תחום הגדרה - טריגונומטריה | מבחן אינטראקטיבי עם פתרונות

אורח מצב צפייה מבחן: תחום הגדרה - טריגונומטריה

מספר שאלות: 10

ניקוד כולל: 100.00 נק'

שאלה 1

10.00 נק'

📐 sin ו-cos:

מהו התחום של \(f(x) = \sin(x) + \cos(x)\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

\([0, 2\pi]\)

\(\mathbb{R}\) - תמיד מוגדר!

\([-1, 1]\)

הסבר:

📐 sin ו-cos בסיסי

הפונקציה:

\(f(x) = \sin(x) + \cos(x)\)

✅ ללא מגבלות!

\(\sin(x)\) מוגדר לכל \(x \in \mathbb{R}\)

\(\cos(x)\) מוגדר לכל \(x \in \mathbb{R}\)

אין חילוק, אין שורש, אין לוג!

תחום: \(\mathbb{R}\) ✓

הכלל הכללי:

פונקציות טריג בסיסיות:

• \(\sin(x)\) → \(\mathbb{R}\) ✓
• \(\cos(x)\) → \(\mathbb{R}\) ✓

תמיד מוגדרות לכל x!

למה?

במעגל היחידה:

לכל זווית x יש נקודה על המעגל

sin = קואורדינטת y
cos = קואורדינטת x

תמיד מוגדר! ✓

שאלה 2

10.00 נק'

📊 טנגנס:

מהו התחום של \(f(x) = \tan(x)\)?

\([0, \pi]\)

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{k\pi : k \in \mathbb{Z}\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\}\) - אסור באי-זוגיים של \(\frac{\pi}{2}\)

הסבר:

📊 טנגנס

הפונקציה:

\(f(x) = \tan(x)\)

⚠️ יש מגבלה!

הזכרה:
\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

תנאי:
המכנה ≠ 0

\(\cos(x) \neq 0\)

מתי cos = 0?

\(x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ...\)

או בנוסחה:
\(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\)
כאשר \(k \in \mathbb{Z}\)

תחום:
\(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\}\) ✓

בעברית פשוטה:

"כל הממשיים חוץ מ-
\(\pm\frac{\pi}{2}, \pm\frac{3\pi}{2}, \pm\frac{5\pi}{2}, ...\)"

כל הכפולות האי-זוגיות של \(\frac{\pi}{2}\)

דוגמאות לנקודות אסורות:

• \(x = \frac{\pi}{2}\) ✗
• \(x = \frac{3\pi}{2}\) ✗
• \(x = -\frac{\pi}{2}\) ✗
• \(x = \pi\) ✓ מותר!
• \(x = 2\pi\) ✓ מותר!

שאלה 3

10.00 נק'

↕️ קוטנגנס:

מהו התחום של \(f(x) = \cot(x)\)?

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{k\pi : k \in \mathbb{Z}\}\) - אסור בכפולות של \(\pi\)

\(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\}\)

\([0, \pi]\)

הסבר:

↕️ קוטנגנס

הפונקציה:

\(f(x) = \cot(x)\)

הזכרה:

\(\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\)

(ההפך מ-tan!)

תנאי:
המכנה ≠ 0

\(\sin(x) \neq 0\)

מתי sin = 0?

\(x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, ...\)

או בנוסחה:
\(x = k\pi\)
כאשר \(k \in \mathbb{Z}\)

תחום:
\(\mathbb{R} \setminus \{k\pi : k \in \mathbb{Z}\}\) ✓

בעברית פשוטה:

"כל הממשיים חוץ מכפולות של \(\pi\)"

• \(0, \pm\pi, \pm2\pi, \pm3\pi, ...\) אסורים

כל שאר המספרים מותרים!

ההבדל:

tan: אסור ב-\(\frac{\pi}{2} + k\pi\)
(אי-זוגיים של \(\frac{\pi}{2}\))

cot: אסור ב-\(k\pi\)
(כפולות של \(\pi\))

משלימים אחד את השני!

שאלה 4

10.00 נק'

√sin שורש מסינוס:

מהו התחום של \(f(x) = \sqrt{\sin(x)}\)?

\([2k\pi, (2k+1)\pi]\) כאשר \(k \in \mathbb{Z}\) - איפה sin חיובי

\([0, 2\pi]\) בלבד

\(\mathbb{R}\)

\([0, \pi]\) בלבד

הסבר:

√sin שורש מסינוס

הפונקציה:

\(f(x) = \sqrt{\sin(x)}\)

תנאי:

\(\sin(x) \geq 0\)

מתי sin חיובי?

במעגל היחידה:
רביעים 1 ו-2 (חצי עליון)

בקטעים:
• \([0, \pi]\) ✓
• \([2\pi, 3\pi]\) ✓
• \([4\pi, 5\pi]\) ✓
וכן הלאה...

גם בכיוון השלילי:
• \([-2\pi, -\pi]\) ✓
• \([-4\pi, -3\pi]\) ✓

נוסחה כללית:
\([2k\pi, (2k+1)\pi]\)
כאשר \(k \in \mathbb{Z}\) ✓

הסבר הנוסחה:

• \(k=0\): \([0, \pi]\)
• \(k=1\): \([2\pi, 3\pi]\)
• \(k=2\): \([4\pi, 5\pi]\)
• \(k=-1\): \([-2\pi, -\pi]\)

כל הקטעים שבהם sin חיובי!

למה לא רק [0, π]?

כי הפונקציה מחזורית!

sin חוזר על עצמו כל \(2\pi\)

אז התחום גם מחזורי

שאלה 5

10.00 נק'

√cos שורש מקוסינוס:

מהו התחום של \(f(x) = \sqrt{\cos(x)}\)?

\([0, \pi]\) בלבד

\([2k\pi, (2k+1)\pi]\)

\([-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]\) כאשר \(k \in \mathbb{Z}\)

\(\mathbb{R}\)

הסבר:

√cos שורש מקוסינוס

הפונקציה:

\(f(x) = \sqrt{\cos(x)}\)

תנאי:

\(\cos(x) \geq 0\)

מתי cos חיובי?

במעגל היחידה:
רביעים 1 ו-4 (חצי ימני)

בקטעים:
• \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) ✓
• \([\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]\) ✓
• \([\frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]\) ✓
וכן הלאה...

נוסחה כללית:
\([-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]\)
כאשר \(k \in \mathbb{Z}\) ✓

הסבר הנוסחה:

• \(k=0\): \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)
• \(k=1\): \([\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]\)
• \(k=-1\): \([-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}]\)

המרכז של כל קטע במרחק \(2\pi\)!

ההבדל מ-sin:

sin: חיובי ב-\([0, \pi]\)
(חצי עליון)

cos: חיובי ב-\([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)
(חצי ימני)

הזזה של \(\frac{\pi}{2}\)!

שאלה 6

10.00 נק'

÷sin רציונלית עם טריג:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{1}{\sin(x) + 2}\)?

\(\mathbb{R}\) - המכנה תמיד חיובי!

\(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\)

\([0, 2\pi]\)

\(\mathbb{R} \setminus \{k\pi : k \in \mathbb{Z}\}\)

הסבר:

÷sin רציונלית עם טריג

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{\sin(x) + 2}\)

ניתוח:

תנאי:
\(\sin(x) + 2 \neq 0\)

\(\sin(x) \neq -2\)

שאלה: מתי sin = -2?

תשובה: אף פעם! ❌

למה?

טווח הסינוס:
\(-1 \leq \sin(x) \leq 1\)

תמיד בין -1 ל-1!

אז \(\sin(x) + 2\) בין 1 ל-3

תמיד חיובי! ✓

המכנה אף פעם לא מתאפס

תחום: \(\mathbb{R}\) ✓

הכלל הכללי:

אם המכנה הוא \(\sin(x) + c\)
או \(\cos(x) + c\)

כאשר \(|c| > 1\)

אז המכנה אף פעם לא מתאפס!

תחום: \(\mathbb{R}\) ✓

דוגמאות נוספות:

\(\frac{1}{\cos(x) + 3}\) → \(\mathbb{R}\) ✓

\(\frac{1}{\sin(x) - 5}\) → \(\mathbb{R}\) ✓

\(\frac{1}{\cos(x) + 0.5}\) → יש בעיה! ⚠️

שאלה 7

10.00 נק'

√tan שילוב מורכב:

מהו התחום של \(f(x) = \sqrt{\tan(x)}\)?

\(\mathbb{R}\)

\([0, \frac{\pi}{2})\) בלבד

\((k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)\) כאשר k זוגי - איפה tan חיובי

\(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}\)

הסבר:

√tan שילוב מורכב

הפונקציה:

\(f(x) = \sqrt{\tan(x)}\)

⚠️ שתי מגבלות!

מגבלה 1 - tan מוגדר:
\(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)

מגבלה 2 - שורש:
\(\tan(x) \geq 0\)

מתי tan חיובי?

\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

חיובי כש-sin ו-cos באותו סימן:

• רביע 1: \((0, \frac{\pi}{2})\) ✓
• רביע 3: \((\pi, \frac{3\pi}{2})\) ✓

נוסחה כללית:
\((k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)\)
כאשר k זוגי (0, 2, 4, ..., -2, -4, ...) ✓

הסבר הנוסחה:

• \(k=0\): \((0, \frac{\pi}{2})\) ✓
• \(k=2\): \((2\pi, \frac{5\pi}{2})\) ✓
• \(k=-2\): \((-2\pi, -\frac{3\pi}{2})\) ✓

רק ברביעים 1 ו-3!

למה לא כל הקטעים?

ברביעים 2 ו-4: tan שלילי!

לא יכולים לקחת שורש משלילי

שאלה 8

10.00 נק'

🔧 שילוב:

מהו התחום של \(f(x) = \sqrt{x+1} + \tan(x)\)?

\([-1, \infty) \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\}\)

\([-1, \infty)\)

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}\)

הסבר:

🔧 שילוב טריג ושורש

הפונקציה:

\(f(x) = \sqrt{x+1} + \tan(x)\)

שני תנאים:

תנאי 1 - שורש:
\(x + 1 \geq 0\)
\(x \geq -1\) ✓

תנאי 2 - טנגנס:
\(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)
כאשר \(k \in \mathbb{Z}\) ✓

חיתוך:
\(x \geq -1\) וגם \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)

תחום:
\([-1, \infty) \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\}\) ✓

הסבר:

"מ--1 ומעלה,
אבל לא ב-\(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ...\)"

שתי מגבלות ביחד!

אילו נקודות בפועל אסורות?

מ-\(x \geq -1\):

• \(x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57\) ✗
• \(x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71\) ✗
• \(x = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85\) ✗
• וכן הלאה...

אבל \(x = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57\)
בכלל לא בתחום (< -1)!

שאלה 9

10.00 נק'

💡 טריק:

איך לזכור את התחום של tan ו-cot?

cot מוגדר בכל מקום

tan אסור איפה cos=0, cot אסור איפה sin=0

שניהם אסורים באותן נקודות

tan אסור בכל מקום

הסבר:

💡 טריק לזכירה

הזכרה:

\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

\(\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\)

הכלל הפשוט:

tan אסור:
איפה שהמכנה = 0
→ איפה \(\cos(x) = 0\)
→ \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) ✓

cot אסור:
איפה שהמכנה = 0
→ איפה \(\sin(x) = 0\)
→ \(x = k\pi\) ✓

טבלת סיכום:

פונקציה	מכנה	אסור איפה
tan	cos	\(\frac{\pi}{2} + k\pi\)
cot	sin	\(k\pi\)

דרך זכירה:

tan → t**a**n → cos**a**
tan אסור איפה cos=0 ✓

cot → c**o**t → sin (אין o בsin)
cot אסור איפה sin=0 ✓

שאלה 10

10.00 נק'

📚 סיכום:

מהן הפונקציות הטריגונומטריות עם תחום \(\mathbb{R}\)?

כל הפונקציות הטריגונומטריות

רק sin ו-cos

רק cot

רק tan

הסבר:

📚 סיכום - טריגונומטריה

טבלה מלאה:

פונקציה	תחום	הערה
\(\sin(x)\)	\(\mathbb{R}\)	✅ תמיד
\(\cos(x)\)	\(\mathbb{R}\)	✅ תמיד
\(\tan(x)\)	\(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2}+k\pi\}\)	⚠️ לא איפה cos=0
\(\cot(x)\)	\(\mathbb{R} \setminus \{k\pi\}\)	⚠️ לא איפה sin=0

עם שורש:

\(\sqrt{\sin(x)}\) → איפה sin ≥ 0
\(\sqrt{\cos(x)}\) → איפה cos ≥ 0
\(\sqrt{\tan(x)}\) → איפה tan ≥ 0

הכללים:

1. sin ו-cos: תמיד מוגדרים
2. tan: לא ב-\(\frac{\pi}{2}+k\pi\)
3. cot: לא ב-\(k\pi\)
4. שורש מטריג: בדוק סימן
5. טריג במכנה: בדוק אפסים

⚠️ זכור:

טווח sin/cos: [-1, 1]

אז \(\frac{1}{\sin(x)+2}\) תמיד מוגדר!

(המכנה תמיד בין 1 ל-3)

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 10 הושלמו