תחום הגדרה - לוגריתמית | מבחן אינטראקטיבי עם פתרונות

אורח מצב צפייה מבחן: תחום הגדרה - לוגריתמית

מספר שאלות: 10

ניקוד כולל: 100.00 נק'

שאלה 1

10.00 נק'

📊 לוגריתם בסיסי:

מהו התחום של \(f(x) = \log(x)\)?

\((0, \infty)\) - רק מספרים חיוביים!

\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

\([0, \infty)\)

\(\mathbb{R}\)

הסבר:

📊 לוגריתם בסיסי

הפונקציה:

\(f(x) = \log(x)\)

⚠️ כלל הזהב:

לוגריתם מוגדר רק למספרים חיוביים!

תנאי:
\(x > 0\) ✓

(לא ≥ 0, אלא > 0 ממש!)

תחום: \((0, \infty)\)

⚠️ למה לא 0?

\(\log(0)\) אינו מוגדר!

\(\log(x)\) שואל: "באיזו חזקה צריך להעלות 10 כדי לקבל x?"

אין חזקה ש-\(10^? = 0\)

אז 0 אסור! ✗

למה לא שליליים?

\(\log(-5)\) אינו מוגדר!

\(10^?\) תמיד חיובי!

אין חזקה ש-\(10^? = -5\)

אז שליליים אסורים! ✗

בדיקה:

• \(x = -1\): \(\log(-1)\) ✗
• \(x = 0\): \(\log(0)\) ✗
• \(x = 0.001\): \(\log(0.001) = -3\) ✓
• \(x = 1\): \(\log(1) = 0\) ✓
• \(x = 100\): \(\log(100) = 2\) ✓

שאלה 2

10.00 נק'

📐 לוגריתם עם ביטוי:

מהו התחום של \(f(x) = \log(x-3)\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)

\((0, \infty)\)

\([3, \infty)\)

\((3, \infty)\)

הסבר:

📐 לוגריתם עם ביטוי

הפונקציה:

\(f(x) = \log(x-3)\)

פתרון:

תנאי:
הביטוי בתוך הלוג > 0

\(x - 3 > 0\)

\(x > 3\) ✓

תחום: \((3, \infty)\)

⚠️ קשת פתוחה!

\(x = 3\) עצמו אסור!

כי אז: \(\log(0)\) ✗

רק \(x > 3\) מותר

בדיקה:

• \(x = 2\): \(\log(-1)\) ✗
• \(x = 3\): \(\log(0)\) ✗
• \(x = 3.1\): \(\log(0.1)\) ✓
• \(x = 4\): \(\log(1) = 0\) ✓
• \(x = 13\): \(\log(10) = 1\) ✓

הכלל:

\(\log(x-a)\)

תחום: \((a, \infty)\)

הכל שמעל a (לא כולל!)

שאלה 3

10.00 נק'

📊÷ לוג מרציונלית:

מהו התחום של \(f(x) = \log\left(\frac{x+2}{x-1}\right)\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}\)

\((-2, 1)\)

\((-\infty, -2] \cup (1, \infty)\) - השבר חייב חיובי!

\((1, \infty)\)

הסבר:

📊÷ לוג מרציונלית

הפונקציה:

\(f(x) = \log\left(\frac{x+2}{x-1}\right)\)

פתרון:

תנאי:
השבר > 0

\(\frac{x+2}{x-1} > 0\)

טבלת סימנים:
שורשים: \(x = -2\) (מונה), \(x = 1\) (מכנה)

קטע	מונה	מכנה	שבר
\(x < -2\)	-	-	+ ✓
\(-2 < x < 1\)	+	-	- ✗
\(x > 1\)	+	+	+ ✓

תחום:
\((-\infty, -2] \cup (1, \infty)\) ✓

⚠️ שים לב:

• \(x = -2\) מותר! (שבר = 0/(-3) = 0)
\(\log(0)\) ✗ אבל רגע...

טעות! \(\log(0)\) לא מוגדר!

אז \(x = -2\) אסור בכל זאת!

התחום הנכון:
\((-\infty, -2) \cup (1, \infty)\)

תיקון חשוב:

בלוגריתם: צריך > 0

לא ≥ 0!

אז גם המונה = 0 אסור!

שאלה 4

10.00 נק'

📊📊 שני לוגריתמים:

מהו התחום של \(f(x) = \log(x+1) + \log(3-x)\)?

\((-1, 3)\) - חיתוך התנאים

\([-1, 3]\)

\(\mathbb{R}\)

\((-1, \infty)\)

הסבר:

📊📊 שני לוגריתמים

הפונקציה:

\(f(x) = \log(x+1) + \log(3-x)\)

שני תנאים:

תנאי 1 - לוג ראשון:
\(x + 1 > 0\)
\(x > -1\) ✓

תנאי 2 - לוג שני:
\(3 - x > 0\)
\(3 > x\)
\(x < 3\) ✓

חיתוך:
\(x > -1\) וגם \(x < 3\)

\(-1 < x < 3\) ✓

תחום: \((-1, 3)\)

הסבר גרפי:

תנאי 1: (→→→ מ--1 ומעלה
תנאי 2: ←←←) עד 3

החיתוך: (-1, 3) ✓

קטע פתוח משני הצדדים!

בדיקה:

• \(x = -2\): \(\log(-1)\) ✗
• \(x = -1\): \(\log(0)\) ✗
• \(x = 0\): \(\log(1) + \log(3)\) ✓
• \(x = 3\): \(\log(0)\) ✗
• \(x = 4\): \(\log(-1)\) ✗

שאלה 5

10.00 נק'

²📊 לוג מריבוע:

מהו התחום של \(f(x) = \log(x^2)\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) או \((-\infty, 0) \cup (0, \infty)\)

\(\mathbb{R}\)

\((0, \infty)\)

\([0, \infty)\)

הסבר:

²📊 לוג מריבוע

הפונקציה:

\(f(x) = \log(x^2)\)

פתרון:

תנאי:
\(x^2 > 0\)

מתי ריבוע > 0?

תמיד! חוץ מ-0!

\(x^2 > 0\) כאשר \(x \neq 0\) ✓

תחום:
\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

או: \((-\infty, 0) \cup (0, \infty)\) ✓

הסבר:

• \(x = -5\): \(\log(25)\) ✓
• \(x = -1\): \(\log(1) = 0\) ✓
• \(x = 0\): \(\log(0)\) ✗
• \(x = 1\): \(\log(1) = 0\) ✓
• \(x = 5\): \(\log(25)\) ✓

גם שליליים מותרים! (כי הריבוע הופך אותם לחיוביים)

טריק שימושי:

\(\log(x^2) = 2\log|x|\)

אז גם שליליים עובדים!

(ערך מוחלט הופך אותם לחיוביים)

שאלה 6

10.00 נק'

÷📊 לוג במכנה:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{1}{\log(x-2)}\)?

\((2, \infty)\)

\(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)

\([2, \infty)\)

\((2, 3) \cup (3, \infty)\) - גם לוג מוגדר וגם לא 0

הסבר:

÷📊 לוג במכנה

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{\log(x-2)}\)

⚠️ שתי מגבלות!

מגבלה 1 - לוג מוגדר:
\(x - 2 > 0\)
\(x > 2\) ✓

מגבלה 2 - מכנה ≠ 0:
\(\log(x-2) \neq 0\)

מתי לוג = 0?
\(\log(y) = 0\) כאשר \(y = 1\)

אז: \(x - 2 \neq 1\)
\(x \neq 3\) ✓

חיתוך:
\(x > 2\) וגם \(x \neq 3\)

תחום:
\((2, 3) \cup (3, \infty)\) ✓

⚠️ נקודות אסורות:

• \(x = 2\): \(\log(0)\) לא מוגדר ✗
• \(x = 3\): \(\frac{1}{0}\) חילוק באפס ✗

שתי נקודות אסורות מסיבות שונות!

בדיקה:

• \(x = 2.5\): \(\frac{1}{\log(0.5)}\) ✓
• \(x = 3\): \(\frac{1}{0}\) ✗
• \(x = 4\): \(\frac{1}{\log(2)}\) ✓

שאלה 7

10.00 נק'

🌿 לוגריתם טבעי:

מהו התחום של \(f(x) = \ln(5-2x)\)?

\((-\infty, 2.5)\) או \((-\infty, \frac{5}{2})\)

\(\mathbb{R} \setminus \{2.5\}\)

\(\mathbb{R}\)

\((2.5, \infty)\)

הסבר:

🌿 לוגריתם טבעי

הפונקציה:

\(f(x) = \ln(5-2x)\)

פתרון:

תנאי:
\(5 - 2x > 0\)

\(5 > 2x\)

\(2x < 5\)

\(x < \frac{5}{2}\)

\(x < 2.5\) ✓

תחום:
\((-\infty, 2.5)\)

או: \((-\infty, \frac{5}{2})\) ✓

הזכרה:

\(\ln\) = לוגריתם טבעי (בסיס e)

אותם כללים בדיוק כמו log!

צריך שהביטוי > 0 ✓

בדיקה:

• \(x = 0\): \(\ln(5)\) ✓
• \(x = 2\): \(\ln(1) = 0\) ✓
• \(x = 2.5\): \(\ln(0)\) ✗
• \(x = 3\): \(\ln(-1)\) ✗

שאלה 8

10.00 נק'

√📊 שורש ולוג:

מהו התחום של \(f(x) = \sqrt{x-1} + \log(x-2)\)?

\([2, \infty)\)

\((1, \infty)\)

\((2, \infty)\) - החמור שבהם

\([1, \infty)\)

הסבר:

√📊 שורש ולוג

הפונקציה:

\(f(x) = \sqrt{x-1} + \log(x-2)\)

שני תנאים:

תנאי 1 - שורש:
\(x - 1 \geq 0\)
\(x \geq 1\) ✓

תנאי 2 - לוג:
\(x - 2 > 0\)
\(x > 2\) ✓

חיתוך:
\(x \geq 1\) וגם \(x > 2\)

התנאי החמור יותר: \(x > 2\) ✓

תחום: \((2, \infty)\)

הסבר:

אם \(x > 2\):

• אז \(x > 1\) (בוודאי!) ✓
• אז השורש מוגדר ✓
• אז הלוג מוגדר ✓

התנאי החמור "בולע" את השני!

למה לא [1,∞)?

כי ב-\(x = 1.5\):

• השורש: \(\sqrt{0.5}\) ✓
• הלוג: \(\log(-0.5)\) ✗

הלוג לא מוגדר!

שאלה 9

10.00 נק'

💡 טריק:

מה ההבדל בין שורש ללוג בתחום?

שורש: ≥ 0, לוג: > 0 (חמור יותר!)

שורש חמור יותר

אין הבדל - שניהם זהים

לוג: ≥ 0

הסבר:

💡 הבדל קריטי

טבלת השוואה:

פונקציה	תנאי	0 מותר?
\(\sqrt{x}\)	\(x \geq 0\)	✅ כן
\(\log(x)\)	\(x > 0\)	❌ לא

דוגמאות:

שורש:
\(f(x) = \sqrt{x-3}\)
תחום: \([3, \infty)\) ✓
(3 מותר - קשת סגורה)

לוגריתם:
\(f(x) = \log(x-3)\)
תחום: \((3, \infty)\) ✓
(3 אסור - קשת פתוחה)

למה?

שורש מ-0:
\(\sqrt{0} = 0\) ✓ מוגדר!

לוג מ-0:
\(\log(0)\) לא מוגדר! ✗

אין חזקה ש-\(10^? = 0\)

הכלל המהיר:

שורש: [ קשת סגורה
לוג: ( קשת פתוחה

לוג תמיד חמור יותר!

בשילוב:

\(f(x) = \sqrt{x-1} + \log(x-1)\)

תחום: \((1, \infty)\)

הלוג קובע! (חמור יותר)

שאלה 10

10.00 נק'

📚 סיכום:

מהו התנאי היחיד ללוגריתם?

הביטוי חייב להיות ≥ 0

הביטוי בתוך הלוג חייב להיות > 0

הביטוי חייב להיות ≠ 0

אין תנאי

הסבר:

📚 סיכום - לוגריתם

הכלל היחיד:

הביטוי בתוך הלוג > 0

(לא ≥ 0, אלא > 0 ממש!)

דוגמאות:

פונקציה	תחום
\(\log(x)\)	\((0, \infty)\)
\(\log(x-a)\)	\((a, \infty)\)
\(\log(a-x)\)	\((-\infty, a)\)
\(\log(x^2)\)	\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)
\(\frac{1}{\log(x)}\)	\((0, 1) \cup (1, \infty)\)

עם רציונלית:

\(\log\left(\frac{A(x)}{B(x)}\right)\)

תנאי: \(\frac{A(x)}{B(x)} > 0\)

טבלת סימנים!

עם שורש:

\(\sqrt{x} + \log(x)\)

• שורש: \(x \geq 0\)
• לוג: \(x > 0\)

תחום: \((0, \infty)\)

הלוג חמור יותר!

⚠️ זכור:

• \(\log(0)\) לא מוגדר
• \(\log(-5)\) לא מוגדר
• רק \(\log(\text{חיובי})\) מוגדר!

\(\ln\) אותם כללים בדיוק!

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 10 הושלמו

developed by RcBuilder בניית אתרים