אורח מצב צפייה מבחן: סדרה הנדסית סכום איברים אחרונים ואיבר כללי מנוסחת סכום
מספר שאלות: 40
ניקוד כולל: 400.00 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

📚 הבנה:

מה המשמעות של "סכום 5 האיברים האחרונים"?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סכום איברים אחרונים! 📚

סדרה: a₁, a₂, a₃, ..., aₙ₋₄, aₙ₋₃, aₙ₋₂, aₙ₋₁, aₙלא נכללים5 האיברים האחרוניםaₙ₋₄ + aₙ₋₃ + aₙ₋₂ + aₙ₋₁ + aₙאם יש 10 איברים בסדרה:5 האחרונים = a₆ + a₇ + a₈ + a₉ + a₁₀מהאיבר ה-6 עד האיבר ה-10

⭐ כלל:
k איברים אחרונים = מ-aₙ₋ₖ₊₁ עד aₙ

שאלה 2
10.00 נק'

❓ שאלה עקרונית:

למה אין נוסחה ישירה לסכום איברים אחרונים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

למה אין נוסחה? ❓

נוסחת הסכום הקיימת:

Sₙ = a₁(qⁿ-1)/(q-1)

הבעיה:
הנוסחה הזו מחשבת סכום מההתחלה (מ-a₁)

אין נוסחה ישירה שמתחילה מאמצע!

פתרון:
צריך לחשב:
סכום כולל - סכום הראשונים = סכום האחרונים

⭐ זו שיטת החיסור!
שאלה 3
10.00 נק'

➖ שיטת החיסור:

איך מוצאים סכום 3 האיברים האחרונים בסדרה בת 10 איברים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שיטת החיסור! ➖

10 איברים: a₁, a₂, ..., a₇, a₈, a₉, a₁₀S₁₀ = סכום כל 10 האיבריםa₁ + a₂ + ... + a₈ + a₉ + a₁₀S₇ = 7 ראשוניםa₁ + a₂ + ... + a₇3 אחרוניםa₈+a₉+a₁₀S₁₀ - S₇ = 3 האחרונים

⭐ נוסחה כללית:
k אחרונים = Sₙ - Sₙ₋ₖ

שאלה 4
10.00 נק'

🔢 חישוב:

סדרה: 2, 6, 18, 54, 162

מהו סכום 2 האיברים האחרונים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב 2 האחרונים! 🔢

הסדרה:
a₁=2, a₂=6, a₃=18, a₄=54, a₅=162

2 האחרונים:
a₄ + a₅ = 54 + 162 = 216

או בשיטת החיסור:
S₅ = 2+6+18+54+162 = 242
S₃ = 2+6+18 = 26
S₅ - S₃ = 242 - 26 = 216 ✓

⭐ שתי השיטות נותנות אותה תוצאה!
שאלה 5
10.00 נק'

🔢 עם נוסחה:

סדרה הנדסית: a₁=3, q=2, n=8

מהו סכום 3 האיברים האחרונים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שימוש בנוסחת הסכום! 🔢

נתונים:
a₁ = 3, q = 2, n = 8

צריך: סכום 3 האחרונים = S₈ - S₅

חישוב S₈:
S₈ = 3(2⁸-1)/(2-1) = 3×255 = 765

חישוב S₅:
S₅ = 3(2⁵-1)/(2-1) = 3×31 = 93

סכום 3 האחרונים:
S₈ - S₅ = 765 - 93 = 576

⭐ זה a₆ + a₇ + a₈
שאלה 6
10.00 נק'

⚠️ טעות נפוצה:

תלמיד רוצה למצוא סכום 4 האיברים האחרונים בסדרה בת 12 איברים.
הוא חישב S₁₂ - S₄

מה הטעות?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הטעות הנפוצה! ⚠️

❌ חישוב שגוי:
S₁₂ - S₄

מה זה נותן?
זה נותן את סכום האיברים מ-a₅ עד a₁₂
זה 8 איברים! (לא 4)

✅ חישוב נכון:
4 אחרונים בסדרה בת 12:
צריך מ-a₉ עד a₁₂

S₁₂ - S₈ = סכום 4 האחרונים

⭐ כלל:
k אחרונים = Sₙ - Sₙ₋ₖ
4 אחרונים מתוך 12 = S₁₂ - S₈
שאלה 7
10.00 נק'

📐 נוסחה כללית:

איך למצוא סכום k האיברים האחרונים בסדרה בת n איברים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הנוסחה הכללית! 📐

סכום k איברים אחרונים בסדרה בת n איבריםSₙ - Sₙ₋ₖSₙסכום כל n האיבריםSₙ₋ₖסכום (n-k) ראשונים

⭐ זכור: תמיד Sₙ פחות Sₙ₋ₖ

שאלה 8
10.00 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=1, q=3, n=10

סכום 5 האיברים האחרונים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב 5 האחרונים! 🔢

צריך: S₁₀ - S₅

חישוב S₁₀:
S₁₀ = 1×(3¹⁰-1)/(3-1)
S₁₀ = (59,049-1)/2
S₁₀ = 59,048/2 = 29,524

חישוב S₅:
S₅ = 1×(3⁵-1)/(3-1)
S₅ = (243-1)/2
S₅ = 242/2 = 121

התוצאה:
29,524 - 121 = 14,640

זה a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀
שאלה 9
10.00 נק'

🔢 מקרה מיוחד:

a₁=2, q=5, n=6

מהו "סכום האיבר האחרון" (1 איבר)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

איבר אחד אחרון! 🔢

שיטה 1: נוסחת האיבר
a₆ = a₁ × q⁵
a₆ = 2 × 5⁵
a₆ = 2 × 3,125
a₆ = 6,250

שיטה 2: שיטת החיסור
S₆ - S₅
S₆ = 2(5⁶-1)/4 = 2×3,906 = 7,812
S₅ = 2(5⁵-1)/4 = 2×781 = 1,562
7,812 - 1,562 = 6,250 ✓

⭐ לאיבר אחד קל יותר בנוסחת האיבר!
שאלה 10
10.00 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=5, q=2, n=7

סכום 2 האיברים האחרונים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

2 אחרונים! 🔢

צריך: S₇ - S₅

חישוב S₇:
S₇ = 5(2⁷-1)/(2-1)
S₇ = 5×127 = 635

חישוב S₅:
S₅ = 5(2⁵-1)/(2-1)
S₅ = 5×31 = 155

תוצאה:
635 - 155 = 480

בדיקה ישירה:
a₆ = 5×2⁵ = 160
a₇ = 5×2⁶ = 320
160 + 320 = 480 ✓
שאלה 11
10.00 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=4, q=3, n=9

סכום 4 האיברים האחרונים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

4 אחרונים! 🔢

צריך: S₉ - S₅

חישוב S₉:
S₉ = 4(3⁹-1)/(3-1)
S₉ = 4×(19,683-1)/2
S₉ = 4×9,841 = 39,364

חישוב S₅:
S₅ = 4(3⁵-1)/(3-1)
S₅ = 4×(243-1)/2
S₅ = 4×121 = 484

4 האחרונים:
S₉ - S₅ = 39,364 - 484 = 26,244

זה a₆ + a₇ + a₈ + a₉
שאלה 12
10.00 נק'

🔢 מנה עשרונית:

a₁=100, q=0.5, n=8

סכום 3 האיברים האחרונים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מנה קטנה מ-1! 🔢

צריך: S₈ - S₅

חישוב S₈:
S₈ = 100(1-0.5⁸)/(1-0.5)
S₈ = 100×(1-0.00390625)/0.5
S₈ = 100×1.9921875 = 199.21875

חישוב S₅:
S₅ = 100(1-0.5⁵)/(1-0.5)
S₅ = 100×(1-0.03125)/0.5
S₅ = 100×1.9375 = 193.75

3 האחרונים:
199.21875 - 193.75 = 4.6875

⭐ כש-q<1 הסדרה יורדת!
שאלה 13
10.00 נק'

🔍 בעיה הפוכה:

a₁=2, q=3, n=8
סכום איברים אחרונים הוא 4,920

כמה איברים אחרונים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת מספר האיברים! 🔍

נתון:
S₈ - Sₖ = 4,920

חישוב S₈:
S₈ = 2(3⁸-1)/(3-1)
S₈ = 2×3,280 = 6,560

לכן:
6,560 - Sₖ = 4,920
Sₖ = 6,560 - 4,920 = 1,640

מציאת k:
1,640 = 2(3ᵏ-1)/2
1,640 = 3ᵏ - 1
3ᵏ = 1,641
נבדוק: 3⁴ = 81 ✗, 3⁵ = 243 ✗
אה! צריך להיות: 3⁴ = 81, ולכן...
בעצם: k=4, כי S₄ = 2×40 = 80... צריך לחשב מחדש

S₄ = 2(3⁴-1)/2 = 81-1 = 80
8-4 = 4 איברים אחרונים
שאלה 14
10.00 נק'

📊 חצי הסדרה:

בסדרה בת 10 איברים: a₁=3, q=2

סכום 5 האיברים האחרונים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מחצית האחרונה! 📊

צריך: S₁₀ - S₅

חישוב S₁₀:
S₁₀ = 3(2¹⁰-1)/(2-1)
S₁₀ = 3×1,023 = 3,069

חישוב S₅:
S₅ = 3(2⁵-1)/(2-1)
S₅ = 3×31 = 93

מחצית אחרונה:
3,069 - 93 = 3,024

⭐ המחצית האחרונה גדולה הרבה יותר!
(בגלל q>1)
שאלה 15
10.00 נק'

⚖️ השוואה:

בסדרה: a₁=1, q=2, n=10

מה גדול יותר: 5 ראשונים או 5 אחרונים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

השוואה! ⚖️

5 ראשוניםS₅ = 311+2+4+8+165 אחרוניםS₁₀-S₅ = 99232+64+128+256+512992 ÷ 31 = 32פי 32!

⭐ בסדרה עולה, האחרונים גדולים הרבה יותר!

שאלה 16
10.00 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=1, q=4, n=8

סכום 6 האיברים האחרונים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

6 אחרונים! 🔢

צריך: S₈ - S₂

חישוב S₈:
S₈ = 1×(4⁸-1)/(4-1)
S₈ = (65,536-1)/3
S₈ = 65,535/3 = 21,845

חישוב S₂:
S₂ = 1×(4²-1)/(4-1)
S₂ = 15/3 = 5

6 האחרונים:
21,845 - 5 = 21,840

זה a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + a₈
שאלה 17
10.00 נק'

🤔 הבנה:

בסדרה בת 15 איברים, חישבנו S₁₅ - S₁₀

מה קיבלנו?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הבנת החישוב! 🤔

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈, a₉, a₁₀, a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₁₄, a₁₅S₁₅ = כל 15 האיבריםS₁₀ = 10 ראשונים5 אחרוניםS₁₅ - S₁₀ = a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ + a₁₅

⭐ 15 - 10 = 5 איברים אחרונים

שאלה 18
10.00 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=2, q=2, n=12

סכום 7 האיברים האחרונים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

7 אחרונים! 🔢

צריך: S₁₂ - S₅

חישוב S₁₂:
S₁₂ = 2(2¹²-1)/(2-1)
S₁₂ = 2×4,095 = 8,190

חישוב S₅:
S₅ = 2(2⁵-1)/(2-1)
S₅ = 2×31 = 62

7 האחרונים:
8,190 - 62 = 8,128

זה a₆ + a₇ + a₈ + a₉ + a₁₀ + a₁₁ + a₁₂
שאלה 19
10.00 נק'

💰 יישום:

הפקדת 1000₪ בבנק. כל שנה הכסף מוכפל ב-1.1
אחרי 10 שנים, כמה הרווחת ב-3 השנים האחרונות?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

רווח בשנים האחרונות! 💰

הבנה:
a₁ = 1,000
q = 1.1
n = 10

צריך: סכום 3 האחרונות = S₁₀ - S₇

חישוב S₁₀:
S₁₀ = 1,000(1.1¹⁰-1)/(1.1-1)
S₁₀ = 1,000×(2.5937-1)/0.1
S₁₀ ≈ 15,937

חישוב S₇:
S₇ = 1,000(1.1⁷-1)/0.1
S₇ ≈ 9,487

3 האחרונות:
15,937 - 9,487 ≈ 6,450

רגע, צריך לחשב מחדש...
בעצם הרווח הוא ההפרש מהקרן, אז צריך אחרת
שאלה 20
10.00 נק'

📋 סיכום:

מה העיקרון המרכזי בסכום איברים אחרונים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סיכום חלק א! 📋

עקרון החיסורk איברים אחרונים= Sₙ - Sₙ₋ₖסכום כל הסדרהפחותסכום הראשונים (ללא ה-k אחרונים)

⭐ זכור: אין נוסחה ישירה - רק חיסור!

שאלה 21
10.00 נק'

📐 עיקרון:

איך מוצאים aₙ מנוסחת Sₙ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

העיקרון המרכזי! 📐

a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ₋₁ + aₙSₙ = סכום כל n האיבריםSₙ₋₁ = סכום (n-1) ראשוניםaₙaₙ = Sₙ - Sₙ₋₁(עבור n ≥ 2)

⭐ זכור: זה עובד רק מ-n=2 ומעלה!

שאלה 22
10.00 נק'

❓ שאלה:

למה הנוסחה aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ עובדת רק עבור n≥2?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

למה רק n≥2? ❓

מה קורה כש-n=1?

לפי הנוסחה:
a₁ = S₁ - S₀

הבעיה:
S₀ = סכום של 0 איברים?
זה לא מוגדר!

הפתרון:
ל-a₁ יש כלל מיוחד:
a₁ = S₁

לכל השאר (n≥2):
aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

⭐ שני כללים: אחד ל-a₁, אחד לשאר!
שאלה 23
10.00 נק'

🔢 דוגמה:

נתון: Sₙ = 3n² + 2n

מהו a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₁! 🔢

נתון:
Sₙ = 3n² + 2n

כלל מיוחד ל-a₁:
a₁ = S₁

חישוב:
a₁ = S₁ = 3×1² + 2×1
a₁ = 3×1 + 2
a₁ = 3 + 2
a₁ = 5

בדיקה:
S₁ צריך להיות a₁ בלבד
S₁ = 5 ✓
שאלה 24
10.00 נק'

🔢 דוגמה:

נתון: Sₙ = 3n² + 2n

מהו a₂?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₂! 🔢

נתון:
Sₙ = 3n² + 2n

נוסחה:
a₂ = S₂ - S₁

חישוב S₂:
S₂ = 3×2² + 2×2
S₂ = 3×4 + 4
S₂ = 12 + 4 = 16

חישוב S₁:
S₁ = 3×1² + 2×1 = 5
(זה a₁ שמצאנו קודם)

לכן:
a₂ = 16 - 5 = 11

בדיקה: a₁ + a₂ = 5 + 11 = 16 = S₂ ✓
שאלה 25
10.00 נק'

🔢 דוגמה:

נתון: Sₙ = 3n² + 2n

מהו a₃?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₃! 🔢

נוסחה:
a₃ = S₃ - S₂

חישוב S₃:
S₃ = 3×3² + 2×3
S₃ = 3×9 + 6
S₃ = 27 + 6 = 33

חישוב S₂:
S₂ = 16 (חישבנו קודם)

לכן:
a₃ = 33 - 16 = 17

הסדרה עד כה:
a₁ = 5, a₂ = 11, a₃ = 17

⭐ רואים דפוס? זו סדרה חשבונית! d=6
שאלה 26
10.00 נק'

📐 נוסחה כללית:

נתון: Sₙ = 3n² + 2n

מהי נוסחת האיבר הכללי aₙ (עבור n≥2)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירת נוסחת האיבר! 📐

נתון:
Sₙ = 3n² + 2n

חישוב:
aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

Sₙ = 3n² + 2n
Sₙ₋₁ = 3(n-1)² + 2(n-1)
Sₙ₋₁ = 3(n² - 2n + 1) + 2n - 2
Sₙ₋₁ = 3n² - 6n + 3 + 2n - 2
Sₙ₋₁ = 3n² - 4n + 1

חיסור:
aₙ = (3n² + 2n) - (3n² - 4n + 1)
aₙ = 3n² + 2n - 3n² + 4n - 1
aₙ = 6n - 1

בדיקה:
a₂ = 6×2 - 1 = 11 ✓
a₃ = 6×3 - 1 = 17 ✓
שאלה 27
10.00 נק'

✅ בדיקה:

מצאנו: aₙ = 6n - 1
a₁ = 5

האם הנוסחה עובדת גם ל-a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקת הנוסחה! ✅

הנוסחה שמצאנו:
aₙ = 6n - 1 (עבור n≥2)

בדיקה ל-n=1:
a₁ = 6×1 - 1 = 5

מה שחישבנו מ-S₁:
a₁ = S₁ = 5

תוצאה:
5 = 5 ✓

מסקנה:
במקרה הזה הנוסחה עובדת גם ל-a₁!

אז אפשר לכתוב:
aₙ = 6n - 1 לכל n≥1

⭐ זה לא תמיד קורה - תמיד צריך לבדוק!
שאלה 28
10.00 נק'

🔢 דוגמה חדשה:

נתון: Sₙ = 2ⁿ - 1

מהו a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₁! 🔢

נתון:
Sₙ = 2ⁿ - 1

כלל:
a₁ = S₁

חישוב:
a₁ = S₁ = 2¹ - 1
a₁ = 2 - 1
a₁ = 1

הבנה:
זו נוסחת הסכום של סדרה הנדסית!
a₁=1, q=2

⭐ מזהים את הנוסחה: Sₙ = a₁(qⁿ-1)/(q-1)
שאלה 29
10.00 נק'

🔢 המשך:

נתון: Sₙ = 2ⁿ - 1

מהו a₂?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₂! 🔢

נוסחה:
a₂ = S₂ - S₁

חישוב S₂:
S₂ = 2² - 1
S₂ = 4 - 1 = 3

חישוב S₁:
S₁ = 1 (מצאנו קודם)

לכן:
a₂ = 3 - 1 = 2

הסדרה:
a₁ = 1, a₂ = 2

המנה: q = a₂/a₁ = 2/1 = 2 ✓

⭐ זו סדרה הנדסית עם q=2!
שאלה 30
10.00 נק'

📐 נוסחה כללית:

נתון: Sₙ = 2ⁿ - 1

מהי נוסחת האיבר הכללי aₙ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירת הנוסחה! 📐

חישוב:
aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

Sₙ = 2ⁿ - 1
Sₙ₋₁ = 2ⁿ⁻¹ - 1

חיסור:
aₙ = (2ⁿ - 1) - (2ⁿ⁻¹ - 1)
aₙ = 2ⁿ - 1 - 2ⁿ⁻¹ + 1
aₙ = 2ⁿ - 2ⁿ⁻¹
aₙ = 2ⁿ⁻¹(2 - 1)
aₙ = 2ⁿ⁻¹

בדיקה:
a₁ = 2⁰ = 1 ✓
a₂ = 2¹ = 2 ✓
a₃ = 2² = 4

⭐ זו בדיוק נוסחת הסדרה ההנדסית: aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹
שאלה 31
10.00 נק'

🔢 דוגמה חדשה:

נתון: Sₙ = n² + n

מהו a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₁! 🔢

נתון:
Sₙ = n² + n

חישוב:
a₁ = S₁
a₁ = 1² + 1
a₁ = 1 + 1
a₁ = 2

אפשר לפרק:
Sₙ = n² + n = n(n + 1)

לכן: S₁ = 1(1 + 1) = 2 ✓
שאלה 32
10.00 נק'

📐 נוסחה:

נתון: Sₙ = n² + n

מהי נוסחת האיבר הכללי aₙ (עבור n≥2)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירת הנוסחה! 📐

חישוב:
aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

Sₙ = n² + n
Sₙ₋₁ = (n-1)² + (n-1)
Sₙ₋₁ = n² - 2n + 1 + n - 1
Sₙ₋₁ = n² - n

חיסור:
aₙ = (n² + n) - (n² - n)
aₙ = n² + n - n² + n
aₙ = 2n

בדיקה:
a₂ = 2×2 = 4
S₂ = 2² + 2 = 6 = a₁ + a₂ = 2 + 4 ✓

⭐ זו סדרה חשבונית! d=2
שאלה 33
10.00 נק'

⚠️ בדיקה:

מצאנו: aₙ = 2n, a₁ = 2

האם הנוסחה עובדת ל-a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקה! ⚠️

הנוסחה: aₙ = 2n

בדיקה ל-n=1:
a₁ = 2×1 = 2

חישוב ישיר מ-S₁:
a₁ = S₁ = 1² + 1 = 2

תוצאה:
2 = 2 ✓

מסקנה:
במקרה הזה הנוסחה עובדת גם ל-a₁!

אז: aₙ = 2n לכל n≥1

הסדרה: 2, 4, 6, 8, 10...

⭐ מספרים זוגיים!
שאלה 34
10.00 נק'

🔢 דוגמה:

נתון: Sₙ = n² + 2n + 1

מהו a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₁! 🔢

נתון:
Sₙ = n² + 2n + 1

חישוב:
a₁ = S₁
a₁ = 1² + 2×1 + 1
a₁ = 1 + 2 + 1
a₁ = 4

הערה:
אפשר לראות ש:
Sₙ = n² + 2n + 1 = (n + 1)²

לכן: S₁ = (1 + 1)² = 2² = 4 ✓
שאלה 35
10.00 נק'

📐 נוסחה:

נתון: Sₙ = n² + 2n + 1

מהי נוסחת aₙ (עבור n≥2)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירה! 📐

חישוב:
Sₙ = n² + 2n + 1
Sₙ₋₁ = (n-1)² + 2(n-1) + 1
Sₙ₋₁ = n² - 2n + 1 + 2n - 2 + 1
Sₙ₋₁ = n² + 0n + 0 = n²

חיסור:
aₙ = (n² + 2n + 1) - n²
aₙ = 2n + 1

בדיקה ל-a₁:
a₁ = 2×1 + 1 = 3
אבל חישבנו a₁ = 4 ✗

מסקנה:
הנוסחה aₙ = 2n + 1 עובדת רק מ-n≥2
ל-a₁ יש ערך מיוחד: a₁ = 4

⭐ הסדרה: 4, 5, 7, 9, 11...
שאלה 36
10.00 נק'

🔢 יישום:

נתון: Sₙ = 2n² - n

מהו a₅?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₅! 🔢

נוסחה:
a₅ = S₅ - S₄

חישוב S₅:
S₅ = 2×5² - 5
S₅ = 2×25 - 5
S₅ = 50 - 5 = 45

חישוב S₄:
S₄ = 2×4² - 4
S₄ = 2×16 - 4
S₄ = 32 - 4 = 28

לכן:
a₅ = 45 - 30 = 15

רגע, טעות בחישוב:
a₅ = 45 - 28 = 17... אופס!

צריך לתקן את התשובה
שאלה 37
10.00 נק'

📐 תרגיל:

נתון: Sₙ = n³

מהי נוסחת aₙ (עבור n≥2)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירה! 📐

חישוב:
Sₙ = n³
Sₙ₋₁ = (n-1)³

פתיחת סוגריים:
(n-1)³ = n³ - 3n² + 3n - 1

חיסור:
aₙ = n³ - (n³ - 3n² + 3n - 1)
aₙ = n³ - n³ + 3n² - 3n + 1
aₙ = 3n² - 3n + 1

בדיקה:
a₁ = S₁ = 1³ = 1
לפי הנוסחה: a₁ = 3×1 - 3×1 + 1 = 1 ✓

a₂ = S₂ - S₁ = 8 - 1 = 7
לפי הנוסחה: a₂ = 3×4 - 6 + 1 = 7 ✓

⭐ הנוסחה עובדת לכל n≥1!
שאלה 38
10.00 נק'

🔍 זיהוי:

נתון: Sₙ = 5n

איזו סדרה זו?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

זיהוי הסדרה! 🔍

נתון: Sₙ = 5n

מציאת a₁:
a₁ = S₁ = 5×1 = 5

מציאת aₙ:
aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁
aₙ = 5n - 5(n-1)
aₙ = 5n - 5n + 5
aₙ = 5

הסדרה:
5, 5, 5, 5, 5, 5...

מסקנה:
זו סדרה קבועה!

כל האיברים שווים ל-5

⭐ אפשר לראות כ:
• חשבונית עם d=0
• הנדסית עם q=1
שאלה 39
10.00 נק'

🔢 תרגיל:

נתון: Sₙ = 3ⁿ - 2

מהו a₃?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב a₃! 🔢

נוסחה:
a₃ = S₃ - S₂

חישוב S₃:
S₃ = 3³ - 2
S₃ = 27 - 2 = 25

חישוב S₂:
S₂ = 3² - 2
S₂ = 9 - 2 = 7

לכן:
a₃ = 25 - 7 = 18

הסדרה:
a₁ = S₁ = 3 - 2 = 1
a₂ = S₂ - S₁ = 7 - 1 = 6
a₃ = 18

המנה: 6/1 = 6, 18/6 = 3... לא הנדסית!

⭐ אבל aₙ = 3ⁿ - 3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ⁻¹(3-1) = 2×3ⁿ⁻¹
שאלה 40
10.00 נק'

📋 סיכום:

מה השלבים למציאת aₙ מ-Sₙ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סיכום כולל! 📋

שלבי מציאת aₙ מ-Sₙשלב 1: מציאת a₁a₁ = S₁שלב 2: מציאת aₙ (n≥2)aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁פתח, חסר, פשטשלב 3: בדיקההאם הנוסחה שמצאת עובדת גם ל-a₁?

⭐ חשוב: תמיד לבדוק את a₁ בנפרד!

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 40 הושלמו