תחום הגדרה - פונקציה רציונלית | מבחן אינטראקטיבי עם פתרונות

אורח מצב צפייה מבחן: תחום הגדרה - פונקציה רציונלית

מספר שאלות: 10

ניקוד כולל: 100.00 נק'

שאלה 1

10.00 נק'

➗ רציונלית בסיסית:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{3x+5}{2x-6}\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{-3\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{6\}\)

הסבר:

➗ מכנה ליניארי

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{3x+5}{2x-6}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
המכנה \(\neq 0\)

\(2x - 6 \neq 0\)

שלב 2: פתרון
\(2x \neq 6\)

\(x \neq 3\) ✓

שלב 3: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)

הסבר:

"כל המספרים הממשיים חוץ מ-3"

• \(x = 2.9\) ✓ מותר
• \(x = 3\) ✗ אסור!
• \(x = 3.1\) ✓ מותר

⚠️ שים לב:

המונה לא משפיע על התחום!

רק המכנה חשוב!

שאלה 2

10.00 נק'

²÷ מכנה ריבועי:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{x+1}{x^2-16}\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{16\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{4\}\)

\([-4, 4]\)

\(\mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}\)

הסבר:

²÷ מכנה ריבועי

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{x+1}{x^2-16}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
המכנה \(\neq 0\)

\(x^2 - 16 \neq 0\)

שלב 2: פירוק
\((x-4)(x+4) \neq 0\)

שלב 3: שורשים
\(x \neq 4\) וגם \(x \neq -4\)

שלב 4: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}\) ✓

הסבר:

"כל הממשיים חוץ מ--4 ו-4"

שתי נקודות אסורות!

• \(x = -5\) ✓
• \(x = -4\) ✗
• \(x = 0\) ✓
• \(x = 4\) ✗
• \(x = 5\) ✓

שאלה 3

10.00 נק'

🔧 מכנה מפורק:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{2}{(x-1)(x+3)}\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{-3, 1\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{1, 3\}\)

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{-1, 3\}\)

הסבר:

🔧 מכנה מפורק

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{2}{(x-1)(x+3)}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
המכנה \(\neq 0\)

\((x-1)(x+3) \neq 0\)

שלב 2: מתי מכפלה = 0?

כאשר אחד הגורמים = 0

\(x - 1 = 0\) → \(x = 1\)
או
\(x + 3 = 0\) → \(x = -3\)

שלב 3: תנאי
\(x \neq 1\) וגם \(x \neq -3\)

שלב 4: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{-3, 1\}\) ✓

יתרון:

כשהמכנה מפורק:

קל מאוד לראות את הנקודות האסורות!

כל גורם מראה נקודה אסורה ✓

שאלה 4

10.00 נק'

⚠️ צמצום:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}\)

\([3, \infty)\)

\(\mathbb{R} \setminus \{3\}\) - גם אחרי צמצום!

\(\mathbb{R}\)

הסבר:

⚠️ מקרה מיוחד - צמצום

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}\)

⚠️ זהירות!

טעות נפוצה:
לצמצם ולחשוב שהתחום השתנה ❌

הדרך הנכונה:

שלב 1: תחום לפני צמצום
\(x - 3 \neq 0\)
\(x \neq 3\) ✓

שלב 2: עכשיו אפשר לצמצם
\(\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3\)

(רק כש-\(x \neq 3\)!)

שלב 3: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{3\}\) ✓

הכלל הזהב:

התחום נקבע לפני הצמצום!

גם אם אחרי צמצום זה נראה כמו \(x+3\),

התחום עדיין \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)!

כי המקור היה שבר ✓

למה?

ב-\(x=3\):

המכנה המקורי = 0

אסור לחלק ב-0!

הצמצום לא מבטל את זה

שאלה 5

10.00 נק'

🔢 מורכב:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{5}{x^2+4x+3}\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{-3, -1\}\)

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{1, 3\}\)

\([-3, -1]\)

הסבר:

🔢 מכנה ריבועי מורכב

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{5}{x^2+4x+3}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
\(x^2 + 4x + 3 \neq 0\)

שלב 2: פירוק
מחפשים שני מספרים:
• סכום = 4
• מכפלה = 3

\(3 + 1 = 4\) ✓
\(3 \times 1 = 3\) ✓

\((x+3)(x+1) \neq 0\)

שלב 3: שורשים
\(x \neq -3\) וגם \(x \neq -1\)

שלב 4: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{-3, -1\}\) ✓

שיטה כללית:

כדי למצוא תחום של רציונלית:

1. שווה מכנה ל-0
2. פרק את המשוואה
3. מצא שורשים
4. אלו הנקודות האסורות!

בדיקה:

• \(x = -4\): \(\frac{5}{3}\) ✓
• \(x = -3\): \(\frac{5}{0}\) ✗
• \(x = -2\): \(\frac{5}{-1}\) ✓
• \(x = -1\): \(\frac{5}{0}\) ✗
• \(x = 0\): \(\frac{5}{3}\) ✓

שאלה 6

10.00 נק'

∅ אין שורשים:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{1}{x^2+4}\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

\(\mathbb{R}\) - המכנה תמיד חיובי!

\([4, \infty)\)

\(\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\)

הסבר:

∅ מכנה ללא שורשים

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{x^2+4}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
\(x^2 + 4 \neq 0\)

שלב 2: האם יש פתרון?
\(x^2 = -4\)

אין מספר ממשי שריבוע שלו שלילי!

אין שורשים! ✓

שלב 3: מסקנה
המכנה אף פעם לא מתאפס!

שלב 4: תחום
\(\mathbb{R}\) ✓

הסבר:

\(x^2 \geq 0\) תמיד

אז: \(x^2 + 4 \geq 4 > 0\) תמיד!

המכנה תמיד חיובי

אין נקודות אסורות! ✓

הכלל הכללי:

אם המכנה הוא \(x^2 + c\)
כאשר \(c > 0\)

אז התחום: \(\mathbb{R}\) ✓

דוגמאות:
• \(\frac{1}{x^2+1}\) → \(\mathbb{R}\)
• \(\frac{1}{x^2+9}\) → \(\mathbb{R}\)
• \(\frac{1}{x^2+100}\) → \(\mathbb{R}\)

שאלה 7

10.00 נק'

² ריבוע שלם:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{3}{(x-5)^2}\)?

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{-5, 5\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{5\}\) - נקודה אחת בלבד

\([5, \infty)\)

הסבר:

² ריבוע שלם במכנה

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{3}{(x-5)^2}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
\((x-5)^2 \neq 0\)

שלב 2: מתי ריבוע = 0?

רק כאשר הבסיס = 0!

\(x - 5 = 0\)

\(x = 5\) ✓

שלב 3: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{5\}\)

⚠️ שים לב:

למרות שזה ריבוע,

יש רק נקודה אחת אסורה!

לא שתיים!

\((x-5)^2 = (x-5)(x-5)\)

אותו גורם פעמיים = נקודה אחת

בדיקה:

• \(x = 4\): \(\frac{3}{1}\) ✓
• \(x = 5\): \(\frac{3}{0}\) ✗
• \(x = 6\): \(\frac{3}{1}\) ✓

שאלה 8

10.00 נק'

³ חזקות שונות:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{1}{x(x-2)^3}\)?

\([0, 2]\)

\(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{0, 2\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

הסבר:

³ חזקות במכנה

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{x(x-2)^3}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
\(x(x-2)^3 \neq 0\)

שלב 2: מתי מכפלה = 0?

כאשר אחד הגורמים = 0

\(x = 0\) או \((x-2)^3 = 0\)

שלב 3: פתרון
• מהגורם הראשון: \(x = 0\)
• מהגורם השני: \(x = 2\)

שלב 4: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{0, 2\}\) ✓

הכלל:

החזקה לא משנה את הנקודות האסורות!

• \(x\) → \(x = 0\) אסור
• \(x^2\) → \(x = 0\) אסור
• \(x^{100}\) → \(x = 0\) אסור

אותה נקודה!

דוגמאות נוספות:

\(\frac{1}{(x-1)^5(x+3)^2}\)

תחום: \(\mathbb{R} \setminus \{-3, 1\}\)

שאלה 9

10.00 נק'

|| ערך מוחלט:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{1}{|x-4|}\)?

\([4, \infty)\)

\(\mathbb{R} \setminus \{4\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}\)

\(\mathbb{R}\)

הסבר:

|| ערך מוחלט במכנה

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{|x-4|}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
\(|x-4| \neq 0\)

שלב 2: מתי ערך מוחלט = 0?

רק כאשר הביטוי בפנים = 0!

\(x - 4 = 0\)

\(x = 4\) ✓

שלב 3: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{4\}\)

למה?

ערך מוחלט תמיד אי-שלילי!

\(|x-4| \geq 0\)

הוא מתאפס רק ב-\(x=4\)

בכל מקום אחר הוא חיובי ✓

בדיקה:

• \(x = 3\): \(\frac{1}{|-1|} = 1\) ✓
• \(x = 4\): \(\frac{1}{0}\) ✗
• \(x = 5\): \(\frac{1}{|1|} = 1\) ✓

שאלה 10

10.00 נק'

📚 סיכום:

מה הכלל למציאת תחום של רציונלית?

מצא איפה המונה = 0

מצא איפה המכנה = 0, אלו הנקודות האסורות

תמיד כל הממשיים

בדוק רק את הטווח

הסבר:

📚 סיכום - רציונלית

השלבים:

1️⃣ כתוב תנאי:
המכנה ≠ 0

2️⃣ פרק (אם צריך):
הפוך לגורמים

3️⃣ מצא שורשים:
איפה כל גורם = 0

4️⃣ כתוב תחום:
\(\mathbb{R} \setminus \{\text{שורשים}\}\)

טבלת סיכום:

סוג מכנה	תחום
\(x-a\)	\(\mathbb{R} \setminus \{a\}\)
\((x-a)(x-b)\)	\(\mathbb{R} \setminus \{a,b\}\)
\((x-a)^2\)	\(\mathbb{R} \setminus \{a\}\)
\(x^2+c\) (\(c>0\))	\(\mathbb{R}\)

זכור:

• רק המכנה חשוב לתחום!
• צמצום לא משנה תחום
• חזקה לא משנה נקודות אסורות
• ערך מוחלט: בדוק איפה הביטוי = 0

⚠️ טעות נפוצה:

לשכוח לבדוק תחום לפני צמצום!

\(\frac{x^2-4}{x-2}\)

גם אחרי צמצום ל-\(x+2\),

התחום: \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) ✓

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 10 הושלמו

developed by RcBuilder בניית אתרים