פונקציה הופכית - 1/f(x) אנליזה חדו"א | מבחן אינטראקטיבי עם פתרונות

אורח מצב צפייה מבחן: פונקציה הופכית - 1/f(x) אנליזה חדו"א

מספר שאלות: 13

ניקוד כולל: 130.00 נק'

שאלה 1

10.00 נק'

🔄 הופכי:

אם \(f(2)=4\), מה ערך \(\frac{1}{f(2)}\)?

1/4 - הופכי של 4

-4

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הופכי - המושג הבסיסי! 🔄

🔄 \(\frac{1}{f(x)}\) - הופכי:

💡 הרעיון:

הופכי = 1 חלקי המספר

\(g(x) = \frac{1}{f(x)}\)

דוגמאות מספריות:

\(\frac{1}{2} = 0.5\)

\(\frac{1}{4} = 0.25\)

\(\frac{1}{10} = 0.1\)

\(\frac{1}{0.5} = 2\)

\(\frac{1}{0.25} = 4\)

כלל חשוב:

גדול → קטן
קטן → גדול

\(\frac{1}{\infty} = 0\)

\(\frac{1}{0} = \infty\) (לא מוגדר!)

🧮 הדוגמה שלנו:

חישוב פשוט:

\(f(2) = 4\)

\(\frac{1}{f(2)} = \frac{1}{4}\)

\(= 0.25\)

בדיקה:
\(4 \times 0.25 = 1\) ✓

📊 טבלת היפוך:

\(f(x)\)	\(\frac{1}{f(x)}\)	מה קרה?
10	0.1	קטן מאוד
4	0.25	קטן
2	0.5	חצי
1	1	זהה!
0.5	2	גדל
0.25	4	גדל הרבה
0.1	10	ענק!

שים לב:

• גדול מ-1 → קטן מ-1
• קטן מ-1 → גדול מ-1
• 1 → נשאר 1
• קרוב ל-0 → ענק!
• ענק → קרוב ל-0

🎯 לזכור:

\(\frac{1}{f(x)}\)

• הופכי = 1 חלקי
• גדול ↔ קטן
• 1 נשאר 1
• \(0 \to \infty\) (בעיה!)
• סימן נשמר

שאלה 2

10.00 נק'

🔄 הופכי:

אם \(f(2)=4\), מה ערך \(\frac{1}{f(2)}\)?

1/4 - הופכי של 4

-4

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הופכי - המושג הבסיסי! 🔄

🔄 \(\frac{1}{f(x)}\) - הופכי:

💡 הרעיון:

כלל חשוב:

גדול → קטן
קטן → גדול

\(\frac{1}{\infty} = 0\)

\(\frac{1}{0} = \infty\) (לא מוגדר!)

🧮 הדוגמה שלנו:

חישוב פשוט:

\(f(2) = 4\)

\(\frac{1}{f(2)} = \frac{1}{4}\)

\(= 0.25\)

בדיקה:
\(4 \times 0.25 = 1\) ✓

📊 טבלת היפוך:

\(f(x)\)	\(\frac{1}{f(x)}\)	מה קרה?
10	0.1	קטן מאוד
4	0.25	קטן
2	0.5	חצי
1	1	זהה!
0.5	2	גדל
0.25	4	גדל הרבה
0.1	10	ענק!

שים לב:

• גדול מ-1 → קטן מ-1
• קטן מ-1 → גדול מ-1
• 1 → נשאר 1
• קרוב ל-0 → ענק!
• ענק → קרוב ל-0

🎯 לזכור:

\(\frac{1}{f(x)}\)

• הופכי = 1 חלקי
• גדול ↔ קטן
• 1 נשאר 1
• \(0 \to \infty\) (בעיה!)
• סימן נשמר

שאלה 3

10.00 נק'

⚠️ אפס:

מה קורה כש-\(f(x)=0\)?

שווה ∞

שווה 0

1/f(x) לא מוגדר - חלוקה באפס אסורה! אסימפטוטה אנכית

שווה 1

הסבר:

💡 הסבר:

הבעיה הגדולה - אפס! ⚠️

🚫 חלוקה באפס!

\(\frac{1}{0}\) = לא מוגדר

אסור במתמטיקה!

מה זה אומר?

\(f(x) = 0\):

\(\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{0}\)

→ לא מוגדר!

הגרף "נקרע"
קו אנכי
אסימפטוטה

דוגמה:

\(f(x) = x-2\)
אפס ב-\(x=2\)

\(\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{x-2}\)
לא מוגדר ב-\(x=2\)

התנהגות:

כש-\(x \to 2^-\) (מלמעלה):
\(f(x) \to 0^+\)
\(\frac{1}{f(x)} \to +\infty\) 📈

כש-\(x \to 2^+\) (מלמטה):
\(f(x) \to 0^-\)
\(\frac{1}{f(x)} \to -\infty\) 📉

שאלה 4

10.00 נק'

⚠️ אפס:

מה קורה כש-\(f(x)=0\)?

שווה 0

שווה 1

שווה ∞

1/f(x) לא מוגדר - חלוקה באפס אסורה! אסימפטוטה אנכית

הסבר:

💡 הסבר:

הבעיה הגדולה - אפס! ⚠️

🚫 חלוקה באפס!

\(\frac{1}{0}\) = לא מוגדר

אסור במתמטיקה!

מה זה אומר?

\(f(x) = 0\):

\(\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{0}\)

→ לא מוגדר!

הגרף "נקרע"
קו אנכי
אסימפטוטה

דוגמה:

\(f(x) = x-2\)
אפס ב-\(x=2\)

\(\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{x-2}\)
לא מוגדר ב-\(x=2\)

התנהגות:

כש-\(x \to 2^-\) (משמאל):
\(f(x) \to 0^-\)
\(\frac{1}{f(x)} \to -\infty\) 📉

כש-\(x \to 2^+\) (מימין):
\(f(x) \to 0^+\)
\(\frac{1}{f(x)} \to +\infty\) 📈

שאלה 5

10.00 נק'

➕➖ סימן:

אם \(f(x)=-3\), מה סימן \(\frac{1}{f(x)}\)?

שלילי - הופכי שומר סימן, 1/(-3)=-1/3

חיובי

תלוי

אפס

הסבר:

💡 הסבר:

הופכי שומר סימן! ➕➖

כלל חשוב:

סימן נשמר!

חיובי → חיובי
שלילי → שלילי

הדוגמה שלנו:

\(f(x) = -3\)

\(\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{-3}\)

\(= -\frac{1}{3}\)

שלילי! ✓

\(f(x)\)	\(\frac{1}{f(x)}\)	סימן
5	0.2	חיובי
2	0.5	חיובי
\(-2\)	\(-0.5\)	שלילי
\(-5\)	\(-0.2\)	שלילי

שאלה 6

10.00 נק'

➕➖ סימן:

אם \(f(x)=-3\), מה סימן \(\frac{1}{f(x)}\)?

חיובי

שלילי - הופכי שומר סימן, 1/(-3)=-1/3

תלוי

אפס

הסבר:

💡 הסבר:

הופכי שומר סימן! ➕➖

כלל חשוב:

סימן נשמר!

חיובי → חיובי
שלילי → שלילי

הדוגמה שלנו:

\(f(x) = -3\)

\(\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{-3}\)

\(= -\frac{1}{3}\)

שלילי! ✓

\(f(x)\)	\(\frac{1}{f(x)}\)	סימן
5	0.2	חיובי
2	0.5	חיובי
\(-2\)	\(-0.5\)	שלילי
\(-5\)	\(-0.2\)	שלילי

שאלה 7

10.00 נק'

🎯 קבוע:

באיזו נקודה \(f(x)=\frac{1}{f(x)}\)?

כש-f(x)=2

תמיד

כש-f(x)=1 או f(x)=-1 - רק שם הופכי שווה למקורי

כש-f(x)=0

הסבר:

💡 הסבר:

נקודות קבועות! 🎯

מתי \(f(x) = \frac{1}{f(x)}\)?

פתרון:

\(f(x) = \frac{1}{f(x)}\)

כפול ב-\(f(x)\):
\([f(x)]^2 = 1\)

\(f(x) = \pm 1\)

אפשרות 1:

\(f(x) = 1\)
\(\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{1} = 1\) ✓

הגרפים נחתכים!

אפשרות 2:

\(f(x) = -1\)
\(\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{-1} = -1\) ✓

הגרפים נחתכים!

בכל מקום אחר:
\(f(x) \neq \frac{1}{f(x)}\)

שאלה 8

10.00 נק'

📈 גדול:

אם \(f(x) \to \infty\), מה קורה ל-\(\frac{1}{f(x)}\)?

1/f(x)→0 - ככל שגדל יותר, הופכי קטן יותר, שואף לאפס

→1

גם →∞

→-∞

הסבר:

💡 הסבר:

התנהגות בקצוות! 📈

כלל הגבול:

\(f(x) \to \infty\)

↓

\(\frac{1}{f(x)} \to 0\)

למה?

\(\frac{1}{10} = 0.1\)

\(\frac{1}{100} = 0.01\)

\(\frac{1}{1000} = 0.001\)

\(\frac{1}{10000} = 0.0001\)

...

\(\frac{1}{\infty} = 0\)

אסימפטוטה אופקית!

\(y = 0\)

הגרף מתקרב
אבל לא נוגע

שאלה 9

10.00 נק'

📊 גרף:

\(f(x)=x\). איפה אסימפטוטות של \(\frac{1}{f(x)}\)?

רק x=0

אנכית x=0 (אפס של f), אופקית y=0 (f→∞)

אין אסימפטוטות

רק y=0

הסבר:

💡 הסבר:

אסימפטוטות! 📊

\(\frac{1}{x}\) - הקלאסיקה:

\(f(x) = x\)

אפס: \(x = 0\)
→ אסימפטוטה אנכית

כש-\(x \to \pm\infty\): \(f \to \pm\infty\)
→ \(\frac{1}{f} \to 0\)
→ אסימפטוטה אופקית \(y=0\)

\(x\)	\(f(x)=x\)	\(\frac{1}{x}\)
\(-10\)	\(-10\)	\(-0.1\)
\(-1\)	\(-1\)	\(-1\)
\(-0.1\)	\(-0.1\)	\(-10\)
0	0	לא מוגדר
0.1	0.1	10
1	1	1
10	10	0.1

שאלה 10

10.00 נק'

🎨 פרבולה:

\(f(x)=x^2-1\). איפה \(\frac{1}{f(x)}\) לא מוגדר?

רק x=0

x=1 בלבד

x=1 ו-x=-1 (שורשי הפרבולה)

בכל מקום

הסבר:

💡 הסבר:

הופכי פרבולה! 🎨

מציאת נקודות בעיה:

\(f(x) = x^2-1\)

איפה \(f(x) = 0\)?

\(x^2-1 = 0\)

\(x^2 = 1\)

\(x = \pm 1\)

תשובה:

\(\frac{1}{f(x)}\) לא מוגדר ב:
• \(x = 1\)
• \(x = -1\)

שתי אסימפטוטות אנכיות!

שים לב:
הגרף מתפצל ל-3 חלקים!

שאלה 11

10.00 נק'

⚠️ טעות:

תלמיד: "אם \(f(5)=0\) אז \(\frac{1}{f(5)}=0\)". צודק?

שווה 1

תלוי בפונקציה

לא! 1/0 לא מוגדר, לא אפס. זו הטעות הנפוצה ביותר!

כן, נכון

הסבר:

💡 הסבר:

הטעות המסוכנת! ⚠️

❌ טעות חמורה!

\(\frac{1}{0} \neq 0\)

\(\frac{1}{0}\) = לא מוגדר!

הבלבול:

אנשים מבלבלים:

\(0 \times \text{משהו} = 0\) ✓

אבל:

\(\frac{1}{0} \neq 0\) ✗

\(\frac{1}{0}\) = לא מוגדר!

למה לא מוגדר?

\(\frac{1}{0} = ?\)

אומר: איזה מספר \(\times 0 = 1\)?

אין כזה!
כי כל מספר \(\times 0 = 0\)

לכן: לא מוגדר

הנכון:

\(f(5) = 0\)
→ \(\frac{1}{f(5)} = \frac{1}{0}\)
→ לא מוגדר!

שאלה 12

10.00 נק'

🎓 מורכב:

אם \(f(x)=2x\), מה \(\frac{1}{f(x)} + f(x)\)?

2x+1

1/(2x) + 2x = (4x²+1)/(2x), אסימפטוטה ב-x=0

1/2x

הסבר:

💡 הסבר:

צירוף פונקציות! 🎓

חיבור הופכי למקור:

נתון:

\(f(x) = 2x\)

מחפשים:
\(\frac{1}{f(x)} + f(x) = ?\)

פתרון:

\(\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{2x}\)

\(\frac{1}{2x} + 2x\)

מכנה משותף \(2x\):

\(= \frac{1}{2x} + \frac{2x \cdot 2x}{2x}\)

\(= \frac{1}{2x} + \frac{4x^2}{2x}\)

\(= \)\(\frac{4x^2+1}{2x}\)

נקודות מיוחדות:

• אסימפטוטה: \(x=0\)
• כש-\(x \to \pm\infty\): \(\sim 2x\)
• מינימום: \(x=0.5\)

גרף מעניין:
משלב שני אופיים!

שאלה 13

10.00 נק'

📚 סיכום:

מה נכון לגבי \(\frac{1}{f(x)}\)?

רק מחליף סימן

הופכי ערכים, 0→∞ (אסימפטוטה), ∞→0, סימן נשמר, גדול↔קטן, 1 נשאר 1

תמיד חיובי

זהה ל-f(x)

הסבר:

📚 סיכום מבחן!

הופכי - מה למדנו? 🔄

🎯 עיקרי הפרק:

נוסחה:

\(g(x) = \frac{1}{f(x)}\)

כללים:

✅ גדול → קטן
✅ קטן → גדול
✅ \(0 \to \infty\) (לא מוגדר!)
✅ \(\infty \to 0\)
✅ \(1 \to 1\) (קבוע)
✅ \(-1 \to -1\) (קבוע)
✅ סימן נשמר

אסימפטוטות:

🔴 אנכיות: איפה \(f(x)=0\)
🔵 אופקיות: איפה \(f(x) \to \infty\)

\(f(x)\)	\(\frac{1}{f(x)}\)	מה קרה?
10	0.1	קטן מאוד
1	1	קבוע!
0	לא מוגדר	בעיה!
0.1	10	גדל מאוד

מזל טוב! סיימת 4 מבחנים! 🎉

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 13 הושלמו