תחום הגדרה של פונקציות שורש עם מנה | מבחן אינטראקטיבי עם פתרונות

אורח מצב צפייה מבחן: תחום הגדרה של פונקציות שורש עם מנה

מספר שאלות: 30

ניקוד כולל: 99.90 נק'

שאלה 1

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{x-5}\)

\(x > 2, x \neq 5\)

\(x \neq 5\)

\(x \geq 2\)

\(x \geq 2, x \neq 5\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מהי פונקציה עם שורש ומנה? 📚
כשיש גם שורש וגם שבר, צריך לבדוק שני תנאים:
1️⃣ הביטוי תחת השורש ≥ 0
2️⃣ המכנה ≠ 0

שלב 1: זיהוי הרכיבים 🔍
• מונה: √(x-2)
• מכנה: x-5

שלב 2: תנאי השורש 📐
√(x-2) מוגדר כאשר:
x - 2 ≥ 0
x ≥ 2

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
המכנה לא יכול להתאפס:
x - 5 ≠ 0
x ≠ 5

שלב 4: שילוב התנאים ✍️
צריך ש-שני התנאים יתקיימו יחד:
• x ≥ 2 (בגלל השורש)
• x ≠ 5 (בגלל המכנה)

תחום ההגדרה: \(x \geq 2, x \neq 5\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 2:
√(2-2)/(2-5) = 0/(-3) = 0 ✓

ב-x = 3:
√(3-2)/(3-5) = 1/(-2) = -0.5 ✓

ב-x = 5:
√(5-2)/(5-5) = √3/0 ✗ לא מוגדר!

ב-x = 6:
√(6-2)/(6-5) = 2/1 = 2 ✓

ב-x = 1:
√(1-2) = √(-1) ✗ לא מוגדר!

ב-x = 0:
√(0-2) = √(-2) ✗ לא מוגדר!

טבלה 📊

x	x-2 (תחת שורש)	x-5 (מכנה)	מוגדר?
0	-2 ✗	-5	✗
1	-1 ✗	-4	✗
2	0 ✓	-3 ✓	✓
3	1 ✓	-2 ✓	✓
5	3 ✓	0 ✗	✗
6	4 ✓	1 ✓	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא  | ✓ מוגדר |✗| ✓ מוגדר
    ──────●═════════◌═══════▶
          2         5       x
          
    ● = כלול (x=2)
    ◌ = לא כלול (x=5)

הערה חשובה ⚠️
x = 5 לא בתחום למרות ש-√(x-2) מוגדר שם!
הבעיה היא שהמכנה מתאפס.

תשובה: x ≥ 2, x ≠ 5

שאלה 2

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-3}}\)

\(x \geq 3\)

\(x > 3\)

\(x \neq 3\)

\(x \geq 3, x \neq 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מקרה מיוחד: שורש במכנה! ⭐
כששורש נמצא במכנה, יש תנאי מחמיר יותר!

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: 1
• מכנה: √(x-3)

שלב 2: למה שונה? 💭
המכנה הוא √(x-3)
המכנה חייב להיות שונה מאפס!

√(x-3) ≠ 0

מתי √(x-3) = 0?
כאשר x - 3 = 0, כלומר x = 3

שלב 3: התנאי המלא 📐
צריך ש:
1. x - 3 ≥ 0 (כדי שהשורש מוגדר)
2. √(x-3) ≠ 0 (כדי שהמכנה לא אפס)

מהתנאי הראשון: x ≥ 3
מהתנאי השני: x ≠ 3

שילוב: x > 3

שלב 4: דרך קצרה 🚀
כששורש במכנה:
הביטוי תחת השורש חייב להיות חיובי ממש!

x - 3 > 0
x > 3

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
1/√(3-3) = 1/√0 = 1/0 ✗ לא מוגדר!

ב-x = 4:
1/√(4-3) = 1/√1 = 1/1 = 1 ✓

ב-x = 7:
1/√(7-3) = 1/√4 = 1/2 ✓

ב-x = 2:
1/√(2-3) = 1/√(-1) ✗ לא מוגדר!

ב-x = 3.5:
1/√(3.5-3) = 1/√0.5 ≈ 1.41 ✓

טבלה 📊

x	x-3	√(x-3)	1/√(x-3)	מוגדר?
2	-1	לא מוגדר	-	✗
3	0	0	∞	✗
4	1	1	1	✓
7	4	2	0.5	✓
12	9	3	0.33	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר |◌ ✓ מוגדר
    ─────────────◌══════════▶
                 3          x
    
    ◌ = לא כלול (x=3 אסור!)

כלל חשוב ⭐
שורש במכנה: הביטוי תחת השורש חייב > 0
שורש במונה: הביטוי תחת השורש יכול ≥ 0

תשובה: x > 3

שאלה 3

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{x-4}\)

\(x \neq 4\)

\(x \geq -1\)

\(x > -1, x \neq 4\)

\(x \geq -1, x \neq 4\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x+1)
• מכנה: x-4

שלב 2: תנאי השורש 📐
x + 1 ≥ 0
x ≥ -1

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x - 4 ≠ 0
x ≠ 4

שלב 4: שילוב ✍️
\(x \geq -1, x \neq 4\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = -1:
√0/(−5) = 0 ✓

ב-x = 0:
√1/(−4) = -0.25 ✓

ב-x = 4:
√5/0 ✗

ב-x = 5:
√6/1 ≈ 2.45 ✓

ב-x = -2:
√(-1) ✗

טבלה 📊

x	x+1	x-4	מוגדר?
-2	-1 ✗	-6	✗
-1	0 ✓	-5 ✓	✓
0	1 ✓	-4 ✓	✓
4	5 ✓	0 ✗	✗
5	6 ✓	1 ✓	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗  | ✓ מוגדר |✗| ✓ מוגדר
    ───●═════════◌═══════▶
      -1         4       x

תשובה: x ≥ -1, x ≠ 4

שאלה 4

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-5}}\)

\(x \geq 5, x \neq 5\)

\(x > 5\)

\(x \neq 5\)

\(x \geq 5\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: x
• מכנה: √(x-5)

שורש במכנה! תנאי מחמיר!

שלב 2: תנאי השורש במכנה 📐
כששורש במכנה, הביטוי תחת השורש חייב להיות חיובי ממש:

x - 5 > 0
x > 5

שלב 3: למה לא x ≥ 5? 💭
אם x = 5:
√(5-5) = √0 = 0

והמכנה יהיה 0!
לכן x = 5 אסור.

שלב 4: בדיקות 🧪
ב-x = 5:
5/√0 = 5/0 ✗ לא מוגדר!

ב-x = 6:
6/√1 = 6/1 = 6 ✓

ב-x = 9:
9/√4 = 9/2 = 4.5 ✓

ב-x = 4:
4/√(-1) ✗ לא מוגדר!

ב-x = 5.1:
5.1/√0.1 ≈ 16.1 ✓

טבלה 📊

x	x-5	√(x-5)	מוגדר?
4	-1	לא מוגדר	✗
5	0	0 (מכנה=0!)	✗
5.1	0.1	0.32	✓
6	1	1	✓
9	4	2	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר |◌ ✓ מוגדר
    ─────────────◌══════════▶
                 5          x

תזכורת חשובה ⭐
שורש במכנה: x - 5 > 0 (לא ≥)

תשובה: x > 5

שאלה 5

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2-9}}{x-2}\)

\(-3 \leq x \leq 3, x \neq 2\)

\(x \leq -3\) או \(x \geq 3\)

\(x \neq 2\)

\(x \leq -3\) או \(x \geq 3, x \neq 2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x²-9)
• מכנה: x-2

השורש במונה, לא במכנה

שלב 2: תנאי השורש 📐
x² - 9 ≥ 0

פירוק:
x² - 9 = (x-3)(x+3)

השורשים: x = 3, x = -3

שלב 3: ניתוח על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -3       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x ≤ -3 או x ≥ 3

שלב 4: תנאי המכנה 🔢
x - 2 ≠ 0
x ≠ 2

האם x = 2 היה ממילא אסור?
לא! x = 2 נמצא בתחום -3 < x < 3
שזה לא בתחום ההגדרה בגלל השורש.

אבל מכיוון ש-x = 2 ממילא אסור,
התנאי x ≠ 2 לא משנה כאן!

שלב 5: שילוב ✍️
מהשורש: x ≤ -3 או x ≥ 3
מהמכנה: x ≠ 2

אבל x = 2 נמצא ב-(-3, 3) שכבר אסור!
לכן: \(x \leq -3\) או \(x \geq 3\)

רגע! 🤔
צריך לכתוב גם x ≠ 2?
תלוי בסגנון, אבל הכי נכון:
\(x \leq -3\) או \(x \geq 3, x \neq 2\)

(למרות שזה מיותר)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
√0/(-5) = 0 ✓

ב-x = 3:
√0/1 = 0 ✓

ב-x = 4:
√7/2 ≈ 1.32 ✓

ב-x = 0:
√(-9) ✗

ב-x = 2:
√(-5)/0 ✗ (שתי בעיות!)

טבלה 📊

x	x²-9	x-2	מוגדר?
-4	7 ✓	-6 ✓	✓
-3	0 ✓	-5 ✓	✓
0	-9 ✗	-2	✗
2	-5 ✗	0 ✗	✗
3	0 ✓	1 ✓	✓
4	7 ✓	2 ✓	✓

תשובה: x ≤ -3 או x ≥ 3

שאלה 6

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{4-x}}{x+3}\)

\(x \neq -3\)

\(x \leq 4\)

\(x \leq 4, x \neq -3\)

\(x \geq 4, x \neq -3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(4-x)
• מכנה: x+3

שלב 2: תנאי השורש 📐
4 - x ≥ 0
4 ≥ x
x ≤ 4

שים לב! כיוון השורש התהפך

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x + 3 ≠ 0
x ≠ -3

שלב 4: בדיקה - האם x = -3 בתחום השורש? 💭
האם -3 ≤ 4?
כן! אז x = -3 היה בתחום השורש,
אבל הוא אסור בגלל המכנה.

שלב 5: שילוב ✍️
\(x \leq 4, x \neq -3\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 4:
√0/7 = 0 ✓

ב-x = 0:
√4/3 = 2/3 ✓

ב-x = -3:
√7/0 ✗ לא מוגדר!

ב-x = -5:
√9/(-2) = 3/(-2) = -1.5 ✓

ב-x = 5:
√(-1) ✗ לא מוגדר!

טבלה 📊

x	4-x	x+3	מוגדר?
-5	9 ✓	-2 ✓	✓
-3	7 ✓	0 ✗	✗
0	4 ✓	3 ✓	✓
4	0 ✓	7 ✓	✓
5	-1 ✗	8	✗

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר |✗| ✓ מוגדר | ✗ לא
◀═══════════◌═════════●──────▶
           -3         4      x

תשובה: x ≤ 4, x ≠ -3

שאלה 7

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-16}}\)

\(-4 < x < 4\)

\(x < -4\) או \(x > 4\)

\(x \neq -4, x \neq 4\)

\(x \leq -4\) או \(x \geq 4\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: 1
• מכנה: √(x²-16)

שורש במכנה! צריך להיות זהיר!

שלב 2: תנאי שורש במכנה ⭐
הביטוי תחת השורש חייב להיות חיובי ממש:

x² - 16 > 0

שלב 3: פירוק 📐
x² - 16 = (x-4)(x+4)

שלב 4: ניתוח על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════◌───────◌═══════▶
       -4       4       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x < -4 או x > 4

שים לב: x = ±4 לא כלולים!

שלב 5: למה x = 4 ו-x = -4 אסורים? 💭
ב-x = 4:
√(16-16) = √0 = 0
המכנה = 0 ✗

ב-x = -4:
√(16-16) = √0 = 0
המכנה = 0 ✗

שלב 6: תחום ההגדרה ✍️
\(x < -4\) או \(x > 4\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -4:
1/√0 = 1/0 ✗

ב-x = 4:
1/√0 = 1/0 ✗

ב-x = -5:
1/√9 = 1/3 ✓

ב-x = 5:
1/√9 = 1/3 ✓

ב-x = 0:
1/√(-16) ✗

טבלה 📊

x	x²-16	√(x²-16)	מוגדר?
-5	9 ✓	3	✓
-4	0	0 (מכנה!)	✗
0	-16 ✗	-	✗
4	0	0 (מכנה!)	✗
5	9 ✓	3	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר |◌ ✗ לא ◌| ✓ מוגדר
◀═══════════◌───────◌═══════▶
           -4       4        x

תשובה: x < -4 או x > 4

שאלה 8

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x+5}}{x^2-4}\)

\(x \geq -5, x \neq -2, x \neq 2\)

\(x \neq -2, x \neq 2\)

\(x \geq -5, x \neq 2\)

\(x \geq -5\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x+5)
• מכנה: x²-4

שלב 2: תנאי השורש 📐
x + 5 ≥ 0
x ≥ -5

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x² - 4 ≠ 0

פירוק:
x² - 4 = (x-2)(x+2)

(x-2)(x+2) ≠ 0

• x ≠ 2
• x ≠ -2

שלב 4: בדיקה - האם -2 ו-2 בתחום השורש? 💭
x = -2:
האם -2 ≥ -5? כן! ✓
אז -2 בתחום השורש, אבל אסור בגלל המכנה.

x = 2:
האם 2 ≥ -5? כן! ✓
אז 2 בתחום השורש, אבל אסור בגלל המכנה.

שלב 5: שילוב ✍️
מהשורש: x ≥ -5
מהמכנה: x ≠ -2, x ≠ 2

תחום: \(x \geq -5, x \neq -2, x \neq 2\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -5:
√0/21 = 0 ✓

ב-x = -2:
√3/0 ✗

ב-x = 0:
√5/(-4) ≈ -0.56 ✓

ב-x = 2:
√7/0 ✗

ב-x = 3:
√8/5 ≈ 0.57 ✓

ב-x = -6:
√(-1) ✗

טבלה 📊

x	x+5	x²-4	מוגדר?
-6	-1 ✗	32	✗
-5	0 ✓	21 ✓	✓
-2	3 ✓	0 ✗	✗
0	5 ✓	-4 ✓	✓
2	7 ✓	0 ✗	✗
3	8 ✓	5 ✓	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ |  ✓  |✗|  ✓  |✗|  ✓
    ──●═════◌═════◌═══════▶
     -5    -2     2       x

תשובה: x ≥ -5, x ≠ -2, x ≠ 2

שאלה 9

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{9-x^2}}\)

\(-3 \leq x \leq 3\)

\(-3 < x < 3, x \neq 1\)

\(-3 < x < 3\)

\(x < -3\) או \(x > 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: x-1
• מכנה: √(9-x²)

שורש במכנה!

שלב 2: תנאי שורש במכנה ⭐
9 - x² > 0 (חיובי ממש!)

9 > x²
x² < 9

שלב 3: פירוק 📐
9 - x² = -(x²-9)
= -(x-3)(x+3)

שלב 4: ניתוח על ציר 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────◌═══════◌────────▶
       -3       3        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ -3 < x < 3

שים לב: x = ±3 לא כלולים!
(כי השורש במכנה)

שלב 5: למה x = 3 ו-x = -3 אסורים? 💭
ב-x = 3:
9 - 9 = 0
√0 = 0 במכנה ✗

ב-x = -3:
9 - 9 = 0
√0 = 0 במכנה ✗

שלב 6: תחום ההגדרה ✍️
\(-3 < x < 3\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
(0-1)/√9 = -1/3 ✓

ב-x = 1:
(1-1)/√8 = 0/√8 = 0 ✓

ב-x = 2:
(2-1)/√5 = 1/√5 ≈ 0.45 ✓

ב-x = 3:
(3-1)/√0 = 2/0 ✗

ב-x = -3:
(-3-1)/√0 = -4/0 ✗

ב-x = 4:
(4-1)/√(-7) ✗

טבלה 📊

x	9-x²	√(9-x²)	מוגדר?
-4	-7 ✗	-	✗
-3	0	0 (מכנה!)	✗
0	9 ✓	3	✓
2	5 ✓	2.24	✓
3	0	0 (מכנה!)	✗
4	-7 ✗	-	✗

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא |◌ ✓ מוגדר ◌| ✗ לא
────────◌═══════════◌────────▶
       -3           3        x

תשובה: -3 < x < 3

שאלה 10

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x^2-9}\)

\(x \geq 1, x \neq -3, x \neq 3\)

\(x \geq 1\)

\(x \neq 3\)

\(x \geq 1, x \neq 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x-1)
• מכנה: x²-9

שלב 2: תנאי השורש 📐
x - 1 ≥ 0
x ≥ 1

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x² - 9 ≠ 0
(x-3)(x+3) ≠ 0

• x ≠ 3
• x ≠ -3

שלב 4: בדיקה חשובה 💭
האם x = -3 רלוונטי?
האם -3 ≥ 1? לא!

x = -3 ממילא לא בתחום בגלל השורש!
לכן אין צורך לציין x ≠ -3

האם x = 3 רלוונטי?
האם 3 ≥ 1? כן!

x = 3 היה בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה.

שלב 5: שילוב ✍️
\(x \geq 1, x \neq 3\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
√0/(-8) = 0 ✓

ב-x = 2:
√1/(-5) = -0.2 ✓

ב-x = 3:
√2/0 ✗

ב-x = 4:
√3/7 ≈ 0.25 ✓

ב-x = -3:
√(-4) ✗

ב-x = 0:
√(-1) ✗

טבלה 📊

x	x-1	x²-9	מוגדר?
-3	-4 ✗	0 ✗	✗
0	-1 ✗	-9	✗
1	0 ✓	-8 ✓	✓
2	1 ✓	-5 ✓	✓
3	2 ✓	0 ✗	✗
4	3 ✓	7 ✓	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר | ✓ מוגדר |✗| ✓
    ─────────────●═════════◌═══▶
                 1         3   x

הערה 💡
לא צריך לכתוב x ≠ -3
כי -3 < 1 ממילא!

תשובה: x ≥ 1, x ≠ 3

שאלה 11

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-5x+6}}\)

\(2 \leq x \leq 3\)

\(2 < x < 3\)

\(x < 2\) או \(x > 3\)

\(x \leq 2\) או \(x \geq 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: 1
• מכנה: √(x²-5x+6)

שורש במכנה!

שלב 2: תנאי שורש במכנה ⭐
x² - 5x + 6 > 0 (חיובי ממש!)

שלב 3: פירוק 📐
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = 6
• סכומם = -5

המספרים: -2 ו--3

x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3)

שלב 4: ניתוח על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════◌───────◌═══════▶
        2       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x < 2 או x > 3

שים לב: x = 2, x = 3 לא כלולים!

שלב 5: תחום ההגדרה ✍️
\(x < 2\) או \(x > 3\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 2:
√0 = 0 במכנה ✗

ב-x = 3:
√0 = 0 במכנה ✗

ב-x = 0:
1/√6 ≈ 0.41 ✓

ב-x = 5:
1/√6 ≈ 0.41 ✓

ב-x = 2.5:
1/√(-0.25) ✗

טבלה 📊

x	x²-5x+6	√	מוגדר?
0	6 ✓	2.45	✓
1	2 ✓	1.41	✓
2	0	0 (מכנה!)	✗
2.5	-0.25 ✗	-	✗
3	0	0 (מכנה!)	✗
4	2 ✓	1.41	✓
5	6 ✓	2.45	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר |◌ ✗ לא ◌| ✓ מוגדר
◀═══════════◌───────◌═══════▶
            2       3        x

תשובה: x < 2 או x > 3

שאלה 12

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{2x-6}}{x+1}\)

\(x \geq 3, x \neq -1\)

\(x \geq 3\)

\(x \neq -1\)

\(x > 3, x \neq -1\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(2x-6)
• מכנה: x+1

שלב 2: תנאי השורש 📐
2x - 6 ≥ 0
2x ≥ 6
x ≥ 3

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x + 1 ≠ 0
x ≠ -1

שלב 4: בדיקה 💭
האם x = -1 בתחום השורש?
האם -1 ≥ 3? לא!

x = -1 ממילא לא בתחום בגלל השורש.
אבל טוב לציין את זה בכל זאת.

שלב 5: שילוב ✍️
\(x \geq 3, x \neq -1\)

(x ≠ -1 מיותר, אבל נכון)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
√0/4 = 0 ✓

ב-x = 4:
√2/5 ≈ 0.28 ✓

ב-x = 5:
√4/6 = 2/6 ≈ 0.33 ✓

ב-x = 2:
√(-2) ✗

ב-x = -1:
√(-8)/0 ✗ (שתי בעיות!)

טבלה 📊

x	2x-6	x+1	מוגדר?
-1	-8 ✗	0 ✗	✗
0	-6 ✗	1	✗
2	-2 ✗	3	✗
3	0 ✓	4 ✓	✓
4	2 ✓	5 ✓	✓
5	4 ✓	6 ✓	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר | ✓ מוגדר
    ─────────────●══════════▶
                 3          x

תשובה: x ≥ 3
(או: x ≥ 3, x ≠ -1 אם רוצים להיות מדויקים)

שאלה 13

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-3}\)

\(-1 \leq x \leq 1, x \neq 3\)

\(x \leq -1\) או \(x \geq 1\)

\(x \neq 3\)

\(x \leq -1\) או \(x \geq 1, x \neq 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x²-1)
• מכנה: x-3

שלב 2: תנאי השורש 📐
x² - 1 ≥ 0

פירוק:
(x-1)(x+1) ≥ 0

השורשים: x = 1, x = -1

שלב 3: ניתוח על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -1       1       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x ≤ -1 או x ≥ 1

שלב 4: תנאי המכנה 🔢
x - 3 ≠ 0
x ≠ 3

שלב 5: בדיקה 💭
האם x = 3 בתחום השורש?
האם 3 ≤ -1 או 3 ≥ 1?
כן! 3 ≥ 1 ✓

אז x = 3 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה!

שלב 6: שילוב ✍️
מהשורש: x ≤ -1 או x ≥ 1
מהמכנה: x ≠ 3

\(x \leq -1\) או \(x \geq 1, x \neq 3\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -1:
√0/(-4) = 0 ✓

ב-x = 1:
√0/(-2) = 0 ✓

ב-x = 2:
√3/(-1) ≈ -1.73 ✓

ב-x = 3:
√8/0 ✗

ב-x = 4:
√15/1 ≈ 3.87 ✓

ב-x = 0:
√(-1) ✗

טבלה 📊

x	x²-1	x-3	מוגדר?
-2	3 ✓	-5 ✓	✓
-1	0 ✓	-4 ✓	✓
0	-1 ✗	-3	✗
1	0 ✓	-2 ✓	✓
2	3 ✓	-1 ✓	✓
3	8 ✓	0 ✗	✗
4	15 ✓	1 ✓	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓  | ✗ |  ✓  |✗| ✓
◀══════●───●═════◌═════▶
      -1   1     3     x

תשובה: x ≤ -1 או x ≥ 1, x ≠ 3

שאלה 14

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x+4}}\)

\(x > -4\)

\(x \geq -4, x \neq -2\)

\(x > -4, x \neq -2\)

\(x \geq -4\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: x+2
• מכנה: √(x+4)

שורש במכנה!

שלב 2: תנאי שורש במכנה ⭐
x + 4 > 0 (חיובי ממש!)
x > -4

שלב 3: בדיקות 🧪
ב-x = -4:
(−4+2)/√0 = -2/0 ✗

ב-x = -3:
(−3+2)/√1 = -1/1 = -1 ✓

ב-x = -2:
(−2+2)/√2 = 0/√2 = 0 ✓

ב-x = 0:
(0+2)/√4 = 2/2 = 1 ✓

ב-x = 5:
(5+2)/√9 = 7/3 ≈ 2.33 ✓

טבלה 📊

x	x+4	√(x+4)	מוגדר?
-5	-1 ✗	-	✗
-4	0	0 (מכנה!)	✗
-3	1 ✓	1	✓
-2	2 ✓	1.41	✓
0	4 ✓	2	✓
5	9 ✓	3	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא |◌ ✓ מוגדר
    ──────◌═══════════▶
         -4           x

הערה 💡
המונה מתאפס ב-x = -2,
אבל זה בסדר גמור!
0 במונה = 0, לא בעיה

תשובה: x > -4

שאלה 15

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{16-x^2}}{x-5}\)

\(-4 < x < 4, x \neq 5\)

\(x \neq 5\)

\(-4 \leq x \leq 4\)

\(-4 \leq x \leq 4, x \neq 5\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(16-x²)
• מכנה: x-5

שלב 2: תנאי השורש 📐
16 - x² ≥ 0
16 ≥ x²
x² ≤ 16

שלב 3: פירוק 🔢
16 - x² = -(x²-16)
= -(x-4)(x+4)

שלב 4: ניתוח על ציר 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
       -4       4        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ -4 ≤ x ≤ 4

שלב 5: תנאי המכנה 🔢
x - 5 ≠ 0
x ≠ 5

שלב 6: בדיקה 💭
האם x = 5 בתחום השורש?
האם -4 ≤ 5 ≤ 4? לא!

x = 5 ממילא לא בתחום השורש!
אז x ≠ 5 מיותר (אבל נכון)

שלב 7: שילוב ✍️
\(-4 \leq x \leq 4, x \neq 5\)

(x ≠ 5 מיותר כי 5 > 4)

שלב 8: בדיקות 🧪
ב-x = -4:
√0/(-9) = 0 ✓

ב-x = 0:
√16/(-5) = 4/(-5) = -0.8 ✓

ב-x = 4:
√0/(-1) = 0 ✓

ב-x = 5:
√(-9) ✗

ב-x = 3:
√7/(-2) ≈ -1.32 ✓

טבלה 📊

x	16-x²	x-5	מוגדר?
-5	-9 ✗	-10	✗
-4	0 ✓	-9 ✓	✓
0	16 ✓	-5 ✓	✓
4	0 ✓	-1 ✓	✓
5	-9 ✗	0 ✗	✗

ייצוג על ציר 📏

    ✗ | ✓ מוגדר | ✗
────●═══════════●────▶
   -4           4    x
                
   (x=5 ממילא מחוץ לתחום)

תשובה: -4 ≤ x ≤ 4

שאלה 16

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} + \frac{1}{x-2}\)

\(x > 1, x \neq 2\)

\(x \geq 1, x \neq 2\)

\(x > 1\)

\(x \neq 1, x \neq 2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
יש כאן סכום של שני שברים!
• שבר ראשון: 1/√(x-1)
• שבר שני: 1/(x-2)

שלב 2: תנאי השבר הראשון 📐
1/√(x-1) מוגדר כאשר:

x - 1 > 0 (שורש במכנה!)
x > 1

שלב 3: תנאי השבר השני 🔢
1/(x-2) מוגדר כאשר:

x - 2 ≠ 0
x ≠ 2

שלב 4: שילוב - צריך ששניהם מוגדרים! ✍️
כדי שהסכום יהיה מוגדר,
שני התנאים חייבים להתקיים:

• x > 1 (מהשבר הראשון)
• x ≠ 2 (מהשבר השני)

תחום: \(x > 1, x \neq 2\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
1/√0 + 1/(−1) ✗ (שבר ראשון לא מוגדר)

ב-x = 1.5:
1/√0.5 + 1/(−0.5)
≈ 1.41 − 2 = −0.59 ✓

ב-x = 2:
1/√1 + 1/0
= 1 + ∞ ✗ (שבר שני לא מוגדר)

ב-x = 3:
1/√2 + 1/1
≈ 0.71 + 1 = 1.71 ✓

ב-x = 0:
1/√(−1) ✗

טבלה 📊

x	√(x-1)	x-2	מוגדר?
0	לא מוגדר	-2	✗
1	0 (מכנה!)	-1	✗
1.5	0.71 ✓	-0.5 ✓	✓
2	1 ✓	0 ✗	✗
3	1.41 ✓	1 ✓	✓
5	2 ✓	3 ✓	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא |◌ ✓ מוגדר |✗| ✓
    ──────◌═══════════◌═══▶
          1           2   x

הערה חשובה ⚠️
בסכום/הפרש של שברים:
כל שבר חייב להיות מוגדר בנפרד!

תשובה: x > 1, x ≠ 2

שאלה 17

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x+3}}{x^2-x-6}\)

\(x \geq -3\)

\(x \neq -2, x \neq 3\)

\(x \geq -3, x \neq -2, x \neq 3\)

\(x \geq -3, x \neq 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x+3)
• מכנה: x²-x-6

שלב 2: תנאי השורש 📐
x + 3 ≥ 0
x ≥ -3

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x² - x - 6 ≠ 0

פירוק:
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -6
• סכומם = -1

המספרים: -3 ו-2

x² - x - 6 = (x-3)(x+2)

• x ≠ 3
• x ≠ -2

שלב 4: בדיקות 💭
האם x = -2 בתחום השורש?
האם -2 ≥ -3? כן! ✓
אז -2 היה בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה.

האם x = 3 בתחום השורש?
האם 3 ≥ -3? כן! ✓
אז 3 היה בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה.

שלב 5: שילוב ✍️
\(x \geq -3, x \neq -2, x \neq 3\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
√0/0 - צריך לבדוק!
מכנה: 9+3-6 = 6 ✓
√0/6 = 0 ✓

ב-x = -2:
√1/0 ✗

ב-x = 0:
√3/(-6) ≈ -0.29 ✓

ב-x = 3:
√6/0 ✗

ב-x = 4:
√7/6 ≈ 0.44 ✓

ב-x = -4:
√(-1) ✗

טבלה 📊

x	x+3	x²-x-6	מוגדר?
-4	-1 ✗	14	✗
-3	0 ✓	6 ✓	✓
-2	1 ✓	0 ✗	✗
0	3 ✓	-6 ✓	✓
3	6 ✓	0 ✗	✗
4	7 ✓	6 ✓	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ | ✓ |✗|  ✓  |✗| ✓
────●═══◌═══════◌═══▶
   -3  -2       3   x

תשובה: x ≥ -3, x ≠ -2, x ≠ 3

שאלה 18

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\)

\(-2 < x < 2\)

\(x < -2\) או \(x > 2\)

\(x \neq -2, x \neq 2\)

\(-2 \leq x \leq 2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: 1
• מכנה: √(4-x²)

שורש במכנה!

שלב 2: תנאי שורש במכנה ⭐
4 - x² > 0 (חיובי ממש!)

4 > x²
x² < 4

שלב 3: פירוק 📐
4 - x² = -(x²-4)
= -(x-2)(x+2)

שלב 4: ניתוח על ציר 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────◌═══════◌────────▶
       -2       2        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ -2 < x < 2

שים לב: x = ±2 לא כלולים!

שלב 5: תחום ההגדרה ✍️
\(-2 < x < 2\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
1/√0 = 1/0 ✗

ב-x = 2:
1/√0 = 1/0 ✗

ב-x = 0:
1/√4 = 1/2 ✓

ב-x = 1:
1/√3 ≈ 0.58 ✓

ב-x = -1:
1/√3 ≈ 0.58 ✓

ב-x = 3:
1/√(-5) ✗

טבלה 📊

x	4-x²	√(4-x²)	מוגדר?
-3	-5 ✗	-	✗
-2	0	0 (מכנה!)	✗
-1	3 ✓	1.73	✓
0	4 ✓	2	✓
1	3 ✓	1.73	✓
2	0	0 (מכנה!)	✗
3	-5 ✗	-	✗

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא |◌ ✓ מוגדר ◌| ✗ לא
────────◌═══════════◌────────▶
       -2           2        x

תשובה: -2 < x < 2

שאלה 19

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2-4x+3}}{x+1}\)

\(x \neq -1\)

\(x \leq 1\) או \(x \geq 3\)

\(x \leq 1\) או \(x \geq 3, x \neq -1\)

\(1 \leq x \leq 3, x \neq -1\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x²-4x+3)
• מכנה: x+1

שלב 2: תנאי השורש 📐
x² - 4x + 3 ≥ 0

פירוק:
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = 3
• סכומם = -4

המספרים: -1 ו--3

x² - 4x + 3 = (x-1)(x-3)

שלב 3: ניתוח על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
        1       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x ≤ 1 או x ≥ 3

שלב 4: תנאי המכנה 🔢
x + 1 ≠ 0
x ≠ -1

שלב 5: בדיקה 💭
האם x = -1 בתחום השורש?
האם -1 ≤ 1? כן! ✓

אז -1 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה!

שלב 6: שילוב ✍️
\(x \leq 1\) או \(x \geq 3, x \neq -1\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -1:
√8/0 ✗

ב-x = 0:
√3/1 ≈ 1.73 ✓

ב-x = 1:
√0/2 = 0 ✓

ב-x = 2:
√(-1) ✗

ב-x = 3:
√0/4 = 0 ✓

ב-x = 4:
√3/5 ≈ 0.35 ✓

טבלה 📊

x	x²-4x+3	x+1	מוגדר?
-1	8 ✓	0 ✗	✗
0	3 ✓	1 ✓	✓
1	0 ✓	2 ✓	✓
2	-1 ✗	3	✗
3	0 ✓	4 ✓	✓
4	3 ✓	5 ✓	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓ |✗| ✓ | ✗ | ✓
◀═══◌═══●───●═══════▶
   -1   1   3       x

תשובה: x ≤ 1 או x ≥ 3, x ≠ -1

שאלה 20

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}\)

\(x > 0\)

\(x \neq 0\)

\(x \geq 0, x \neq 0\)

\(x \geq 0\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
סכום של שני שברים:
• שבר ראשון: x/√x
• שבר שני: 1/x

שלב 2: תנאי השבר הראשון 📐
x/√x מוגדר כאשר:

√x מוגדר וגם √x ≠ 0

√x מוגדר: x ≥ 0
√x ≠ 0: x ≠ 0

ביחד: x > 0

שלב 3: תנאי השבר השני 🔢
1/x מוגדר כאשר:

x ≠ 0

שלב 4: שילוב ✍️
מהשבר הראשון: x > 0
מהשבר השני: x ≠ 0

x > 0 כבר מכיל את x ≠ 0

תחום: \(x > 0\)

שלב 5: פישוט השבר הראשון 💭
x/√x = x/x^(1/2)
= x^(1 - 1/2)
= x^(1/2)
= √x

אז למעשה:
f(x) = √x + 1/x

וזה מוגדר עבור x > 0

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
0/√0 + 1/0
= 0/0 + ∞ ✗

ב-x = 1:
1/√1 + 1/1
= 1 + 1 = 2 ✓

ב-x = 4:
4/√4 + 1/4
= 4/2 + 0.25
= 2 + 0.25 = 2.25 ✓

ב-x = -1:
-1/√(-1) ✗

טבלה 📊

x	√x	x/√x	1/x	מוגדר?
-1	לא מוגדר	-	-1	✗
0	0 (מכנה!)	לא מוגדר	∞	✗
1	1	1	1	✓
4	2	2	0.25	✓
9	3	3	0.11	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר |◌ ✓ מוגדר
    ──────────────◌══════════▶
                  0          x

תשובה: x > 0

שאלה 21

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{5-x}}{x^2-1}\)

\(x \neq -1, x \neq 1\)

\(x \leq 5, x \neq -1, x \neq 1\)

\(x \leq 5\)

\(x \leq 5, x \neq 1\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(5-x)
• מכנה: x²-1

שלב 2: תנאי השורש 📐
5 - x ≥ 0
5 ≥ x
x ≤ 5

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x² - 1 ≠ 0

פירוק:
x² - 1 = (x-1)(x+1)

• x ≠ 1
• x ≠ -1

שלב 4: בדיקות 💭
האם x = 1 בתחום השורש?
האם 1 ≤ 5? כן! ✓
אז x = 1 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה.

האם x = -1 בתחום השורש?
האם -1 ≤ 5? כן! ✓
אז x = -1 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה.

שלב 5: שילוב ✍️
\(x \leq 5, x \neq -1, x \neq 1\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -1:
√6/0 ✗

ב-x = 0:
√5/(-1) ≈ -2.24 ✓

ב-x = 1:
√4/0 ✗

ב-x = 5:
√0/24 = 0 ✓

ב-x = 4:
√1/15 ≈ 0.067 ✓

ב-x = 6:
√(-1) ✗

טבלה 📊

x	5-x	x²-1	מוגדר?
-1	6 ✓	0 ✗	✗
0	5 ✓	-1 ✓	✓
1	4 ✓	0 ✗	✗
4	1 ✓	15 ✓	✓
5	0 ✓	24 ✓	✓
6	-1 ✗	35	✗

ייצוג על ציר 📏

    ✓ |✗| ✓ |✗| ✓ | ✗
◀═══◌═══◌═══●──────▶
   -1   1   5      x

תשובה: x ≤ 5, x ≠ -1, x ≠ 1

שאלה 22

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-2x-3}}\)

\(x < -1\) או \(x > 3\)

\(x \leq -1\) או \(x \geq 3\)

\(-1 \leq x \leq 3\)

\(-1 < x < 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: 1
• מכנה: √(x²-2x-3)

שורש במכנה!

שלב 2: תנאי שורש במכנה ⭐
x² - 2x - 3 > 0 (חיובי ממש!)

שלב 3: פירוק 📐
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -3
• סכומם = -2

המספרים: -3 ו-1

x² - 2x - 3 = (x-3)(x+1)

שלב 4: ניתוח על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════◌───────◌═══════▶
       -1       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x < -1 או x > 3

שים לב: x = -1, x = 3 לא כלולים!
(כי השורש במכנה)

שלב 5: תחום ההגדרה ✍️
\(x < -1\) או \(x > 3\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -1:
1/√0 = 1/0 ✗

ב-x = 3:
1/√0 = 1/0 ✗

ב-x = -2:
1/√5 ≈ 0.45 ✓

ב-x = 4:
1/√5 ≈ 0.45 ✓

ב-x = 0:
1/√(-3) ✗

ב-x = 1:
1/√(-4) ✗

טבלה 📊

x	x²-2x-3	√	מוגדר?
-2	5 ✓	2.24	✓
-1	0	0 (מכנה!)	✗
0	-3 ✗	-	✗
1	-4 ✗	-	✗
3	0	0 (מכנה!)	✗
4	5 ✓	2.24	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר |◌ ✗ לא ◌| ✓ מוגדר
◀═══════════◌───────◌═══════▶
           -1       3        x

תשובה: x < -1 או x > 3

שאלה 23

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-4} + \sqrt{x-1}\)

\(x \geq 1\)

\(x \geq 0, x \neq 4\)

\(x \neq 4\)

\(x \geq 1, x \neq 4\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
סכום של שני חלקים:
• חלק ראשון: √x/(x-4)
• חלק שני: √(x-1)

שלב 2: תנאים מהחלק הראשון 📐
√x/(x-4) מוגדר כאשר:

1. √x מוגדר: x ≥ 0
2. x - 4 ≠ 0: x ≠ 4

מהחלק הראשון: x ≥ 0, x ≠ 4

שלב 3: תנאים מהחלק השני 🔢
√(x-1) מוגדר כאשר:

x - 1 ≥ 0
x ≥ 1

שלב 4: שילוב - התנאי המחמיר יותר ✍️
מהחלק הראשון: x ≥ 0, x ≠ 4
מהחלק השני: x ≥ 1

מי המחמיר יותר?
x ≥ 1 מחמיר יותר מ-x ≥ 0

תחום: \(x \geq 1, x \neq 4\)

שלב 5: למה x ≥ 1? 💭
כי כדי ש-שני החלקים יהיו מוגדרים,
צריך את התנאי המחמיר ביותר:

x ≥ 0 ✓
x ≥ 1 ✓ (יותר מחמיר)

אז בוחרים: x ≥ 1

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
√0/(-4) + √(-1)
= 0 + לא מוגדר ✗

ב-x = 1:
√1/(-3) + √0
= -1/3 + 0 ≈ -0.33 ✓

ב-x = 4:
√4/0 + √3
= לא מוגדר ✗

ב-x = 5:
√5/1 + √4
≈ 2.24 + 2 = 4.24 ✓

ב-x = 2:
√2/(-2) + √1
≈ -0.71 + 1 = 0.29 ✓

טבלה 📊

x	√x	√(x-1)	x-4	מוגדר?
0	0 ✓	לא מוגדר	-4	✗
1	1 ✓	0 ✓	-3 ✓	✓
2	1.41 ✓	1 ✓	-2 ✓	✓
4	2 ✓	1.73 ✓	0 ✗	✗
5	2.24 ✓	2 ✓	1 ✓	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא | ✓ מוגדר |✗| ✓
    ──────●═════════◌═══▶
          1         4   x

תשובה: x ≥ 1, x ≠ 4

שאלה 24

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{(x-3)(x-5)}\)

\(x \geq 2, x \neq 5\)

\(x \neq 3, x \neq 5\)

\(x \geq 2, x \neq 3, x \neq 5\)

\(x \geq 2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x-2)
• מכנה: (x-3)(x-5)

שלב 2: תנאי השורש 📐
x - 2 ≥ 0
x ≥ 2

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
(x-3)(x-5) ≠ 0

מכפלה שונה מאפס כאשר
כל גורם שונה מאפס:

• x - 3 ≠ 0 → x ≠ 3
• x - 5 ≠ 0 → x ≠ 5

שלב 4: בדיקות 💭
האם x = 3 בתחום השורש?
האם 3 ≥ 2? כן! ✓
אז x = 3 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה.

האם x = 5 בתחום השורש?
האם 5 ≥ 2? כן! ✓
אז x = 5 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה.

שלב 5: שילוב ✍️
\(x \geq 2, x \neq 3, x \neq 5\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 2:
√0/((−1)(−3)) = 0/3 = 0 ✓

ב-x = 3:
√1/(0·(−2)) = √1/0 ✗

ב-x = 4:
√2/(1·(−1)) = √2/(−1) ≈ -1.41 ✓

ב-x = 5:
√3/(2·0) = √3/0 ✗

ב-x = 6:
√4/(3·1) = 2/3 ≈ 0.67 ✓

ב-x = 1:
√(-1) ✗

טבלה 📊

x	x-2	(x-3)(x-5)	מוגדר?
1	-1 ✗	6	✗
2	0 ✓	3 ✓	✓
3	1 ✓	0 ✗	✗
4	2 ✓	-1 ✓	✓
5	3 ✓	0 ✗	✗
6	4 ✓	3 ✓	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ | ✓ |✗| ✓ |✗| ✓
────●═══◌═══◌═══▶
    2   3   5   x

תשובה: x ≥ 2, x ≠ 3, x ≠ 5

שאלה 25

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(x \neq -1, x \neq 1\)

\(-1 < x < 1\)

\(x < -1\) או \(x > 1\)

\(-1 \leq x \leq 1\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: 2
• מכנה: √(1-x²)

שורש במכנה!

שלב 2: תנאי שורש במכנה ⭐
1 - x² > 0 (חיובי ממש!)

1 > x²
x² < 1

שלב 3: פירוק 📐
1 - x² = -(x²-1)
= -(x-1)(x+1)

שלב 4: ניתוח על ציר 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────◌═══════◌────────▶
       -1       1        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ -1 < x < 1

שים לב: x = ±1 לא כלולים!

שלב 5: תחום ההגדרה ✍️
\(-1 < x < 1\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
2/√1 = 2/1 = 2 ✓

ב-x = 0.5:
2/√0.75 ≈ 2.31 ✓

ב-x = -0.5:
2/√0.75 ≈ 2.31 ✓

ב-x = 1:
2/√0 = 2/0 ✗

ב-x = -1:
2/√0 = 2/0 ✗

ב-x = 2:
2/√(-3) ✗

טבלה 📊

x	1-x²	√(1-x²)	מוגדר?
-2	-3 ✗	-	✗
-1	0	0 (מכנה!)	✗
-0.5	0.75 ✓	0.87	✓
0	1 ✓	1	✓
0.5	0.75 ✓	0.87	✓
1	0	0 (מכנה!)	✗
2	-3 ✗	-	✗

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא |◌ ✓ מוגדר ◌| ✗ לא
────────◌═══════════◌────────▶
       -1           1        x

הערה מעניינת 💡
זו למעשה פונקציה הקשורה למעגל!
המשוואה 1 - x² > 0 מגדירה
את הפנים של מעגל ברדיוס 1.

תשובה: -1 < x < 1

שאלה 26

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2-25}}{2x-10}\)

\(x \leq -5\) או \(x \geq 5\)

\(x \leq -5\)

\(x \leq -5\) או \(x \geq 5, x \neq 5\)

\(x \geq 5, x \neq 5\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x²-25)
• מכנה: 2x-10

שלב 2: תנאי השורש 📐
x² - 25 ≥ 0

פירוק:
x² - 25 = (x-5)(x+5)

השורשים: x = 5, x = -5

שלב 3: ניתוח על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -5       5       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x ≤ -5 או x ≥ 5

שלב 4: תנאי המכנה 🔢
2x - 10 ≠ 0
2x ≠ 10
x ≠ 5

שלב 5: שילוב - הבעיה! 💭
מהשורש: x ≤ -5 או x ≥ 5
מהמכנה: x ≠ 5

שים לב! x = 5 בדיוק על הגבול!
הוא בתחום השורש (x ≥ 5),
אבל אסור בגלל המכנה.

אז: x ≤ -5 או x > 5

או בצורה מדויקת:
x ≤ -5 או x ≥ 5, x ≠ 5

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -5:
√0/(-20) = 0 ✓

ב-x = 5:
√0/0 - לא מוגדר! ✗

ב-x = 6:
√11/2 ≈ 1.66 ✓

ב-x = -6:
√11/(-22) ≈ -0.15 ✓

ב-x = 0:
√(-25) ✗

טבלה 📊

x	x²-25	2x-10	מוגדר?
-6	11 ✓	-22 ✓	✓
-5	0 ✓	-20 ✓	✓
0	-25 ✗	-10	✗
5	0 ✓	0 ✗	✗
6	11 ✓	2 ✓	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓  | ✗ |✗|◌ ✓
◀══════●───◌══════▶
      -5   5      x
      
   x=5 אסור למרות שעל הגבול!

תשובה נכונה: x ≤ -5 או x ≥ 5, x ≠ 5
(שזה למעשה: x ≤ -5 או x > 5)

שאלה 27

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}\)

\(x \geq -1\)

\(x > -1\)

כל המספרים הממשיים \((\mathbb{R})\)

\(x \neq -1\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: x+1
• מכנה: √(x²+1)

שורש במכנה, אבל...

שלב 2: ניתוח המכנה 📐
צריך ש:
x² + 1 > 0 (כי שורש במכנה)

שלב 3: בדיקה מיוחדת 💭
x² ≥ 0 תמיד (ריבוע)

לכן:
x² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0

תמיד חיובי!
x² + 1 אף פעם לא מתאפס!

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
אין שום הגבלה!

כל המספרים הממשיים!
\(\mathbb{R}\)

שלב 5: למה? ⭐
• המונה x+1 תמיד מוגדר ✓
• המכנה √(x²+1) תמיד > 0 ✓
• אין בעיה בשום x!

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
(0+1)/√1 = 1/1 = 1 ✓

ב-x = -1:
(−1+1)/√2 = 0/√2 = 0 ✓

ב-x = 5:
(5+1)/√26 = 6/√26 ≈ 1.18 ✓

ב-x = -10:
(−10+1)/√101 = -9/√101 ≈ -0.90 ✓

ב-x = 100:
(100+1)/√10001 ≈ 1.01 ✓

טבלה 📊

x	x²+1	√(x²+1)	מוגדר?
-10	101 ✓	10.05	✓
-1	2 ✓	1.41	✓
0	1 ✓	1	✓
1	2 ✓	1.41	✓
10	101 ✓	10.05	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר בכל מקום
◀════════════════════════▶
                         x

מקרה נדיר! 🌟
למרות שיש שורש במכנה,
הפונקציה מוגדרת בכל ℝ!

הסיבה: x² + 1 > 0 תמיד!

תשובה: כל המספרים הממשיים

שאלה 28

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{3x-9}}{x^2-4x+3}\)

\(x > 3\)

\(x \geq 3\)

\(x \geq 3, x \neq 1, x \neq 3\)

\(x \geq 3, x \neq 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(3x-9)
• מכנה: x²-4x+3

שלב 2: תנאי השורש 📐
3x - 9 ≥ 0
3x ≥ 9
x ≥ 3

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x² - 4x + 3 ≠ 0

פירוק:
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = 3
• סכומם = -4

המספרים: -1 ו--3

x² - 4x + 3 = (x-1)(x-3)

• x ≠ 1
• x ≠ 3

שלב 4: בדיקה קריטית! 💭
האם x = 1 בתחום השורש?
האם 1 ≥ 3? לא! ✗
אז x = 1 ממילא לא בתחום.

האם x = 3 בתחום השורש?
האם 3 ≥ 3? כן! ✓
אז x = 3 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה!

שלב 5: שילוב - מה התוצאה? ✍️
מהשורש: x ≥ 3
מהמכנה: x ≠ 1, x ≠ 3

אבל x = 1 ממילא לא בתחום (1 < 3)
ו-x = 3 אסור בגלל המכנה

תחום: x ≥ 3, x ≠ 3

זה אומר: x > 3

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
√(-6) ✗ (שתי בעיות)

ב-x = 3:
√0/0 ✗

ב-x = 4:
√3/3 = 1/√3 ≈ 0.58 ✓

ב-x = 5:
√6/8 ≈ 0.31 ✓

ב-x = 2:
√(-3) ✗

טבלה 📊

x	3x-9	x²-4x+3	מוגדר?
1	-6 ✗	0 ✗	✗
2	-3 ✗	-1	✗
3	0 ✓	0 ✗	✗
4	3 ✓	3 ✓	✓
5	6 ✓	8 ✓	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר |◌ ✓ מוגדר
    ──────────────◌══════════▶
                  3          x

התשובה המדויקת:
x ≥ 3, x ≠ 3

או בפשטות: x > 3

שאלה 29

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{6-2x}} + \frac{1}{x+2}\)

\(x \neq -2\)

\(x < 3, x \neq -2\)

\(x < 3\)

\(x \leq 3, x \neq -2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
סכום של שני שברים:
• שבר ראשון: 1/√(6-2x)
• שבר שני: 1/(x+2)

שלב 2: תנאי השבר הראשון 📐
1/√(6-2x) מוגדר כאשר:

6 - 2x > 0 (שורש במכנה!)
6 > 2x
3 > x
x < 3

שלב 3: תנאי השבר השני 🔢
1/(x+2) מוגדר כאשר:

x + 2 ≠ 0
x ≠ -2

שלב 4: בדיקה 💭
האם x = -2 בתחום השבר הראשון?
האם -2 < 3? כן! ✓

אז -2 בתחום השבר הראשון,
אבל אסור בגלל השבר השני!

שלב 5: שילוב ✍️
מהשבר הראשון: x < 3
מהשבר השני: x ≠ -2

\(x < 3, x \neq -2\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
1/√10 + 1/0
≈ 0.32 + ∞ ✗

ב-x = 0:
1/√6 + 1/2
≈ 0.41 + 0.5 = 0.91 ✓

ב-x = 2:
1/√2 + 1/4
≈ 0.71 + 0.25 = 0.96 ✓

ב-x = 3:
1/√0 + 1/5
= ∞ + 0.2 ✗

ב-x = 4:
1/√(-2) ✗

טבלה 📊

x	6-2x	x+2	מוגדר?
-2	10 ✓	0 ✗	✗
0	6 ✓	2 ✓	✓
1	4 ✓	3 ✓	✓
2	2 ✓	4 ✓	✓
3	0 (מכנה!)	5	✗
4	-2 ✗	6	✗

ייצוג על ציר 📏

    ✓ |✗| ✓ מוגדר |◌ ✗
◀═══◌═══════════◌───────▶
   -2           3       x

תשובה: x < 3, x ≠ -2

שאלה 30

3.33 נק'

🌟 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2-x-6}}{x^2-9}\)

\(x \neq -3, x \neq 3\)

\(x \leq -2\) או \(x \geq 3\)

\(x \leq -2\) או \(x \geq 3, x \neq -3, x \neq 3\)

\(-2 \leq x \leq 3, x \neq -3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט - השאלה המסכמת:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x²-x-6)
• מכנה: x²-9

שילוב של כל מה שלמדנו!

שלב 2: תנאי השורש 📐
x² - x - 6 ≥ 0

פירוק:
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -6
• סכומם = -1

המספרים: -3 ו-2

x² - x - 6 = (x-3)(x+2)

שלב 3: ניתוח השורש על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -2       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x ≤ -2 או x ≥ 3

שלב 4: תנאי המכנה 🔢
x² - 9 ≠ 0

פירוק:
x² - 9 = (x-3)(x+3)

• x ≠ 3
• x ≠ -3

שלב 5: בדיקות קריטיות 💭
האם x = 3 בתחום השורש?
האם 3 ≤ -2 או 3 ≥ 3?
כן! 3 ≥ 3 ✓
אז x = 3 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה!

האם x = -3 בתחום השורש?
האם -3 ≤ -2 או -3 ≥ 3?
כן! -3 ≤ -2 ✓
אז x = -3 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה!

שלב 6: שילוב סופי ✍️
מהשורש: x ≤ -2 או x ≥ 3
מהמכנה: x ≠ -3, x ≠ 3

\(x \leq -2\) או \(x \geq 3, x \neq -3, x \neq 3\)

שלב 7: בדיקות מקיפות 🧪
ב-x = -3:
√0/0 ✗

ב-x = -2:
√0/(-5) = 0 ✓

ב-x = 0:
√(-6) ✗

ב-x = 3:
√0/0 ✗

ב-x = 4:
√6/7 ≈ 0.35 ✓

ב-x = -4:
√6/7 ≈ 0.35 ✓

טבלה מפורטת 📊

x	x²-x-6	x²-9	מוגדר?
-4	14 ✓	7 ✓	✓
-3	6 ✓	0 ✗	✗
-2	0 ✓	-5 ✓	✓
0	-6 ✗	-9	✗
3	0 ✓	0 ✗	✗
4	6 ✓	7 ✓	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓  |✗| | ✗ |✗|◌ ✓
◀══════◌═●───●═◌══════▶
      -3 -2  3        x

סיכום כל מה שלמדנו 🎯
במבחן זה למדנו:
✅ שורש במונה: ביטוי ≥ 0
✅ שורש במכנה: ביטוי > 0
✅ מכנה רגיל: ביטוי ≠ 0
✅ שילוב של כל התנאים
✅ סכום של שברים
✅ זיהוי נקודות קריטיות
✅ פרבולות במכנה
✅ ביטויים שתמיד חיוביים

עקרונות מרכזיים ⭐
1. שורש במונה: ≥ 0
2. שורש במכנה: > 0
3. מכנה רגיל: ≠ 0
4. בדוק אם נקודות אסורות במכנה
היו מותרות בשורש
5. בסכום: כל חלק בנפרד!

תשובה סופית:
x ≤ -2 או x ≥ 3, x ≠ -3, x ≠ 3

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 30 הושלמו