AB = 4, AC = 5, BC = 3 → משפט פיתגורס → ישר זווית.

אמצע: \(\left(\frac{2+8}{2},\frac{6+2}{2}\right)=(5,4)\).

AB = CD באותו כיוון, BC = AD באותו כיוון → מקבילית.

אמצע: \((1+7)/2 , (1+5)/2 = (4,3)\).

שתי זוגות צלעות מקבילות + זוויות ישרות.

A קרובה ביותר כי המרחק הוא 1.

AB מקביל ל־CD → טרפז.

פיתגורס: \(\sqrt{6^2+8^2}=10\).

צלע מאונכת לציר ה־X היא צלע אנכית – כלומר שבה ערכי ה־x של שתי הנקודות קבועים. לצלע CD ערך x זהה לשתי הנקודות ולכן היא מאונכת לציר ה־X.

היתר: בין B ל־C. אמצע: \((6+0)/2, (0+8)/2 = (3,4)\).

במקבילית – האלכסונים נחתכים במחציתם. אמצע AC = (3.5, 2.5), אמצע BD = (3, 2.5). לא זהים → לא מקבילית.

שיפוע AB = 2/4 = 0.5. שיפוע CD = (2-2)/(6-2) = 0. שיפועים שונים → אינן מקבילות.

שיפוע AB = 2/4 = 0.5. שיפוע CD = (2-2)/(6-2) = 0. שיפועים שונים → אינן מקבילות.

BC = \(\sqrt{(4-6)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \approx 3.6\).

AB אופקי, BC אנכי → זוויות 90° → מלבן.

AC: (0+5)/2 , (0+3)/2 = (2.5,1.5) BD: (6+1)/2 , (0+3)/2 = (3,1.5).

\(\sqrt{(7-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}\).

אמצע AC = (4,3). אמצע BD = (4,3). זה מרכז.

\(\sqrt{(7-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{49+25} = \sqrt{74}\).

כל הצלעות שוות (3), וכולן ניצבות → ריבוע.

מרחק B: \(\sqrt{(4-3)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}\) הקטן ביותר.

נבדוק אמצע אלכסונים:
אמצע AC: \(\left(\frac{1+7}{2},\frac{1+6}{2}\right)=(4,3.5)\)
אמצע BD: \(\left(\frac{5+3}{2},\frac{2+5}{2}\right)=(4,3.5)\)
אמצעי האלכסונים זהים → המרובע הוא מקבילית.

במקבילית מתקיים: \(\vec{AD} = \vec{BC}\) או \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
\(\vec{BC} = (8-5,7-3) = (3,4)\). לכן \(D = A + \vec{BC} = (1+3,2+4) = (4,6)\).

AB ∥ CD, והצלעות האלכסוניות AD ו-BC שוות זו לזו.
זו בדיוק הצורה של טרפז שווה שוקיים (תחתית רחבה, בסיס עליון קצר יותר). הצלעות אינן מאונכות ואינן שוות כולן → לא ריבוע.

AB = 4. נבדוק AD: \(\sqrt{(2-0)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{4+k^2}\). נדרוש AD = 4 → \(4+k^2 = 16 \Rightarrow k^2 = 12 \Rightarrow k = \pm \sqrt{12}\). בדומה אפשר לוודא שגם BC ו-CD באורך 4.

קודם כל מחשבים: \(M(3,0)\), \(N(2,2)\). מרחק MN: \(\sqrt{(3-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \approx 2.24.\)
לפי משפט הקטע האמצעי, MN הוא חצי מאורך BC, ואפשר גם לבדוק ישירות.

במקבילית האלכסונים נחתכים במחציתם ולכן מספיק לחשב אמצע של אחד האלכסונים:
אמצע AC: \(\left(\frac{1+7}{2},\frac{2+7}{2}\right) = (4,4.5)\). זה גם אמצע BD.

נחשב אורכי צלעות: AB: \(\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)
BC: \(\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\)
CD: \(\sqrt{(-3)^2+(-1)^2}=\sqrt{10}\)
DA: \(\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{10}\)
כל הצלעות שוות באורכן → מעוין.

AB ∥ CD כי לשתיהן אותו y. נחשב שוקיים: AD: \(\sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{10}\)
BC: \(\sqrt{(5-6)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{10}\)
שתי הצלעות האלכסוניות שוות → טרפז שווה שוקיים.

AC: \(\sqrt{k^2 + 3^2} = \sqrt{k^2+9}\)
BC: \(\sqrt{(k-4)^2 + 3^2} = \sqrt{(k-4)^2+9}\)
נדרוש AC = BC → \(k^2+9 = (k-4)^2+9 \Rightarrow k^2 = k^2 -8k + 16 \Rightarrow 8k = 16 \Rightarrow k=2\).

AB = 4, BC = \(\sqrt{10}\), CD = 4, DA = \(\sqrt{10}\). יש שתי צלעות נגדיות שוות ושתי צלעות נוספות שוות, והזוויות ישרות (AB אופקי, BC אנכי). כלומר זה מלבן, אבל האורכים אינם שווים (4 לעומת \(\sqrt{10}\)) ולכן אינו ריבוע.

צלע מאונכת לציר ה־X היא צלע אנכית, כלומר שבה ערך ה־x של שתי הנקודות זהה.
בשרטוט:
A(80,180), B(200,180), C(200,80), D(80,80)

רק לצלע BC יש ערכי x שווים (x = 200), ולכן היא מאונכת לציר ה־X.

צלע אנכית היא צלע שבה ערך ה־x קבוע. הנקודות Q ו־R נמצאות על אותו ערך x ולכן QR היא הצלע המאונכת לציר ה־X.

צלע NP אנכית מפני שערך ה־x של N ושל P שווה, ולכן היא מאונכת לציר ה־X.

WX מאונכת משום שלשתי הנקודות יש ערך x קבוע (x = 100), ולכן זו הצלע האנכית.