה!)

שלב 2: המשך הסדרה 📊

🍎 Doubling SequenceDay 11×2Day 22×2Day 34×2Day 48×2Day 516Day 5: 16 🍎

שלב 3: חישוב 🎯

המשך הסדרה:
יום 1: 1
יום 2: 1×2 = 2
יום 3: 2×2 = 4
יום 4: 4×2 = 8
יום 5: 8×2 = 16

💡 או: a₅ = 1·2⁴ = 16

תשובה: 16 תפוחים

שאלה 4
2.22 נק'

📉 סדרה יורדת:
בסדרה: 64, 32, 16, 8, 4, ...

מהי המנה (q)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: סדרה יורדת 🔍

⚠️ שימו לב! סדרה הנדסית יכולה גם לרדת!

אם המנה בין 0 ל-1 (0 < q < 1) - הסדרה יורדת
אם המנה גדולה מ-1 - הסדרה עולה

שלב 2: חישוב המנה 📊

Sequence: 64, 32, 16, 8, 464×½32×½16×½8×½4q = ½ = 0.5

שלב 3: בדיקה 🎯

חישוב המנה:
32 ÷ 64 = 0.5 ✓
16 ÷ 32 = 0.5 ✓
8 ÷ 16 = 0.5 ✓
4 ÷ 8 = 0.5 ✓

q = 0.5 (או ½)

💡 כופלים ב-½ = מחלקים ב-2

תשובה: q = 0.5 (או ½)

שאלה 5
2.22 נק'

❌ זיהוי טעות:
איזו מהסדרות הבאות לא הנדסית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בדיקת כל סדרה 🔍

צריך לבדוק: האם היחס בין איברים עוקבים קבוע?

שלב 2: בדיקה 📊

✗ Seq 1: 3, 6, 12, 20, 306÷3=212÷6=220÷12=1.67Ratio changes! ✗✓ Seq 2: 5, 15, 45, 135 → q=3 ✓✓ Seq 3: 100, 10, 1, 0.1 → q=0.1 ✓✓ Seq 4: -2, 4, -8, 16 → q=-2 ✓Only Seq 1 is NOT geometric!

שלב 3: מסקנה 🎯

סדרה 1: 3, 6, 12, 20, 30

6÷3 = 2
12÷6 = 2
20÷12 = 1.67 ✗
30÷20 = 1.5 ✗

היחס משתנה! לא הנדסית ✗

תשובה: 3, 6, 12, 20, 30, ...

שאלה 6
2.22 נק'

🔢 מציאת איבר:
בסדרה ההנדסית: 3, 6, 12, 24, ...

מהו האיבר השישי (a₆)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

הסדרה: 3, 6, 12, 24, ...

a₁ = 3
q = 6 ÷ 3 = 2

צריך למצוא: a₆

שלב 2: המשך הסדרה 📊

Finding the 6th terma₁3×2a₂6×2a₃12×2a₄24×2a₅48×2a₆96a₆ = 96

שלב 3: שתי דרכים 🎯

דרך 1: המשך לוגי
3 → 6 → 12 → 24 → 48 → 96

דרך 2: נוסחה
aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
a₆ = 3 · 2⁵ = 3 · 32 = 96

תשובה: 96

שאלה 7
2.22 נק'

🦠 התרבות חיידקים:
חיידק מתחלק לשניים כל שעה.
בהתחלה יש 5 חיידקים.

כמה חיידקים יהיו אחרי 6 שעות?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הסדרה 🔍

🦠 כל חיידק מתחלק לשניים = הכפלה!

a₁ = 5 (התחלה)
q = 2 (כל שעה כפול 2)
n = 7 (שעה 0 עד שעה 6 = 7 מצבים)

שלב 2: המחשה 📊

🦠 Bacteria DoublingHour 05×2Hour 110×2Hour 220×2Hour 340...Hour 5160×2Hour 6320After 6 hours: 320

שלב 3: חישוב 🎯

נוסחה: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

אחרי 6 שעות = האיבר ה-7
a₇ = 5 · 2⁶ = 5 · 64 = 320

💡 5→10→20→40→80→160→320

תשובה: 320 חיידקים

שאלה 8
2.22 נק'

➖ סדרה מתחלפת:
בסדרה: 3, -6, 12, -24, 48, ...

מהי המנה (q)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: סדרה מתחלפת 🔍

⚠️ שימו לב! הסימנים מתחלפים!

+3 → -6 → +12 → -24 → +48

כשהמנה שלילית, הסימנים מתחלפים!

שלב 2: חישוב המנה 📊

Alternating Signs Sequence3×(-2)-6×(-2)12×(-2)-24×(-2)48q = -2

שלב 3: בדיקה 🎯

חישוב:
(-6) ÷ 3 = -2 ✓
12 ÷ (-6) = -2 ✓
(-24) ÷ 12 = -2 ✓
48 ÷ (-24) = -2 ✓

q = -2

💡 מנה שלילית = סימנים מתחלפים!

תשובה: q = -2

שאלה 9
2.22 נק'

🎯 השלמת סדרה:
2, __, 18, __, 162

מהם האיברים החסרים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת המנה 🔍

יש לנו: 2, __, 18, __, 162

a₁ = 2, a₃ = 18

בין a₁ ל-a₃ יש 2 כפלים במנה
a₃ = a₁ · q²

שלב 2: חישוב 📊

Find the missing termsa₁2×3a₂6×3a₃18×3a₄54×3a₅162Missing: 6, 54

שלב 3: פתרון 🎯

מציאת q:
a₃ = a₁ · q²
18 = 2 · q²
q² = 9
q = 3

האיברים החסרים:
a₂ = 2 × 3 = 6
a₄ = 18 × 3 = 54

6, 54

תשובה: 6, 54

שאלה 10
2.22 נק'

🔄 סדרה מיוחדת:
5, 5, 5, 5, 5, ...

האם זו סדרה הנדסית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: סדרה קבועה 🔍

זו סדרה קבועה - כל האיברים זהים!

זה מקרה מיוחד של סדרה הנדסית שבה q = 1

כי: 5 × 1 = 5

שלב 2: המחשה 📊

Constant Sequence: 5, 5, 5, 5, 55a₁×15a₂×15a₃×15a₄×15

שלב 3: מסקנה 🎯

בדיקה:
5 ÷ 5 = 1 ✓
5 ÷ 5 = 1 ✓

היחס קבוע!

כן! q = 1

💡 סדרה קבועה היא גם חשבונית (d=0) וגם הנדסית (q=1)

תשובה: כן, q = 1

שאלה 11
2.22 נק'

📐 נוסחת האיבר הכללי:
מהי הנוסחה למציאת האיבר ה-n בסדרה הנדסית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הנוסחה 🔍

🎯 הנוסחה הזהובה:

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

• a₁ = האיבר הראשון
• n = מספר האיבר
• q = המנה

שלב 2: למה n-1? 📊

Why (n-1) and not n?Example: 2, 6, 18, 54, ... (q = 3)a₁ = 2 → Started at 2, multiplied 0 timesa₂ = 6 → Started at 2, multiplied 1 time by 3a₃ = 18 → Started at 2, multiplied 2 times by 3Term n → q^(n-1)

שלב 3: דוגמה 🎯

דוגמה: מצא a₅ בסדרה 2, 6, 18, ...

a₁ = 2, q = 3, n = 5

a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162

בדיקה: 2→6→18→54→162 ✓

תשובה: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

שאלה 12
2.22 נק'

🧮 שימוש בנוסחה:
בסדרה ההנדסית: a₁ = 5, q = 2

מהו האיבר ה-8 (a₈)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:

a₁ = 5
q = 2
n = 8

צריך למצוא: a₈

שלב 2: הצבה בנוסחה 📊

Calculate a₈Formula:aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹a₈ = 5 · 2⁷a₈ = 5 · 128 = 640

שלב 3: פירוט 🎯

צעד אחר צעד:

a₈ = a₁ · q⁸⁻¹
a₈ = 5 · 2⁷
a₈ = 5 · 128
a₈ = 640

💡 2⁷ = 2·2·2·2·2·2·2 = 128

תשובה: 640

שאלה 13
2.22 נק'

🔍 מציאת האיבר הראשון:
בסדרה הנדסית: a₄ = 54, q = 3

מהו a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

אנחנו יודעים את האיבר ה-4, וצריכים לחזור אחורה למצוא את a₁!

💡 נשתמש באותה נוסחה, אבל נפתור עבור a₁

שלב 2: פתרון 📊

Finding a₁a₄ = a₁ · q³54 = a₁ · 3³ = a₁ · 27a₁ = 54 ÷ 27 = 2

שלב 3: בדיקה 🎯

Check: 2, 6, 18, 542×36×318×354a₄ ✓
הסדרה: 2, 6, 18, 54 ✓
a₁ = 2

תשובה: 2

שאלה 14
2.22 נק'

🎯 מציאת מיקום איבר:
בסדרה: 2, 6, 18, 54, ...
האיבר 1458 נמצא במקום ה-__?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת השאלה 🔍

יש לנו את הערך (1458) ורוצים למצוא את המיקום (n)

💡 נפתור משוואה: aₙ = 1458

נתונים: a₁ = 2, q = 3

שלב 2: פתרון 📊

Finding n1458 = 2 · 3ⁿ⁻¹729 = 3ⁿ⁻¹3⁶ = 729 → n-1 = 6 → n = 7

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

פתרון:

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
1458 = 2 · 3ⁿ⁻¹
729 = 3ⁿ⁻¹

💡 מהו n כך ש-3ⁿ⁻¹ = 729?
3⁶ = 729
n - 1 = 6
n = 7

בדיקה: a₇ = 2·3⁶ = 2·729 = 1458 ✓

תשובה: 7

שאלה 15
2.22 נק'

🔎 מציאת המנה:
בסדרה הנדסית: a₁ = 4, a₅ = 64

מהי המנה q?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

נתונים:
a₁ = 4
a₅ = 64

צריך למצוא: q = ?

שלב 2: פתרון 📊

Finding qa₅ = a₁ · q⁴64 = 4 · q⁴ → q⁴ = 16q = ⁴√16 = 2

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

פתרון:

a₅ = a₁ · q⁵⁻¹
64 = 4 · q⁴
q⁴ = 16

💡 מהו q כך ש-q⁴ = 16?
2⁴ = 16
q = 2

בדיקה: 4, 8, 16, 32, 64 ✓

תשובה: 2

שאלה 16
2.22 נק'

🔎 מציאת המנה משני איברים:
בסדרה הנדסית: a₂ = 12, a₅ = 324

מהי המנה q?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

נתונים:
a₂ = 12
a₅ = 324

בין a₂ ל-a₅ יש 3 כפלים במנה
a₅ = a₂ · q³

שלב 2: חישוב 📊

From a₂ to a₅: 3 multiplicationsa₂12×q ×q ×q = ×q³a₅324q³ = 324÷12 = 27

שלב 3: פתרון 🎯

חישוב:

a₅ = a₂ · q³
324 = 12 · q³
q³ = 27

💡 ³√27 = 3
q = 3

בדיקה: 12→36→108→324 ✓

תשובה: 3

שאלה 17
2.22 נק'

💰 השקעה בריבית:
דני השקיע 1,000 ש"ח בריבית שנתית של 10%.
הריבית מצטברת (ריבית דריבית).

כמה כסף יהיה לו אחרי 3 שנים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הסדרה 🔍

💰 ריבית דריבית = סדרה הנדסית!

a₁ = 1,000 ש"ח (סכום התחלתי)
q = 1.1 (כל שנה ×110% = ×1.1)
n = 4 (התחלה + 3 שנים)

שלב 2: המחשה 📊

💰 Compound InterestStart1,000×1.1Year 11,100×1.1Year 21,210×1.1Year 31,331After 3 years: 1,331

שלב 3: חישוב 🎯

נוסחה: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

a₄ = 1,000 · 1.1³
a₄ = 1,000 · 1.331
a₄ = 1,331 ש"ח

💡 1.1³ = 1.1 × 1.1 × 1.1 = 1.331

תשובה: 1,331 ש"ח

שאלה 18
2.22 נק'

❓ שייכות לסדרה:
בסדרה: 2, 6, 18, 54, ...

האם המספר 500 שייך לסדרה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת השאלה 🔍

צריך לבדוק: האם קיים n שלם וחיובי כך ש-aₙ = 500?

נתונים:
a₁ = 2, q = 3

שלב 2: פתרון משוואה 📊

Is 500 in the sequence?500 = 2 · 3ⁿ⁻¹250 = 3ⁿ⁻¹250 is not a power of 3! ✗

שלב 3: בדיקה 🎯

חזקות של 3:
3¹ = 3
3² = 9
3³ = 27
3⁴ = 81
3⁵ = 243
3⁶ = 729

⚠️ 250 אינו חזקה של 3!
(243 < 250 < 729)

500 לא שייך לסדרה ✗

תשובה: לא, כי n לא שלם

שאלה 19
2.22 נק'

📊 ממוצע הנדסי:
מהו הממוצע ההנדסי של המספרים 4 ו-16?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהו ממוצע הנדסי? 🔍

💡 ממוצע הנדסי של שני מספרים = השורש של המכפלה שלהם!

ממוצע הנדסי = √(a · b)

זה המספר שנמצא "באמצע" בסדרה הנדסית

שלב 2: המחשה 📊

Geometric Mean of 4 and 164×28×216

שלב 3: חישוב 🎯

נוסחה:

ממוצע הנדסי = √(4 × 16)
= √64
= 8

💡 בדיקה: 4, 8, 16 - סדרה הנדסית עם q=2
8÷4=2 ✓ | 16÷8=2 ✓

תשובה: 8

שאלה 20
2.22 נק'

☢️ דעיכה רדיואקטיבית:
חומר רדיואקטיבי מתחיל עם 800 גרם.
כל שעה נשאר ממנו חצי.

כמה יישאר אחרי 4 שעות?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הסדרה 🔍

☢️ דעיכה = סדרה הנדסית יורדת!

a₁ = 800 גרם
q = 0.5 (נשאר חצי = כפל ב-½)
n = 5 (התחלה + 4 שעות)

שלב 2: המחשה 📊

☢️ Radioactive DecayHour 0800×½Hour 1400×½Hour 2200×½Hour 3100×½Hour 450After 4 hours: 50g

שלב 3: חישוב 🎯

נוסחה: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

a₅ = 800 · (½)⁴
a₅ = 800 · 1/16
a₅ = 800 ÷ 16
a₅ = 50 גרם

💡 800→400→200→100→50

תשובה: 50 גרם

שאלה 21
2.22 נק'

➕ נוסחת הסכום:
מהי הנוסחה לסכום n האיברים הראשונים בסדרה הנדסית (כאשר q ≠ 1)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנוסחה 🔍

🎯 נוסחת הסכום:

Sₙ = a₁(qⁿ - 1) / (q - 1)

או בצורה שקולה:
Sₙ = a₁(1 - qⁿ) / (1 - q)

שלב 2: מתי משתמשים? 📊

When to use which formula?If q > 1:Sₙ = a₁(qⁿ-1)/(q-1)More convenientIf q < 1:Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q)More convenient⚠️ Only when q ≠ 1

שלב 3: דוגמה 🎯

דוגמה: סכום 2+6+18+54

a₁=2, q=3, n=4

S₄ = 2·(3⁴-1)/(3-1)
S₄ = 2·(81-1)/2
S₄ = 2·80/2 = 80

בדיקה: 2+6+18+54 = 80 ✓

תשובה: Sₙ = a₁(qⁿ - 1) / (q - 1)

שאלה 22
2.22 נק'

🧮 חישוב סכום:
מהו סכום 5 האיברים הראשונים בסדרה:
3, 6, 12, 24, 48, ...?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

מהסדרה:

a₁ = 3
q = 6 ÷ 3 = 2
n = 5

צריך למצוא: S₅

שלב 2: הצבה בנוסחה 📊

Calculate S₅Sₙ = a₁(qⁿ - 1) / (q - 1)S₅ = 3·(2⁵ - 1) / (2 - 1)S₅ = 3·31/1 = 93

שלב 3: פירוט 🎯

צעד אחר צעד:

S₅ = 3·(2⁵ - 1)/(2 - 1)
S₅ = 3·(32 - 1)/1
S₅ = 3·31
S₅ = 93

בדיקה: 3+6+12+24+48 = 93 ✓

תשובה: 93

שאלה 23
2.22 נק'

🔢 סכום חזקות:
מהו הסכום?
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הסדרה 🔍

הסדרה: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

זו סדרת חזקות של 2!
a₁ = 1, q = 2, n = 7

שלב 2: תכונה מיוחדת! 📊

Special Property of Powers of 2!Sum of first n powers of 2 (starting from 1):1+2+4+...+2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ - 12⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

שלב 3: שתי דרכים 🎯

דרך 1: נוסחת הסכום
S₇ = 1·(2⁷-1)/(2-1)
S₇ = (128-1)/1 = 127

דרך 2: תכונה מיוחדת
סכום חזקות 2 מ-1 עד 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ - 1
= 2⁷ - 1 = 127

💡 זו תכונה שכדאי לזכור!

תשובה: 127

שאלה 24
2.22 נק'

📉 סכום סדרה יורדת:
מהו הסכום?
81 + 27 + 9 + 3 + 1 = ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

הסדרה: 81, 27, 9, 3, 1

a₁ = 81
q = 27 ÷ 81 = ⅓
n = 5

שלב 2: המחשה 📊

Decreasing sequence: ×⅓ each time81×⅓27×⅓9×⅓3×⅓1=121

שלב 3: חישוב 🎯

דרך 1: חיבור ישיר
81 + 27 + 9 + 3 + 1 = 121

דרך 2: נוסחה
S₅ = 81·(1-(⅓)⁵)/(1-⅓)
S₅ = 81·(1-1/243)/(⅔)
S₅ = 81·(242/243)·(3/2)
S₅ = 121

תשובה: 121

שאלה 25
2.22 נק'

🏀 כדור קופץ:
כדור נופל מגובה 64 מטר.
בכל קפיצה הוא מגיע לחצי מהגובה הקודם.

מה סה"כ המרחק שעבר עד שנח (כולל ירידות ועליות)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

🏀 הכדור:
• יורד 64 מ׳
• עולה 32 מ׳, יורד 32 מ׳
• עולה 16 מ׳, יורד 16 מ׳
• וכן הלאה...

💡 סכום אינסופי! (q = ½ < 1)

שלב 2: המחשה 📊

🏀 Bouncing Ball643216...

שלב 3: חישוב 🎯

סה"כ מרחק:

ירידה ראשונה: 64
+ עליות וירידות: 2×(32+16+8+4+...) = 2×64 = 128

סה"כ = 64 + 128 = 192 מטר

💡 סכום סדרה אינסופית: S = a₁/(1-q)
32+16+8+... = 32/(1-½) = 64

תשובה: 192 מטר

שאלה 26
2.22 נק'

🔤 מציאת פרמטר:
הסדרה 2, x, 18 היא סדרה הנדסית.

מהו x?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תכונה חשובה! 🔍

💡 בסדרה הנדסית עם 3 איברים:

האיבר האמצעי הוא הממוצע ההנדסי של השניים האחרים!

x² = a · c

או: x = √(a · c)

שלב 2: המחשה 📊

In geometric sequence: x² = a·c2×qx×q18

שלב 3: פתרון 🎯

שיטה 1: תכונת הממוצע ההנדסי
x² = 2 × 18 = 36
x = √36 = 6

שיטה 2: מציאת q
x/2 = 18/x
x² = 36
x = 6

בדיקה: 2, 6, 18 → q=3 ✓

תשובה: 6

שאלה 27
2.22 נק'

🔤 שני נעלמים:
בסדרה ההנדסית: 4, x, y, 108

מהם x ו-y?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת המנה 🔍

יש 4 איברים: 4, x, y, 108

a₁ = 4, a₄ = 108
בין a₁ ל-a₄ יש 3 כפלים במנה

a₄ = a₁ · q³

שלב 2: חישוב q 📊

Find q first108 = 4 · q³ → q³ = 27 → q = 34 ×3→ 12 ×3→ 36 ×3→ 108

שלב 3: מציאת x ו-y 🎯

מציאת q:
108 = 4 · q³
q³ = 27
q = 3

מציאת האיברים:
x = 4 × 3 = 12
y = 12 × 3 = 36

x = 12, y = 36

בדיקה: 4, 12, 36, 108 ✓

תשובה: x = 12, y = 36

שאלה 28
2.22 נק'

📐 מציאת פרמטר מנוסחה:
בסדרה הנדסית, a₃ = 20 ו-a₆ = 160.

מהי המנה q?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הקשר בין האיברים 🔍

a₃ = 20, a₆ = 160

בין a₃ ל-a₆ יש 3 כפלים במנה
(מ-3 ל-6: שלושה צעדים)

a₆ = a₃ · q³

שלב 2: פתרון 📊

From a₃ to a₆: 3 stepsa₃20×q ×q ×q = ×q³a₆160q³ = 160/20 = 8

שלב 3: חישוב 🎯

פתרון:

a₆ = a₃ · q³
160 = 20 · q³
q³ = 8

💡 ³√8 = 2
q = 2

בדיקה: 20→40→80→160 ✓

תשובה: 2

שאלה 29
2.22 נק'

🧩 מערכת משוואות:
בסדרה הנדסית: a₂ = 6, a₄ = 54

מהו האיבר הראשון a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: כתיבת משוואות 🔍

נתונים:
a₂ = 6 → a₁ · q = 6 ... (1)
a₄ = 54 → a₁ · q³ = 54 ... (2)

שלב 2: פתרון 📊

Divide equations to find q(2)÷(1): (a₁·q³)/(a₁·q) = 54/6q² = 9 → q = 3From (1): a₁ · 3 = 6 → a₁ = 2

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

צעד 1: מציאת q
חלוקת (2) ב-(1):
q² = 54/6 = 9
q = 3

צעד 2: מציאת a₁
הצבה ב-(1):
a₁ · 3 = 6
a₁ = 2

בדיקה: 2, 6, 18, 54 ✓

תשובה: 2

שאלה 30
2.22 נק'

➖ סדרה מתחלפת:
בסדרה הנדסית: a₁ = 3, q = -2

מהו האיבר החמישי a₅?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת מנה שלילית 🔍

⚠️ כשהמנה שלילית, הסימנים מתחלפים!

a₁ = 3 (חיובי)
a₂ = 3·(-2) = -6 (שלילי)
a₃ = -6·(-2) = 12 (חיובי)
...

שלב 2: חישוב 📊

Alternating signs: q = -23a₁×(-2)-6a₂×(-2)12a₃×(-2)-24a₄×(-2)48a₅a₅ = 48

שלב 3: חישוב עם נוסחה 🎯

נוסחה:
a₅ = a₁ · q⁴
a₅ = 3 · (-2)⁴
a₅ = 3 · 16
a₅ = 48

💡 (-2)⁴ = 16 (חזקה זוגית = חיובי!)

תשובה: 48

שאלה 31
2.22 נק'

👥 גידול אוכלוסייה:
אוכלוסיית עיר היא 100,000 תושבים.
האוכלוסייה גדלה ב-20% כל שנה.

מה תהיה האוכלוסייה בעוד 3 שנים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הסדרה 🔍

👥 גידול באחוזים = סדרה הנדסית!

a₁ = 100,000
גידול 20% = כפל ב-1.2
q = 1.2
n = 4 (התחלה + 3 שנים)

שלב 2: המחשה 📊

👥 Population Growth: +20% per yearNow100,000×1.2Year 1120,000×1.2Year 2144,000×1.2Year 3172,800

שלב 3: חישוב 🎯

נוסחה:
a₄ = a₁ · q³
a₄ = 100,000 · 1.2³
a₄ = 100,000 · 1.728
a₄ = 172,800

💡 1.2³ = 1.2×1.2×1.2 = 1.728

תשובה: 172,800

שאלה 32
2.22 נק'

🚗 פיחות ערך רכב:
מחיר רכב חדש הוא 200,000 ש"ח.
כל שנה ערכו יורד ב-25%.

מה יהיה ערכו בעוד שנתיים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הפיחות 🔍

🚗 ירידה של 25% = נשאר 75%!

a₁ = 200,000 ש"ח
q = 0.75 (75% = 0.75)
n = 3 (התחלה + 2 שנים)

שלב 2: המחשה 📊

🚗 Car Depreciation: -25% per yearNow200,000×0.75Year 1150,000×0.75Year 2112,500

שלב 3: חישוב 🎯

נוסחה:
a₃ = a₁ · q²
a₃ = 200,000 · 0.75²
a₃ = 200,000 · 0.5625
a₃ = 112,500 ש"ח

💡 0.75² = 0.5625

תשובה: 112,500 ש"ח

שאלה 33
2.22 נק'

✖️ מכפלת איברים:
בסדרה הנדסית: 2, 4, 8, 16, 32

מהי מכפלת כל האיברים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת השאלה 🔍

צריך לחשב:

2 × 4 × 8 × 16 × 32 = ?

שלב 2: רעיון מתמטי 📊

All terms are powers of 2!2 × 4 × 8 × 16 × 32= 2¹ × 2² × 2³ × 2⁴ × 2⁵= 2^(1+2+3+4+5) = 2¹⁵ = 32,768

שלב 3: חישוב 🎯

דרך 1: ישירות
2 × 4 = 8
8 × 8 = 64
64 × 16 = 1,024
1,024 × 32 = 32,768

דרך 2: חזקות
2¹⁺²⁺³⁺⁴⁺⁵ = 2¹⁵ = 32,768

תשובה: 32,768

שאלה 34
2.22 נק'

🔗 קשר מפתיע:
בסדרה חשבונית: 1, 2, 3, 4, 5
יוצרים סדרה חדשה: 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

הסדרה החדשה היא:

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: כתיבת הסדרה החדשה 🔍

הסדרה המקורית (חשבונית): 1, 2, 3, 4, 5

הסדרה החדשה:
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 16
2⁵ = 32

הסדרה: 2, 4, 8, 16, 32

שלב 2: בדיקת הסדרה 📊

New sequence: 2, 4, 8, 16, 322×24×28×216×232q=2!

שלב 3: מסקנה 🎯

בדיקה:
4 ÷ 2 = 2 ✓
8 ÷ 4 = 2 ✓
16 ÷ 8 = 2 ✓
32 ÷ 16 = 2 ✓

סדרה הנדסית עם q = 2!

💡 כלל: אם מעלים מספר בחזקות סדרה חשבונית, מקבלים סדרה הנדסית!

תשובה: סדרה הנדסית עם q = 2

שאלה 35
2.22 נק'

📊 איברים גדולים:
בסדרה: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, ...

כמה איברים קטנים מ-500?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הסדרה 🔍

הסדרה: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, ...

a₁ = 1, q = 3

זו סדרת חזקות של 3:
3⁰, 3¹, 3², 3³, ...

שלב 2: מציאת האיברים 📊

Which terms are less than 500?1✓3✓9✓27✓81✓243✓729✗>5005006 ✓

שלב 3: ספירה 🎯

האיברים:
a₁ = 1 < 500 ✓
a₂ = 3 < 500 ✓
a₃ = 9 < 500 ✓
a₄ = 27 < 500 ✓
a₅ = 81 < 500 ✓
a₆ = 243 < 500 ✓
a₇ = 729 > 500 ✗

6 איברים קטנים מ-500

תשובה: 6

שאלה 36
2.22 נק'

💊 פירוק תרופה:
נלקחה תרופה במינון 400 מ"ג.
כל שעה נשאר בגוף 80% מהכמות.

כמה יישאר בגוף אחרי 3 שעות?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הסדרה 🔍

💊 נשאר 80% = סדרה הנדסית יורדת

a₁ = 400 מ"ג
q = 0.8 (80% = 0.8)
n = 4 (התחלה + 3 שעות)

שלב 2: המחשה 📊

💊 Drug remaining: 80% each hourHour 0400×0.8Hour 1320×0.8Hour 2256×0.8Hour 3204.8

שלב 3: חישוב 🎯

נוסחה:
a₄ = a₁ · q³
a₄ = 400 · 0.8³
a₄ = 400 · 0.512
a₄ = 204.8 מ"ג

💡 0.8³ = 0.512

תשובה: 204.8 מ"ג

שאלה 37
2.22 נק'

🔢 מספר איברים:
בסדרה הנדסית: a₁ = 2, q = 3
סכום הסדרה הוא 728.

כמה איברים יש בסדרה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הצבה בנוסחה 🔍

נתונים:
a₁ = 2, q = 3, Sₙ = 728

נוסחה:
Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1)

שלב 2: פתרון משוואה 📊

Finding n728 = 2(3ⁿ - 1)/(3 - 1)728 = (3ⁿ - 1) → 3ⁿ = 7293⁶ = 729 → n = 6

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

פתרון:
728 = 2(3ⁿ - 1)/2
728 = 3ⁿ - 1
3ⁿ = 729

💡 3⁶ = 729
n = 6

בדיקה:
S₆ = 2+6+18+54+162+486 = 728 ✓

תשובה: 6

שאלה 38
2.22 נק'

⚖️ יחס בין איברים:
בסדרה הנדסית, האיבר הרביעי גדול פי 8 מהאיבר הראשון.

מהי המנה q?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תרגום לשפה מתמטית 🔍

נתון:
a₄ = 8 · a₁

מנוסחת האיבר הכללי:
a₄ = a₁ · q³

שלב 2: פתרון 📊

a₄ = 8·a₁a₁ · q³ = 8 · a₁q³ = 8 → q = 2

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

פתרון:
a₄ = a₁ · q³
8·a₁ = a₁ · q³

מחלקים ב-a₁:
q³ = 8

💡 ³√8 = 2
q = 2

בדיקה: a₁→2a₁→4a₁→8a₁ ✓

תשובה: 2

שאלה 39
2.22 נק'

🧩 מציאת המנה מסכום:
בסדרה הנדסית: a₁ = 3, S₃ = 21

מהי המנה q?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: כתיבת משוואה 🔍

נתונים:
a₁ = 3, S₃ = 21

סכום 3 איברים:
S₃ = a₁ + a₂ + a₃
S₃ = 3 + 3q + 3q²

שלב 2: פתרון 📊

S₃ = 3 + 3q + 3q² = 213(1 + q + q²) = 211 + q + q² = 7 → q² + q - 6 = 0(q+3)(q-2) = 0 → q = 2

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

פתרון:
3 + 3q + 3q² = 21
3(1 + q + q²) = 21
1 + q + q² = 7
q² + q - 6 = 0
(q + 3)(q - 2) = 0

q = 2 או q = -3

q = 2 (מהתשובות)

בדיקה: 3+6+12 = 21 ✓

תשובה: 2

שאלה 40
2.22 נק'

📐 משולש מיוחד:
צלעות משולש יוצרות סדרה הנדסית: 4, x, 9

מהו x?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תכונת הממוצע ההנדסי 🔍

בסדרה הנדסית של 3 איברים:

האיבר האמצעי הוא הממוצע ההנדסי!

x² = a · c

שלב 2: חישוב 📊

Geometric mean: x² = 4 × 949x = ?x² = 36 → x = 6

שלב 3: פתרון 🎯

חישוב:
x² = 4 × 9
x² = 36
x = 6

בדיקה:
הסדרה: 4, 6, 9
6÷4 = 1.5 ✓
9÷6 = 1.5 ✓

💡 גם מתקיים אי-שוויון המשולש!

תשובה: 6

שאלה 41
2.22 נק'

🎢 נדנדה:
נדנדה מתחילה בתנודה של 80 ס"מ.
כל תנודה היא 75% מהקודמת.

מה סכום כל התנודות (עד אינסוף)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הסדרה 🔍

🎢 תנודות פוחתות = סדרה הנדסית אינסופית

a₁ = 80 ס"מ
q = 0.75

|q| = 0.75 < 1 ✓ יש סכום סופי!

שלב 2: המחשה 📊

🎢 Swing oscillations decreasing806045...Total sum:320 cm

שלב 3: חישוב 🎯

נוסחת סכום אינסופי:
S∞ = a₁ / (1 - q)

S = 80 / (1 - 0.75)
S = 80 / 0.25
S = 320 ס"מ

💡 80 + 60 + 45 + 33.75 + ... = 320

תשובה: 320 ס"מ

שאלה 42
2.22 נק'

⚖️ השוואת סדרות:
סדרה א׳: 2, 4, 8, 16, ... (הנדסית)
סדרה ב׳: 2, 5, 8, 11, ... (חשבונית)

באיזה איבר הסדרה ההנדסית עוקפת את החשבונית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: כתיבת האיברים 🔍

סדרה א׳ (הנדסית): a₁=2, q=2
2, 4, 8, 16, 32, ...

סדרה ב׳ (חשבונית): a₁=2, d=3
2, 5, 8, 11, 14, ...

שלב 2: השוואה 📊

Comparing sequencesn=1n=2n=3n=4n=52481632Geom.2581114Arith.16 > 11 ✓

שלב 3: מסקנה 🎯

השוואה:
n=1: 2 = 2 (שווים)
n=2: 4 < 5 (חשבונית גדולה)
n=3: 8 = 8 (שווים)
n=4: 16 > 11 (הנדסית גדולה!) ✓
n=5: 32 > 14

באיבר הרביעי ההנדסית עוקפת!

תשובה: האיבר הרביעי

שאלה 43
2.22 נק'

🔢 שלושה עוקבים:
שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית סכומם 14 ומכפלתם 64.

מהו האיבר האמצעי?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: סימון חכם! 🔍

💡 טריק: נסמן את שלושת האיברים כך:

a/q, a, a·q

כאשר a הוא האיבר האמצעי!

זה מפשט את החישובים מאוד.

שלב 2: מכפלה 📊

Product of three terms(a/q) × a × (a·q) = 64a³ = 64a = ³√64 = 4

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

מהמכפלה:
(a/q) · a · (a·q) = 64
a³ = 64
a = 4

בדיקה עם הסכום:
a/q + a + a·q = 14
4/q + 4 + 4q = 14
4/q + 4q = 10
q = 2 או q = ½

הסדרה: 2, 4, 8 (סכום=14 ✓)

תשובה: 4

שאלה 44
2.22 נק'

📊 לוגריתמים:
אם 2, 4, 8, 16 היא סדרה הנדסית,
אז log₂(2), log₂(4), log₂(8), log₂(16) היא:

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב הלוגריתמים 🔍

log₂(2) = 1 (כי 2¹ = 2)
log₂(4) = 2 (כי 2² = 4)
log₂(8) = 3 (כי 2³ = 8)
log₂(16) = 4 (כי 2⁴ = 16)

הסדרה החדשה: 1, 2, 3, 4

שלב 2: זיהוי הסדרה 📊

Geometric → Logarithm → Arithmetic!Geometric:24816q=2↓ log₂ ↓Arithmetic:1234d=1

שלב 3: מסקנה 🎯

בדיקה:
2 - 1 = 1 ✓
3 - 2 = 1 ✓
4 - 3 = 1 ✓

סדרה חשבונית עם d = 1!

💡 כלל: לוגריתם של סדרה הנדסית = סדרה חשבונית!

תשובה: סדרה חשבונית: 1, 2, 3, 4

שאלה 45
2.22 נק'

🎯 שאלת סיכום:
בסדרה הנדסית: סכום האיבר הראשון והשלישי הוא 20.
סכום האיבר השני והרביעי הוא 40.

מהו האיבר הראשון a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: כתיבת משוואות 🔍

נתונים:
a₁ + a₃ = 20
a₂ + a₄ = 40

בסימונים:
a₁ + a₁q² = 20 → a₁(1 + q²) = 20 ... (1)
a₁q + a₁q³ = 40 → a₁q(1 + q²) = 40 ... (2)

שלב 2: פתרון 📊

Divide equations to find q(2)÷(1): q = 40/20 = 2From (1): a₁(1 + 4) = 20 → 5a₁ = 20a₁ = 4

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

צעד 1: מציאת q
חלוקת (2) ב-(1):
a₁q(1+q²) / a₁(1+q²) = 40/20
q = 2

צעד 2: מציאת a₁
a₁(1 + 2²) = 20
a₁ · 5 = 20
a₁ = 4

בדיקה:
הסדרה: 4, 8, 16, 32
a₁+a₃ = 4+16 = 20 ✓
a₂+a₄ = 8+32 = 40 ✓

תשובה: 4

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 45 הושלמו