משפטים גיאומטריים במשולשים | מבחן אינטראקטיבי עם פתרונות

אורח מצב צפייה מבחן: משפטים גיאומטריים במשולשים

מספר שאלות: 50

ניקוד כולל: 100.00 נק'

שאלה 1

2.00 נק'

📐 משפט 1:
זוויות צמודות משלימות זו את זו ל-___?

360°

180°

90°

270°

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהן זוויות צמודות? 🔍

זוויות צמודות

שתי זוויות שנמצאות זו לצד זו
על אותו קו ישר
ויש להן קודקוד משותף

שלב 2: דוגמה ויזואלית 📊

דמיינו קו ישר:
________________
עכשיו מעלים קו מהאמצע:
________/________

🔹 הזווית משמאל לקו + הזווית מימין לקו
🔹 יחד הן יוצרות קו ישר
🔹 קו ישר = 180°

שלב 3: למה דווקא 180°? 💭

מושג	מידה
קו ישר	180°
חצי סיבוב	180°
זוויות צמודות	סכום = 180°

שלב 4: דוגמאות מספריות ✍️

זווית 1	זווית 2	סכום
60°	120°	180° ✓
90°	90°	180° ✓
45°	135°	180° ✓
100°	80°	180° ✓

שלב 5: כלל זהב 💡

משפט 1 ✨

זוויות צמודות
משלימות זו את זו ל-
180°

תשובה: 180°

שאלה 2

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 1:
אם זווית אחת היא 75°, מהי הזווית הצמודה לה?

75°

15°

285°

105° (180° - 75° = 105°)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 זווית 1 = 75°
🔹 הזוויות צמודות
🔹 מבקשים: זווית 2 = ?

שלב 2: המשפט שלנו 📐

זוויות צמודות משלימות זו את זו ל-180°

שלב 3: בניית המשוואה 💭

זווית 1 + זווית 2 = 180°

75° + זווית 2 = 180°

זווית 2 = 180° - 75°

זווית 2 = 105°

שלב 4: בדיקה ✍️

זווית 1	+	זווית 2	=	סכום
75°	+	105°	=	180° ✓

שלב 5: למה לא התשובות האחרות? 🤔

תשובה	בדיקה	נכון?
75°	75° + 75° = 150°	✗
15°	75° + 15° = 90°	✗
285°	75° + 285° = 360°	✗
105°	75° + 105° = 180°	✓

תשובה: 105°

שאלה 3

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 1:
שתי זוויות צמודות. אחת מהן גדולה פי 3 מהשנייה.
מהן הזוויות?

45° ו-135° (x + 3x = 180°, x = 45°)

90° ו-270°

30° ו-90°

60° ו-180°

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

🔹 שתי זוויות צמודות
🔹 זווית אחת פי 3 מהשנייה
🔹 מבקשים: מהן הזוויות?

שלב 2: הגדרת משתנה 💭

נסמן:
🔹 הזווית הקטנה = x
🔹 הזווית הגדולה = 3x (פי 3 מהקטנה)

שלב 3: בניית המשוואה 📐

זוויות צמודות משלימות ל-180°:

x + 3x = 180°

4x = 180°

x = 180° ÷ 4

x = 45°

שלב 4: חישוב שתי הזוויות ✍️

זווית	חישוב	תוצאה
הזווית הקטנה	x	45°
הזווית הגדולה	3x = 3 × 45°	135°

שלב 5: בדיקה 🔍

בדיקה 1: סכום
45° + 135° = 180° ✓

בדיקה 2: יחס
135° ÷ 45° = 3 ✓

אכן, הזווית הגדולה פי 3 מהקטנה!

שלב 6: למה לא התשובות האחרות? 🤔

תשובה	סכום	יחס	נכון?
60° ו-180°	240°	180÷60=3	✗ סכום לא 180
30° ו-90°	120°	90÷30=3	✗ סכום לא 180
45° ו-135°	180° ✓	135÷45=3 ✓	✓

תשובה: 45° ו-135°

שאלה 4

2.00 נק'

❓ זיהוי משפט:
אם α ו-β זוויות צמודות, ו-α = 110°,
האם β חייבת להיות 70°?

לא - β חייבת להיות 90°

לא - β יכולה להיות כל זווית

כן - כי זוויות צמודות משלימות ל-180°

לא - β חייבת להיות 110° (שוות)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 α ו-β זוויות צמודות
🔹 α = 110°
🔹 שאלה: האם β חייבת להיות 70°?

שלב 2: המשפט שלנו 📐

משפט 1:
זוויות צמודות משלימות זו את זו ל-180°

שלב 3: חישוב β 💭

α + β = 180°

110° + β = 180°

β = 180° - 110°

β = 70°

אין ברירה אחרת!

שלב 4: האם יש אפשרות אחרת? 🤔

❌ לא! ❌

אם α ו-β צמודות
והן חייבות להסתכם ל-180°
אז β חייבת להיות 70°

זה לא תלוי בנו - זה משפט!

שלב 5: כלל חשוב 💡

משפטים בגיאומטריה

✅ משפטים הם חוקים קבועים
✅ אין בחירה - הם תמיד נכונים
✅ אם הנתונים מתקיימים
✅ המסקנה חייבת להתקיים

תשובה: כן - β חייבת להיות 70°

שאלה 5

2.00 נק'

📐 משפט 2:
זוויות קדקודיות _____ זו לזו.

שוות

משלימות ל-180°

משלימות ל-90°

כפולות

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהן זוויות קדקודיות? 🔍

זוויות קדקודיות

שתי זוויות שנוצרות כאשר
שני קווים נחתכים
והן מול זו לזו
(לא צמודות!)

שלב 2: דוגמה ויזואלית 📊

כאשר שני קווים נחתכים:

      ∠1
      /
     /
____/____
    ∠2  ∠3
   /
  /
 ∠4

🔹 ∠1 ו-∠3 = זוויות קדקודיות
🔹 ∠2 ו-∠4 = זוויות קדקודיות

שלב 3: מה אומר המשפט? 💭

משפט 2 ✨

זוויות קדקודיות
שוות
זו לזו

שלב 4: דוגמאות מספריות ✍️

∠1	∠3 (קדקודית ל-∠1)
60°	60° ✓
45°	45° ✓
120°	120° ✓
x	x ✓

שלב 5: הבדל מזוויות צמודות ⚠️

סוג זוויות	מאפיין
זוויות צמודות	משלימות ל-180°
זוויות קדקודיות	שוות זו לזו

תשובה: שוות

שאלה 6

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 2:
שני קווים נחתכים. אחת הזוויות היא 65°.
מהי הזווית הקדקודית לה?

25°

65° - זוויות קדקודיות שוות

130°

115° - זוויות צמודות משלימות ל-180°

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 שני קווים נחתכים
🔹 זווית אחת = 65°
🔹 מבקשים: הזווית הקדקודית

שלב 2: המשפט שלנו 📐

משפט 2:
זוויות קדקודיות שוות זו לזו

שלב 3: הפתרון 💭

פשוט מאוד!

אם זווית אחת = 65°
והזוויות קדקודיות שוות

הזווית הקדקודית = 65°

ללא חישובים!

שלב 4: למה לא 115°? ⚠️

שימו לב!
🔹 115° = 180° - 65°
🔹 זו הזווית הצמודה, לא הקדקודית!
🔹 זוויות צמודות משלימות ל-180° (משפט 1)
🔹 זוויות קדקודיות שוות (משפט 2)
🔹 אל תבלבלו!

שלב 5: איור לבהירות 📊

    65°
      ╱
     ╱
────╱──── 115° (צמודה)
   ╱ 115° (צמודה)
  ╱
 ╱
65° (קדקודית)

🔹 שתי הזוויות של 65° = קדקודיות
🔹 שתי הזוויות של 115° = קדקודיות

תשובה: 65°

שאלה 7

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 2:
שני קווים נחתכים. אחת הזוויות היא 3x+15°.
הזווית הקדקודית לה היא 75°.
מהו x?

x = 20 (3x+15 = 75, 3x = 60)

x = 15

x = 30

x = 25

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 זווית 1 = 3x + 15°
🔹 זווית 2 (קדקודית) = 75°
🔹 מבקשים: x = ?

שלב 2: המשפט שלנו 📐

זוויות קדקודיות שוות

לכן: 3x + 15° = 75°

שלב 3: פתרון המשוואה 💭

3x + 15° = 75°

3x = 75° - 15°

3x = 60°

x = 60° ÷ 3

x = 20°

שלב 4: בדיקה ✍️

נציב x = 20 בביטוי המקורי:

3x + 15° = 3(20) + 15°

= 60° + 15°

= 75° ✓

אכן שווה לזווית הקדקודית!

תשובה: x = 20

שאלה 8

2.00 נק'

🎯 שילוב משפטים 1 ו-2:
שני קווים נחתכים ויוצרים 4 זוויות.
אם אחת הזוויות היא 40°, כמה זוויות של 140° יש?

3 זוויות

1 זווית

4 זוויות

2 זוויות - שתי הזוויות הצמודות ל-40°

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המצב 🔍

🔹 שני קווים נחתכים → 4 זוויות
🔹 אחת הזוויות = 40°
🔹 שאלה: כמה זוויות של 140° יש?

שלב 2: שימוש במשפט 2 💭

משפט 2: זוויות קדקודיות שוות

אם יש זווית של 40°
אז הזווית הקדקודית לה גם 40°

סה"כ: 2 זוויות של 40°

שלב 3: שימוש במשפט 1 📐

משפט 1: זוויות צמודות משלימות ל-180°

הזווית הצמודה ל-40° היא:
180° - 40° = 140°

לפי משפט 2, הזווית הקדקודית ל-140° גם 140°

סה"כ: 2 זוויות של 140°

שלב 4: סיכום ויזואלי 📊

    40°
      ╱
     ╱
────╱──── 140°
   ╱ 140°
  ╱
 ╱
40°

🔹 2 זוויות של 40° (קדקודיות)
🔹 2 זוויות של 140° (קדקודיות)
🔹 סה"כ: 4 זוויות

שלב 5: כלל כללי 💡

כאשר 2 קווים נחתכים:

✅ יש 2 זוגות של זוויות קדקודיות
✅ כל זוג = זוויות שוות
✅ הזוויות בזוג אחד צמודות לזוויות בזוג השני
✅ זוויות צמודות משלימות ל-180°

תשובה: 2 זוויות של 140°

שאלה 9

2.00 נק'

📐 משפט 3:
במשולש, מול זוויות שוות מונחות _____ שוות.

זוויות

צלעות

תיכונים

גבהים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט 3 ✨

במשולש,
מול זוויות שוות
מונחות
צלעות שוות

שלב 2: הסבר לוגי 💭

🔹 אם במשולש יש שתי זוויות שוות
🔹 אז הצלעות מולן חייבות להיות שוות
🔹 זו תכונה של סימטריה במשולש
🔹 זה הופך את המשולש לשווה שוקיים

שלב 3: דוגמה 📊

במשולש ABC:

אם ∠A = ∠B = 50°

אז הצלע מול A (BC) =
הצלע מול B (AC)

BC = AC

שלב 4: הכיוון של המשפט ⚠️

שימו לב לכיוון!

✅ זוויות שוות → צלעות שוות

(ההיפך גם נכון - משפט 4)
✅ צלעות שוות → זוויות שוות

שלב 5: זיכרון 💡

מילת זיכרון:

"זוויות תאומות → צלעות תאומות"

אם הזוויות שוות (תאומות)
הצלעות מולן גם שוות (תאומות)

תשובה: צלעות

שאלה 10

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 3:
במשולש ABC, זווית A = זווית B = 65°.
אם הצלע BC = 8 ס"מ, מה אורך הצלע AC?

8 ס"מ - מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

4 ס"מ

16 ס"מ

לא ניתן לדעת

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 משולש ABC
🔹 ∠A = ∠B = 65° (זוויות שוות!)
🔹 BC = 8 ס"מ
🔹 מבקשים: AC = ?

שלב 2: איזו צלע מול איזו זווית? 💭

זווית	הצלע מולה
∠A	BC (הצלע הנגדית ל-A)
∠B	AC (הצלע הנגדית ל-B)
∠C	AB (הצלע הנגדית ל-C)

שלב 3: שימוש במשפט 3 📐

משפט 3:
מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

∠A = ∠B = 65° (שוות!)

לכן:
הצלע מול A (BC) = הצלע מול B (AC)

BC = AC

שלב 4: חישוב ✍️

BC = 8 ס"מ (נתון)

BC = AC (לפי משפט 3)

AC = 8 ס"מ

שלב 5: הבנה עמוקה 💡

🔹 המשולש הזה הוא שווה שוקיים
🔹 שתי הזוויות בבסיס (A ו-B) שוות
🔹 שתי השוקיים (BC ו-AC) שוות
🔹 זו תכונה אופיינית למשולש שווה שוקיים

תשובה: 8 ס"מ

שאלה 11

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 3:
במשולש, שתי זוויות שוות. הצלע מול הזווית הראשונה היא 2x+3.
הצלע מול הזווית השנייה היא 11 ס"מ. מהו x?

x = 4 (2x+3 = 11, 2x = 8)

x = 7

x = 8

x = 5.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 שתי זוויות שוות במשולש
🔹 צלע 1 (מול זווית 1) = 2x + 3
🔹 צלע 2 (מול זווית 2) = 11 ס"מ
🔹 מבקשים: x = ?

שלב 2: המשפט שלנו 📐

משפט 3:
מול זוויות שוות → צלעות שוות

לכן:
2x + 3 = 11

שלב 3: פתרון המשוואה 💭

2x + 3 = 11

2x = 11 - 3

2x = 8

x = 8 ÷ 2

x = 4

שלב 4: בדיקה ✍️

נציב x = 4 בביטוי:

2x + 3 = 2(4) + 3

= 8 + 3

= 11 ס"מ ✓

אכן שווה לצלע השנייה!

תשובה: x = 4

שאלה 12

2.00 נק'

❓ זיהוי משפט:
במשולש ABC, ∠A = 70° ו-∠B = 70°.
האם בהכרח AC = BC?

לא - אין קשר בין זוויות לצלעות

לא - רק אם המשולש ישר זווית

תלוי בגודל המשולש

כן - מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 ∠A = 70°
🔹 ∠B = 70°
🔹 שאלה: האם בהכרח AC = BC?

שלב 2: זיהוי צלעות מול זוויות 💭

זווית	הצלע מולה
∠A = 70°	BC
∠B = 70°	AC

שלב 3: שימוש במשפט 3 📐

משפט 3

מול זוויות שוות
מונחות צלעות שוות

∠A = ∠B = 70° (שוות!)

לכן:
BC = AC

זה חייב להיות נכון!

שלב 4: למה "בהכרח"? ⚠️

🔹 משפטים בגיאומטריה הם חוקים
🔹 אם התנאי מתקיים (זוויות שוות)
🔹 המסקנה חייבת להתקיים (צלעות שוות)
🔹 אין יוצא מן הכלל!
🔹 לכן: בהכרח AC = BC

תשובה: כן - בהכרח AC = BC

שאלה 13

2.00 נק'

📐 משפט 4:
במשולש שווה שוקיים, זוויות ה_____ שוות זו לזו.

בסיס

גובה

צלעות

ראש

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהו משולש שווה שוקיים? 🔍

משולש שווה שוקיים

משולש עם שתי צלעות שוות
הצלעות השוות נקראות: "שוקיים"
הצלע השלישית נקראת: "בסיס"

שלב 2: מינוח 💭

        A (ראש)
        /  שוק /  \ שוק
      /         /______    B        C
     (בסיס)

🔹 AB = AC = שוקיים
🔹 BC = בסיס
🔹 ∠B ו-∠C = זוויות הבסיס
🔹 ∠A = זווית הראש

שלב 3: המשפט 📐

משפט 4 ✨

במשולש שווה שוקיים,
זוויות הבסיס
שוות זו לזו

כלומר: ∠B = ∠C

שלב 4: הקשר למשפט 3 💡

שני המשפטים קשורים!

🔹 משפט 3: זוויות שוות → צלעות שוות
🔹 משפט 4: צלעות שוות → זוויות שוות

הם הפוכים זה לזה!

תשובה: בסיס

שאלה 14

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 4:
במשולש ABC שווה שוקיים (AB = AC), זווית B = 55°.
מהי זווית C?

125°

55° - זוויות הבסיס שוות במשולש שווה שוקיים

70°

110°

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 משולש ABC שווה שוקיים
🔹 AB = AC (השוקיים)
🔹 ∠B = 55°
🔹 מבקשים: ∠C = ?

שלב 2: זיהוי הבסיס 💭

🔹 AB = AC → אלה השוקיים
🔹 BC → זה הבסיס
🔹 ∠B ו-∠C → אלה זוויות הבסיס

שלב 3: שימוש במשפט 4 📐

משפט 4

במשולש שווה שוקיים,
זוויות הבסיס שוות

∠B ו-∠C הן זוויות הבסיס

∠B = ∠C

שלב 4: חישוב ✍️

∠B = 55° (נתון)

∠B = ∠C (משפט 4)

∠C = 55°

שלב 5: הבנה ויזואלית 📊

        A
        /  AB=? /  \ AC=?
      /         /______   B 55°  55° C
      (בסיס BC)

🔹 המשולש סימטרי
🔹 זוויות הבסיס תמיד שוות

תשובה: 55°

שאלה 15

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 4:
במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס הן 40° כל אחת.
מהי זווית הראש?

80°

40°

140°

100° (180° - 40° - 40° = 100°)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 משולש שווה שוקיים
🔹 זוויות הבסיס = 40° כל אחת
🔹 מבקשים: זווית הראש = ?

שלב 2: משפט נוסף שנצטרך 💭

נשתמש במשפט 12 (נלמד אותו מאוחר יותר):

סכום הזוויות במשולש = 180°

שלב 3: חישוב 📐

זווית B + זווית C + זווית A = 180°

40° + 40° + זווית A = 180°

80° + זווית A = 180°

זווית A = 180° - 80°

זווית A (הראש) = 100°

שלב 4: בדיקה ✍️

זווית	מידה
זווית B (בסיס)	40°
זווית C (בסיס)	40°
זווית A (ראש)	100°
סכום	180° ✓

שלב 5: הבנה ויזואלית 📊

      A (100°)
        /       /        /         /______   B 40° 40° C

🔹 זוויות הבסיס שוות (40°)
🔹 זווית הראש שונה (100°)

תשובה: 100°

שאלה 16

2.00 נק'

❓ זיהוי משפט:
במשולש ABC, אם AB = AC,
האם ∠B חייב להיות שווה ל-∠C?

כן - משפט 4: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

רק אם המשולש ישר זווית

תלוי בגודל הצלעות

לא - אין קשר

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 AB = AC (שתי צלעות שוות)
🔹 שאלה: האם בהכרח ∠B = ∠C?

שלב 2: זיהוי סוג המשולש 💭

AB = AC → שתי צלעות שוות

המשולש הוא שווה שוקיים!

AB ו-AC = השוקיים
BC = הבסיס

שלב 3: שימוש במשפט 4 📐

משפט 4

במשולש שווה שוקיים,
זוויות הבסיס שוות

∠B ו-∠C הן זוויות הבסיס

∠B = ∠C

זה חייב להיות נכון!

שלב 4: למה "חייב"? ⚠️

🔹 משפטים בגיאומטריה הם חוקים מוחלטים
🔹 אם AB = AC → המשולש שווה שוקיים
🔹 אם המשולש שווה שוקיים → זוויות הבסיס שוות
🔹 אין תנאים נוספים!
🔹 זה תמיד נכון!

תשובה: כן - חייב להיות ∠B = ∠C

שאלה 17

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 4:
במשולש שווה שוקיים, זווית אחת בבסיס היא 2x+10°.
הזווית השנייה בבסיס היא 50°. מהו x?

x = 40

x = 30

x = 25

x = 20 (2x+10 = 50, 2x = 40)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 משולש שווה שוקיים
🔹 זווית בסיס 1 = 2x + 10°
🔹 זווית בסיס 2 = 50°
🔹 מבקשים: x = ?

שלב 2: המשפט שלנו 📐

משפט 4:
זוויות הבסיס שוות

לכן:
2x + 10° = 50°

שלב 3: פתרון 💭

2x + 10° = 50°

2x = 50° - 10°

2x = 40°

x = 40° ÷ 2

x = 20°

שלב 4: בדיקה ✍️

נציב x = 20:

2x + 10° = 2(20) + 10°

= 40° + 10°

= 50° ✓

שווה לזווית הבסיס השנייה!

תשובה: x = 20

שאלה 18

2.00 נק'

📐 משפט 5:
סכום כל שתי צלעות במשולש _____ מהצלע השלישית.

שווה

גדול או שווה

גדול

קטן

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט 5 ✨

סכום כל שתי צלעות במשולש
גדול
מהצלע השלישית

שלב 2: למה? 💭

אינטואיציה:
🔹 הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות היא קו ישר
🔹 אם הולכים דרך נקודה שלישית, הדרך ארוכה יותר
🔹 לכן: שתי הצלעות ביחד > הצלע הישירה

שלב 3: דוגמה 📊

משולש עם צלעות: 5, 7, 9

בדיקה:
🔹 5 + 7 = 12 > 9 ✓
🔹 5 + 9 = 14 > 7 ✓
🔹 7 + 9 = 16 > 5 ✓

כל הבדיקות עוברות!

שלב 4: מה קורה אם לא? ⚠️

אם סכום שתי צלעות
לא גדול מהשלישית

אז אי אפשר לבנות משולש!

דוגמה: 2, 3, 10
2 + 3 = 5 < 10 ✗

לא יכול להיות משולש!

שלב 5: זיכרון 💡

כלל זיכרון:

"הקצר + הבינוני > הארוך"

שתי הצלעות הקטנות ביחד
חייבות להיות גדולות מהגדולה

תשובה: גדול

שאלה 19

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 5:
האם יכול להיות משולש עם צלעות: 3, 4, 8?

כן - כי כל הצלעות חיוביות

כן - כי 3+8 > 4

לא - כי 3+4=7 < 8

תלוי בזוויות

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 שלוש צלעות: 3, 4, 8
🔹 שאלה: האם יכול להיות משולש?

שלב 2: המשפט שלנו 📐

משפט 5:
סכום כל שתי צלעות במשולש
חייב להיות גדול מהצלע השלישית

שלב 3: בדיקת כל הזוגות 💭

זוג צלעות	סכום	הצלע השלישית	בדיקה
3 + 4	7	8	7 < 8 ✗
3 + 8	11	4	11 > 4 ✓
4 + 8	12	3	12 > 3 ✓

שלב 4: מסקנה ✍️

❌ לא יכול להיות משולש!

כי הבדיקה הראשונה נכשלה:

3 + 4 = 7 < 8

אחת הבדיקות נכשלה → אי אפשר לבנות משולש

שלב 5: הבנה ויזואלית 📊

🔹 נסה לדמיין: צלע אחת באורך 8
🔹 שתי הצלעות האחרות: 3 ו-4
🔹 3 + 4 = 7 → לא מגיעות לקצה השני של ה-8!
🔹 הצלעות קצרות מדי כדי להתחבר
🔹 לכן: לא יכול להיות משולש

תשובה: לא - כי 3+4 < 8

שאלה 20

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 5:
במשולש, שתי צלעות הן 5 ו-12.
מהו הטווח האפשרי לצלע השלישית?

7 < x < 17 (12-5 < x < 12+5)

x = 13

0 < x < 17

5 < x < 12

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 שתי צלעות: 5 ו-12
🔹 צלע שלישית: x (לא ידוע)
🔹 מבקשים: הטווח האפשרי ל-x

שלב 2: שימוש במשפט 5 📐

משפט 5: סכום כל שתי צלעות > השלישית

נצטרך לבדוק 3 תנאים:

שלב 3: תנאי 1 💭

5 + 12 > x

17 > x

x < 17

שלב 4: תנאי 2 ✍️

5 + x > 12

x > 12 - 5

x > 7

שלב 5: תנאי 3 🔍

12 + x > 5

x > 5 - 12

x > -7

תנאי זה תמיד מתקיים (x חיובי)

שלב 6: שילוב התנאים 📊

התנאים:

x < 17 (מתנאי 1)
וגם
x > 7 (מתנאי 2)

7 < x < 17

שלב 7: כלל כללי 💡

נוסחה מהירה:

אם יש צלעות a ו-b,
הצלע השלישית x חייבת להיות:

|a - b| < x < a + b

במקרה שלנו:
|12 - 5| < x < 12 + 5
7 < x < 17

תשובה: 7 < x < 17

שאלה 21

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 5:
איזה מהקבוצות הבאות יכולה להיות צלעות משולש?

1, 2, 10

2, 3, 5 - כי 2+3=5

4, 5, 15

5, 7, 10 - כל זוג סכומו גדול מהשלישית

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בדיקת האפשרות הראשונה 🔍

5, 7, 10
זוג	סכום	השלישית	תקין?
5 + 7	12	10	12 > 10 ✓
5 + 10	15	7	15 > 7 ✓
7 + 10	17	5	17 > 5 ✓
✅ כל הבדיקות עברו!

שלב 2: בדיקת 2, 3, 5 ❌

2, 3, 5

2 + 3 = 5

זה לא גדול מ-5, אלא שווה ל-5

❌ לא יכול להיות משולש!
(הצלעות יוצרות קו ישר)

שלב 3: בדיקת 1, 2, 10 ❌

1, 2, 10

1 + 2 = 3 < 10

❌ נכשל!

שלב 4: בדיקת 4, 5, 15 ❌

4, 5, 15

4 + 5 = 9 < 15

❌ נכשל!

שלב 5: סיכום 💡

רק 5, 7, 10
יכולות להיות צלעות משולש!

כל שאר האפשרויות נכשלות במשפט 5

תשובה: 5, 7, 10

שאלה 22

2.00 נק'

📐 משפט 6:
במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס _____.

מאונכים זה לזה

מתלכדים (הם אותו קטע!)

מקבילים זה לזה

שווים באורך

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט 6 ✨

במשולש שווה שוקיים,
3 קווים מיוחדים מתלכדים:
1️⃣ חוצה זווית הראש
2️⃣ תיכון לבסיס
3️⃣ גובה לבסיס

שלב 2: מה זה "מתלכדים"? 💭

מתלכדים =
אותו קו בדיוק!

שלושת הקווים הם אותו קטע,
לא שלושה קווים שונים

שלב 3: דוגמה ויזואלית 📊

        A (ראש)
        /|       / |   AB  /  |  \ AC
     /   |D      /____|____   B     ↑     C
      (בסיס)

הקו AD הוא בו-זמנית:
✅ חוצה זווית A (∠BAD = ∠CAD)
✅ תיכון לבסיס (BD = DC)
✅ גובה לבסיס (AD ⊥ BC)

שלב 4: למה זה קורה? 🤔

🔹 המשולש סימטרי ביחס לקו AD
🔹 הצלע השמאלית = הצלע הימנית
🔹 לכן: הקו מהראש לבסיס הוא ציר הסימטריה
🔹 ציר הסימטריה חוצה את הזווית
🔹 ציר הסימטריה חוצה את הבסיס
🔹 ציר הסימטריה מאונך לבסיס

שלב 5: זיכרון 💡

מילת זיכרון:

"בשווה שוקיים,
קו אחד עושה הכל!"

חוצה + תיכון + גובה = קו אחד

תשובה: מתלכדים

שאלה 23

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 6:
במשולש ABC שווה שוקיים (AB=AC), הורדנו קו מ-A לבסיס BC.
הקו חוצה את הזווית A. מה עוד נכון לגבי הקו?

אין מידע נוסף

רק גובה

הוא גם תיכון וגם גובה לבסיס

רק תיכון

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 משולש ABC שווה שוקיים (AB = AC)
🔹 קו מ-A לבסיס BC
🔹 הקו חוצה את ∠A
🔹 שאלה: מה עוד נכון?

שלב 2: המשפט שלנו 📐

משפט 6:
במשולש שווה שוקיים,
חוצה זווית הראש, תיכון לבסיס וגובה לבסיס
מתלכדים!

שלב 3: הסקת מסקנות 💭

אם הקו הוא חוצה זווית הראש,

אז לפי משפט 6:
🔹 הוא גם תיכון לבסיס
🔹 הוא גם גובה לבסיס

שלושתם אותו קו!

שלב 4: מה זה אומר? ✍️

תכונה	משמעות
חוצה זווית	∠BAD = ∠CAD
תיכון	BD = DC (חוצה את הבסיס)
גובה	AD ⊥ BC (מאונך לבסיס)

שלב 5: הבנה ויזואלית 📊

        A
        /|       / |       /  |       / D |       /____|____   B     ⊥     C
   |←─→|←─→|
   BD  =  DC

הקו AD:
✓ חוצה ∠A
✓ חוצה את BC ב-D (BD=DC)
✓ מאונך ל-BC

תשובה: הוא גם תיכון וגם גובה

שאלה 24

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 6:
במשולש ABC שווה שוקיים, הורדנו גובה מ-A לבסיס BC והוא פגש אותו ב-D.
אם BC = 16 ס"מ, מה אורך BD?

8 ס"מ - כי הגובה גם תיכון שחוצה את הבסיס

16 ס"מ

לא ניתן לדעת

4 ס"מ

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 משולש ABC שווה שוקיים
🔹 גובה מ-A לבסיס BC
🔹 הגובה פוגש את BC ב-D
🔹 BC = 16 ס"מ
🔹 מבקשים: BD = ?

שלב 2: שימוש במשפט 6 📐

משפט 6:
במשולש שווה שוקיים,
הגובה לבסיס מתלכד עם התיכון

כלומר:
הגובה = תיכון!

שלב 3: מה זה אומר? 💭

🔹 הגובה AD הוא גם תיכון
🔹 תיכון = קו שחוצה צלע לשני חלקים שווים
🔹 לכן: D הוא אמצע BC
🔹 כלומר: BD = DC

שלב 4: חישוב ✍️

BC = 16 ס"מ

D הוא אמצע BC

BD = BC ÷ 2

BD = 16 ÷ 2

BD = 8 ס"מ

שלב 5: הבנה ויזואלית 📊

        A
        /|       / |       /  |       /   |       /____|____   B  8  D  8  C
   |←───→|←───→|
      BD    DC
   
   BC = 16 ס"מ

הגובה חוצה את הבסיס לשני חלקים שווים!

תשובה: 8 ס"מ

שאלה 25

2.00 נק'

📐 משפט 7:
אם במשולש חוצה זווית הוא גובה, אז המשולש הוא _____.

שווה צלעות

ישר זווית

חד זווית

שווה שוקיים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט 7 ✨

אם במשולש
חוצה זווית = גובה

אז
המשולש הוא
שווה שוקיים

שלב 2: הקשר למשפט 6 💭

משפט 6 (למדנו קודם):
🔹 במשולש שווה שוקיים → חוצה = גובה

משפט 7 (ההיפך!):
🔹 חוצה = גובה → המשולש שווה שוקיים

זה היפוך של משפט 6!

שלב 3: למה זה נכון? 🤔

🔹 אם קו הוא חוצה זווית וגם גובה
🔹 אז יש סימטריה במשולש
🔹 החלק השמאלי = החלק הימני
🔹 לכן: הצלעות שוות
🔹 מסקנה: המשולש שווה שוקיים

שלב 4: דוגמה 📊

        A
        /|       / |       /  |       /   |D      /____|____   B     ⊥     C

אם AD חוצה ∠A (∠BAD = ∠CAD)
וגם AD ⊥ BC (גובה)

אז בהכרח: AB = AC
המשולש שווה שוקיים!

שלב 5: זיכרון 💡

כלל זיכרון:

"חוצה שהוא גובה =
שוקיים שווים!"

משפטים 7, 8, 9 כולם מובילים לאותה מסקנה:
המשולש שווה שוקיים

תשובה: שווה שוקיים

שאלה 26

2.00 נק'

📐 משפט 8:
אם במשולש חוצה זווית הוא _____, אז המשולש הוא שווה שוקיים.

צלע

תיכון

בסיס

אלכסון

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט 8 ✨

אם במשולש
חוצה זווית = תיכון

אז
המשולש הוא
שווה שוקיים

שלב 2: מה זה תיכון? 💭

תיכון =
קטע שמחבר קודקוד
לאמצע הצלע הנגדית

שלב 3: הקשר למשפטים 6 ו-7 📐

משפט	תוכן
משפט 6	שווה שוקיים → חוצה=תיכון=גובה
משפט 7	חוצה=גובה → שווה שוקיים
משפט 8	חוצה=תיכון → שווה שוקיים

שלב 4: דוגמה 📊

        A
        /|       / |       /  |       /   |D      /____|____   B          C

אם AD חוצה ∠A (∠BAD = ∠CAD)
וגם D הוא אמצע BC (BD = DC)

אז בהכרח: AB = AC
המשולש שווה שוקיים!

שלב 5: למה זה קורה? 🤔

🔹 אם חוצה הזווית גם חוצה את הצלע הנגדית
🔹 יש איזון מושלם בין שני צידי המשולש
🔹 החלק השמאלי = החלק הימני
🔹 לכן: הצלעות חייבות להיות שוות
🔹 מסקנה: המשולש שווה שוקיים

תשובה: תיכון

שאלה 27

2.00 נק'

📐 משפט 9:
אם במשולש גובה הוא _____, אז המשולש הוא שווה שוקיים.

אלכסון

תיכון

חוצה זווית

צלע

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט 9 ✨

אם במשולש
גובה = תיכון

אז
המשולש הוא
שווה שוקיים

שלב 2: סיכום שלושת המשפטים 📐

3 דרכים להוכיח שמשולש שווה שוקיים:

1️⃣ משפט 7: חוצה = גובה
2️⃣ משפט 8: חוצה = תיכון
3️⃣ משפט 9: גובה = תיכון

כל אחד מהם מספיק!

שלב 3: למה משפט 9 נכון? 💭

🔹 גובה = קו מאונך לצלע
🔹 תיכון = קו שחוצה צלע לשני חלקים שווים
🔹 אם הגובה גם חוצה את הצלע
🔹 יש סימטריה מושלמת
🔹 לכן: המשולש שווה שוקיים

שלב 4: דוגמה 📊

        A
        /|       / |       /  |       /   |D      /____|____   B  =  ⊥  =  C

אם AD ⊥ BC (גובה)
וגם BD = DC (תיכון)

אז בהכרח: AB = AC
המשולש שווה שוקיים!

שלב 5: טבלת סיכום 💡

משפט	תנאי	מסקנה
6	שווה שוקיים	→ חוצה=תיכון=גובה
7	חוצה=גובה	→ שווה שוקיים
8	חוצה=תיכון	→ שווה שוקיים
9	גובה=תיכון	→ שווה שוקיים

תשובה: תיכון

שאלה 28

2.00 נק'

🎯 יישום משפטים 7-9:
במשולש ABC, הורדנו קו מ-A לבסיס BC ב-D.
נתון: ∠BAD = ∠CAD ו-BD = DC.
מה אפשר להסיק?

אין מספיק מידע

המשולש שווה שוקיים (AB=AC) - משפט 8

המשולש שווה צלעות

המשולש ישר זווית

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 משולש ABC
🔹 קו AD מ-A לבסיס BC
🔹 ∠BAD = ∠CAD → AD חוצה את ∠A
🔹 BD = DC → D הוא אמצע BC
🔹 שאלה: מה אפשר להסיק?

שלב 2: זיהוי המצב 💭

AD הוא חוצה זווית (כי ∠BAD = ∠CAD)

וגם

AD הוא תיכון (כי BD = DC)

חוצה = תיכון!

שלב 3: איזה משפט? 📐

משפט 8

אם במשולש
חוצה זווית = תיכון

אז
המשולש שווה שוקיים

שלב 4: המסקנה ✍️

לפי משפט 8:

המשולש ABC הוא שווה שוקיים

כלומר:
AB = AC

שלב 5: בונוס - מה עוד נכון? 💡

אם המשולש שווה שוקיים,
אז לפי משפט 6:

🔹 AD גם גובה (AD ⊥ BC)
🔹 ∠B = ∠C (זוויות הבסיס שוות)

קיבלנו הרבה מידע ממשפט אחד!

תשובה: המשולש שווה שוקיים

שאלה 29

2.00 נק'

📐 משפט 10:
במשולש (שאינו שווה צלעות), מול הצלע הגדולה יותר מונחת זווית _____ יותר.

קטנה

שווה

גדולה

כפולה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט 10 ✨

במשולש (שאינו שווה צלעות),
מול הצלע הגדולה יותר
מונחת
זווית גדולה יותר

שלב 2: הגיון אינטואיטיבי 💭

🔹 צלע ארוכה צריכה "מקום" במשולש
🔹 כדי לתת לה מקום, הזווית מולה חייבת להיות גדולה
🔹 צלע קצרה → זווית קטנה
🔹 צלע ארוכה → זווית גדולה

שלב 3: דוגמה 📊

משולש עם צלעות: 3, 5, 7

🔹 הצלע הקצרה ביותר: 3
→ הזווית מולה היא הקטנה ביותר

🔹 הצלע הארוכה ביותר: 7
→ הזווית מולה היא הגדולה ביותר

שלב 4: הערה חשובה ⚠️

שימו לב!
🔹 המשפט תקף שאינו שווה צלעות
🔹 במשולש שווה צלעות: כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות (60°)
🔹 לכן אין "צלע גדולה יותר"

שלב 5: זיכרון 💡

כלל זיכרון:

"צלע גדולה → זווית גדולה"

הקשר הוא ישיר:
ככל שהצלע ארוכה יותר,
הזווית מולה גדולה יותר

תשובה: גדולה

שאלה 30

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 10:
במשולש ABC, צלעות: AB=5, AC=7, BC=9.
איזו זווית היא הגדולה ביותר?

∠A - מול הצלע הארוכה ביותר (BC=9)

כולן שוות

∠C

∠B

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 משולש ABC
🔹 AB = 5
🔹 AC = 7
🔹 BC = 9
🔹 שאלה: איזו זווית הכי גדולה?

שלב 2: זיהוי איזו זווית מול איזו צלע 💭

זווית	הצלע מולה	אורך
∠A	BC	9
∠B	AC	7
∠C	AB	5

שלב 3: שימוש במשפט 10 📐

משפט 10:
מול הצלע הגדולה יותר
מונחת זווית גדולה יותר

הצלע הארוכה ביותר: BC = 9

לכן הזווית הגדולה ביותר:
∠A

שלב 4: סדר הגודל ✍️

סדר צלעות	סדר זוויות
5 < 7 < 9 (AB < AC < BC)	∠C < ∠B < ∠A

שלב 5: הבנה ויזואלית 📊

        A (הזווית הגדולה!)
        /   AC=7/  \AB=5
      /         /______    B   BC=9  C
    (הצלע הארוכה)

🔹 BC הצלע הארוכה ביותר (9)
🔹 ∠A מולה - הזווית הגדולה ביותר!

תשובה: ∠A

שאלה 31

2.00 נק'

📐 משפט 11:
במשולש (שאינו שווה זוויות), מול הזווית הגדולה יותר מונחת _____ גדולה יותר.

גובה

תיכון

זווית

צלע

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט 11 ✨

במשולש (שאינו שווה זוויות),
מול הזווית הגדולה יותר
מונחת
צלע גדולה יותר

שלב 2: הקשר למשפט 10 💭

משפט 10 ו-11 הם הפוכים!

🔹 משפט 10: צלע גדולה → זווית גדולה
🔹 משפט 11: זווית גדולה → צלע גדולה

שני כיווני אותו קשר!

שלב 3: דוגמה 📊

משולש עם זוויות: 40°, 60°, 80°

🔹 הזווית הקטנה ביותר: 40°
→ הצלע מולה היא הקצרה ביותר

🔹 הזווית הגדולה ביותר: 80°
→ הצלע מולה היא הארוכה ביותר

שלב 4: הערה חשובה ⚠️

שימו לב!
🔹 המשפט תקף למשולש שאינו שווה זוויות
🔹 במשולש שווה צלעות: כל הזוויות שוות (60°) וכל הצלעות שוות
🔹 לכן אין "זווית גדולה יותר"

שלב 5: זיכרון 💡

כלל זיכרון:

"זווית גדולה → צלע גדולה"

הקשר הוא ישיר:
ככל שהזווית גדולה יותר,
הצלע מולה ארוכה יותר

תשובה: צלע

שאלה 32

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 11:
במשולש ABC, הזוויות: ∠A=50°, ∠B=60°, ∠C=70°.
איזו צלע היא הארוכה ביותר?

AB - מול הזווית הגדולה ביותר (∠C=70°)

כולן שוות

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 משולש ABC
🔹 ∠A = 50°
🔹 ∠B = 60°
🔹 ∠C = 70°
🔹 שאלה: איזו צלע הכי ארוכה?

שלב 2: זיהוי איזו צלע מול איזו זווית 💭

זווית	מידה	הצלע מולה
∠A	50°	BC
∠B	60°	AC
∠C	70°	AB

שלב 3: שימוש במשפט 11 📐

משפט 11:
מול הזווית הגדולה יותר
מונחת צלע גדולה יותר

הזווית הגדולה ביותר: ∠C = 70°

לכן הצלע הארוכה ביותר:
AB

שלב 4: סדר הגודל ✍️

סדר זוויות	סדר צלעות
50° < 60° < 70° (∠A < ∠B < ∠C)	BC < AC < AB

שלב 5: הבנה ויזואלית 📊

        A (50°)
        /      /     AB /      \ AC
(הצלע     (בינונית)
הארוכה)         /______    B (60°)  C (70°)
         BC
      (הקצרה)

🔹 ∠C הזווית הגדולה ביותר (70°)
🔹 AB מולה - הצלע הארוכה ביותר!

תשובה: AB

שאלה 33

2.00 נק'

📐 משפט 12:
סכום הזוויות של משולש הוא _____.

90°

270°

180°

360°

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט 12 ✨

סכום הזוויות במשולש
180°

תמיד!

שלב 2: למה דווקא 180°? 💭

הוכחה ויזואלית:
🔹 נחתוך את שלוש הזוויות של המשולש
🔹 נסדר אותן זו ליד זו
🔹 הן יוצרות קו ישר
🔹 קו ישר = 180°
🔹 לכן: סכום הזוויות = 180°

שלב 3: דוגמאות 📊

סוג משולש	זוויות	סכום
משולש ישר זווית	90° + 45° + 45°	180° ✓
משולש שווה צלעות	60° + 60° + 60°	180° ✓
משולש כלשהו	40° + 70° + 70°	180° ✓
משולש חד זווית	50° + 60° + 70°	180° ✓

שלב 4: כלל חשוב 💡

זה תמיד נכון!

✅ במשולש ישר זווית
✅ במשולש חד זווית
✅ במשולש קהה זווית
✅ במשולש שווה שוקיים
✅ במשולש שווה צלעות
✅ בכל משולש!

שלב 5: שימושים 🎯

משפט 12 שימושי מאוד!

🔹 אם יודעים שתי זוויות → יכולים למצוא את השלישית
🔹 דוגמה: אם ∠A=50° ו-∠B=60°
🔹 אז ∠C = 180° - 50° - 60° = 70°

תשובה: 180°

שאלה 34

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 12:
במשולש, שתי זוויות הן 45° ו-75°.
מהי הזווית השלישית?

60° (180° - 45° - 75° = 60°)

120°

30°

90°

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 זווית 1 = 45°
🔹 זווית 2 = 75°
🔹 זווית 3 = ?

שלב 2: המשפט שלנו 📐

משפט 12:
סכום זוויות המשולש = 180°

שלב 3: בניית משוואה 💭

זווית 1 + זווית 2 + זווית 3 = 180°

45° + 75° + זווית 3 = 180°

120° + זווית 3 = 180°

זווית 3 = 180° - 120°

זווית 3 = 60°

שלב 4: בדיקה ✍️

זווית 1	+	זווית 2	+	זווית 3	=	סכום
45°	+	75°	+	60°	=	180° ✓

תשובה: 60°

שאלה 35

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 12:
במשולש, הזוויות הן x, 2x, ו-3x.
מהו x?

x = 45°

x = 60°

x = 30° (x + 2x + 3x = 180°, 6x = 180°)

x = 90°

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 זווית 1 = x
🔹 זווית 2 = 2x
🔹 זווית 3 = 3x
🔹 מבקשים: x = ?

שלב 2: המשפט שלנו 📐

סכום זוויות המשולש = 180°

x + 2x + 3x = 180°

שלב 3: פתרון המשוואה 💭

x + 2x + 3x = 180°

6x = 180°

x = 180° ÷ 6

x = 30°

שלב 4: חישוב כל הזוויות ✍️

זווית	ביטוי	חישוב	תוצאה
זווית 1	x	30°	30°
זווית 2	2x	2 × 30°	60°
זווית 3	3x	3 × 30°	90°
סכום			180° ✓

שלב 5: הערה מעניינת 💡

שימו לב!

הזוויות הן: 30°, 60°, 90°

זה משולש ישר זווית מיוחד!
(משולש 30-60-90)

תשובה: x = 30°

שאלה 36

2.00 נק'

📐 משפט 13:
זווית חיצונית למשולש שווה לסכום _____ הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.

שלוש

כל

אחת מ

שתי

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהי זווית חיצונית? 🔍

זווית חיצונית

זווית שנוצרת כאשר
מאריכים צלע של המשולש
והיא נמצאת מחוץ למשולש

שלב 2: דוגמה ויזואלית 📊

        A
        /       /        / α       /______\_____ ← הארכה
    B   β   C  γ  D
         ∠BCD (פנימית)
         ∠γ (חיצונית)

🔹 ∠BCD = זווית פנימית
🔹 ∠γ (∠ACD) = זווית חיצונית
🔹 הן צמודות (משלימות ל-180°)

שלב 3: המשפט 📐

משפט 13 ✨

זווית חיצונית למשולש
שווה
לסכום שתי הזוויות הפנימיות
שאינן צמודות לה

∠γ = ∠α + ∠β

שלב 4: למה "שתי" ולא "שלוש"? 💭

🔹 במשולש יש 3 זוויות פנימיות
🔹 הזווית החיצונית צמודה לאחת מהן
🔹 לכן נשארות רק 2 זוויות שאינן צמודות
🔹 הזווית החיצונית = סכום שתי אלה

שלב 5: דוגמה מספרית ✍️

במשולש ABC:
∠A = 50°, ∠B = 60°, ∠C = 70°

הזווית החיצונית ב-C:
∠γ = ∠A + ∠B
∠γ = 50° + 60°
∠γ = 110°

בדיקה: ∠C + ∠γ = 70° + 110° = 180° ✓

תשובה: שתי

שאלה 37

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 13:
במשולש ABC, ∠A=40° ו-∠B=70°.
מהי הזווית החיצונית ב-C?

180°

110° (40° + 70° = 110°)

70°

140°

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 ∠A = 40°
🔹 ∠B = 70°
🔹 מבקשים: הזווית החיצונית ב-C

שלב 2: המשפט שלנו 📐

משפט 13:
זווית חיצונית = סכום שתי הזוויות
הפנימיות שאינן צמודות לה

שלב 3: איזה זוויות לא צמודות לזווית החיצונית ב-C? 💭

🔹 הזווית החיצונית ב-C צמודה ל-∠C הפנימית
🔹 הזוויות שאינן צמודות הן: ∠A ו-∠B
🔹 לכן: זווית חיצונית = ∠A + ∠B

שלב 4: חישוב ✍️

זווית חיצונית ב-C = ∠A + ∠B

= 40° + 70°

= 110°

שלב 5: בדיקה עם משפט 12 🔍

בדיקה נוספת:

1️⃣ נמצא את ∠C הפנימית:
∠C = 180° - 40° - 70° = 70°

2️⃣ הזווית החיצונית צמודה ל-∠C:
זווית חיצונית = 180° - 70° = 110° ✓

קיבלנו אותה תשובה!

תשובה: 110°

שאלה 38

2.00 נק'

🎯 יישום משפט 13:
במשולש, שתי זוויות פנימיות הן x ו-2x.
הזווית החיצונית השלישית היא 120°.
מהו x?

x = 60°

x = 30°

x = 20°

x = 40° (x + 2x = 120°, 3x = 120°)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 זווית פנימית 1 = x
🔹 זווית פנימית 2 = 2x
🔹 הזווית החיצונית השלישית = 120°
🔹 מבקשים: x = ?

שלב 2: המשפט שלנו 📐

משפט 13:
זווית חיצונית = סכום שתי הזוויות הפנימיות
שאינן צמודות לה

x + 2x = 120°

שלב 3: פתרון המשוואה 💭

x + 2x = 120°

3x = 120°

x = 120° ÷ 3

x = 40°

שלב 4: חישוב כל הזוויות ✍️

זווית	ביטוי	תוצאה
זווית פנימית 1	x	40°
זווית פנימית 2	2x	80°
זווית פנימית 3	180° - 3x	60°
זווית חיצונית	x + 2x	120° ✓

שלב 5: בדיקה 🔍

בדיקה 1: סכום זוויות פנימיות
40° + 80° + 60° = 180° ✓

בדיקה 2: זווית חיצונית
40° + 80° = 120° ✓

תשובה: x = 40°

שאלה 39

2.00 נק'

❓ השוואה:
האם זווית חיצונית למשולש תמיד גדולה
מכל אחת מהזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה?

לא - היא יכולה להיות קטנה יותר

כן - כי היא שווה לסכומן

תלוי בסוג המשולש

רק במשולש חד זווית

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט שלנו 🔍

משפט 13:
זווית חיצונית = ∠A + ∠B
(שתי הזוויות שאינן צמודות)

שלב 2: הגיון מתמטי 💭

אם זווית חיצונית = ∠A + ∠B

אז:
🔹 זווית חיצונית > ∠A (כי יש עוד ∠B)
🔹 זווית חיצונית > ∠B (כי יש עוד ∠A)

תמיד גדולה יותר!

שלב 3: דוגמה 📊

משולש עם זוויות: 50°, 60°, 70°

הזווית החיצונית ב-70°:
= 50° + 60° = 110°

בדיקה:
110° > 50° ✓
110° > 60° ✓

(אבל 110° < 180° - 70° = הזווית הצמודה)

שלב 4: הוכחה כללית ✍️

הוכחה:

נסמן: זווית חיצונית = ∠ext
∠ext = ∠A + ∠B

כיוון ש-∠A > 0° ו-∠B > 0° (זוויות חיוביות),

אז:
∠ext = ∠A + ∠B > ∠A ✓
∠ext = ∠A + ∠B > ∠B ✓

תמיד נכון!

שלב 5: כלל חשוב 💡

מסקנה:

זווית חיצונית למשולש
תמיד גדולה
מכל אחת מהזוויות הפנימיות
שאינן צמודות לה

(זה נובע מישירות ממשפט 13)

תשובה: כן - כי היא שווה לסכומן

שאלה 40

2.00 נק'

🎯 שילוב משפטים 12 ו-13:
במשולש, זווית פנימית אחת היא 50°.
הזווית החיצונית הצמודה לה היא ___?

230°

100°

130° (180° - 50° = 130°)

50°

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

🔹 זווית פנימית = 50°
🔹 מבקשים: הזווית החיצונית הצמודה לה

שלב 2: מהן זוויות צמודות? 💭

זוויות צמודות = זוויות על אותו קו ישר

משפט 1: זוויות צמודות משלימות ל-180°

שלב 3: חישוב ✍️

זווית פנימית + זווית חיצונית = 180°

50° + זווית חיצונית = 180°

זווית חיצונית = 180° - 50°

זווית חיצונית = 130°

שלב 4: דרך חלופית - משפט 13 📐

אפשר גם דרך משפט 13:

אם הזוויות האחרות הן α ו-β,
אז: α + β + 50° = 180° (משפט 12)
לכן: α + β = 130°

הזווית החיצונית ב-50°:
= α + β = 130° (משפט 13) ✓

קיבלנו אותה תשובה!

שלב 5: הבנה ויזואלית 📊

        A
        /       /        /         /______\_____ ← הארכה
    B  50°  C 130° D
    
    ∠BCA = 50° (פנימית)
    ∠ACD = 130° (חיצונית צמודה)

הזוויות על קו ישר = 180°

תשובה: 130°

שאלה 41

2.00 נק'

🎯 חזרה - משפטים 1 ו-2:
שני קווים נחתכים. אחת הזוויות היא 55°.
כמה זוויות של 55° יש בסך הכל?

3 זוויות

4 זוויות

2 זוויות - זוויות קדקודיות שוות

1 זווית

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שימוש במשפט 2 🔍

משפט 2:
זוויות קדקודיות שוות

אם יש זווית של 55°
אז הזווית הקדקודית לה גם 55°

סה"כ: 2 זוויות של 55°

שלב 2: מה עם הזוויות האחרות? 💭

משפט 1: זוויות צמודות משלימות ל-180°

הזווית הצמודה ל-55°:
= 180° - 55° = 125°

לפי משפט 2, יש עוד זווית של 125° (קדקודית)

סה"כ: 2 זוויות של 55° ו-2 זוויות של 125°

תשובה: 2 זוויות של 55°

שאלה 42

2.00 נק'

🎯 חזרה - משפטים 3 ו-4:
במשולש, שתי צלעות שוות ושתי זוויות שוות.
איזה סוג משולש זה?

אין מספיק מידע

שווה צלעות

ישר זווית

שווה שוקיים - תמיד!

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח המידע 🔍

נתון:
🔹 שתי צלעות שוות
🔹 שתי זוויות שוות

שלב 2: שימוש במשפטים 📐

משפט 3: מול זוויות שוות → צלעות שוות
משפט 4: במשולש שווה שוקיים → זוויות הבסיס שוות

שתי צלעות שוות = שווה שוקיים
שתי זוויות שוות = שווה שוקיים

המשולש שווה שוקיים!

שלב 3: האם יכול להיות שווה צלעות? 🤔

🔹 משולש שווה צלעות = שלוש צלעות שוות
🔹 משולש שווה צלעות = שלוש זוויות שוות (60°)
🔹 אבל נתון: רק שתי צלעות ו-שתי זוויות
🔹 לכן: לא שווה צלעות, רק שווה שוקיים

תשובה: שווה שוקיים

שאלה 43

2.00 נק'

🎯 חזרה - משפטים 5 ו-10:
במשולש עם צלעות 4, 5, 8,
איזו זווית היא הגדולה ביותר?

הזווית מול הצלע 4

הזווית מול הצלע 8 - מול הצלע הארוכה

הזווית מול הצלע 5

כל הזוויות שוות

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בדיקה - האם זה משולש? 🔍

משפט 5: סכום שתי צלעות > השלישית

4 + 5 = 9 > 8 ✓
4 + 8 = 12 > 5 ✓
5 + 8 = 13 > 4 ✓

זה משולש תקין!

שלב 2: שימוש במשפט 10 📐

משפט 10:
מול הצלע הגדולה יותר
מונחת זווית גדולה יותר

הצלע הארוכה ביותר: 8

לכן: הזווית מול 8 היא הגדולה!

תשובה: הזווית מול הצלע 8

שאלה 44

2.00 נק'

🎯 חזרה - משפטים 6-9:
במשולש, חוצה זווית הוא גם גובה.
מה אפשר להסיק?

המשולש שווה צלעות

אין מספיק מידע

המשולש ישר זווית

המשולש שווה שוקיים - משפט 7

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המידע שלנו 🔍

נתון:
חוצה זווית = גובה

זה בדיוק משפט 7!

שלב 2: שימוש במשפט 7 📐

משפט 7

אם במשולש
חוצה זווית = גובה

אז
המשולש שווה שוקיים

תשובה: המשולש שווה שוקיים

שאלה 45

2.00 נק'

🎯 חזרה - משפטים 12 ו-13:
במשולש, שתי זוויות פנימיות הן 60° ו-80°.
מהי הזווית החיצונית השלישית?

140° (60° + 80° = 140°)

220°

100°

40°

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שימוש במשפט 13 📐

משפט 13:
זווית חיצונית = סכום שתי הזוויות
הפנימיות שאינן צמודות לה

= 60° + 80°

= 140°

תשובה: 140°

שאלה 46

2.00 נק'

📚 סיכום כללי:
כמה משפטים למדנו על משולשים וזוויות?

10 משפטים

20 משפטים

15 משפטים

13 משפטים

הסבר:

💡 סיכום 13 המשפטים:

מס׳	המשפט
1	זוויות צמודות משלימות ל-180°
2	זוויות קדקודיות שוות
3	מול זוויות שוות → צלעות שוות
4	במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות
5	סכום שתי צלעות > השלישית
6	בשווה שוקיים: חוצה=תיכון=גובה
7	חוצה=גובה → שווה שוקיים
8	חוצה=תיכון → שווה שוקיים
9	גובה=תיכון → שווה שוקיים
10	צלע גדולה → זווית גדולה
11	זווית גדולה → צלע גדולה
12	סכום זוויות משולש = 180°
13	זווית חיצונית = סכום שתי הפנימיות

תשובה: 13 משפטים

שאלה 47

2.00 נק'

🏆 אתגר:
במשולש שווה שוקיים, זווית הבסיס היא 40°.
מהי הזווית החיצונית בראש?

40°

80° (שתי זוויות הבסיס: 40°+40°)

140°

100°

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שימוש במשפט 4 🔍

במשולש שווה שוקיים:
שתי זוויות הבסיס שוות

אם אחת = 40°
אז השנייה גם = 40°

שלב 2: שימוש במשפט 13 📐

זווית חיצונית בראש
= סכום שתי זוויות הבסיס

= 40° + 40°

= 80°

תשובה: 80°

שאלה 48

2.00 נק'

🏆 אתגר:
האם יכול להיות משולש עם זוויות חיצוניות: 120°, 130°, 140°?

תלוי בגודל הצלעות

כן - זה אפשרי

לא - סכום הזוויות הפנימיות צריך להיות 180°

רק במשולש ישר זווית

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת הזוויות הפנימיות 🔍

זווית חיצונית + זווית פנימית צמודה = 180°

זווית פנימית 1 = 180° - 120° = 60°
זווית פנימית 2 = 180° - 130° = 50°
זווית פנימית 3 = 180° - 140° = 40°

שלב 2: בדיקה 📐

סכום זוויות פנימיות:
60° + 50° + 40° = 150°

אבל צריך להיות 180° (משפט 12)!

❌ לא אפשרי!

תשובה: לא - סכום שגוי

שאלה 49

2.00 נק'

🏆 אתגר:
במשולש, הצלעות הן 3, 4, 5.
איזה סוג משולש זה?

ישר זווית (3² + 4² = 5², פיתגורס)

שווה שוקיים

קהה זווית

חד זווית

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בדיקת משפט פיתגורס 🔍

משפט פיתגורס:
במשולש ישר זווית: a² + b² = c²

3² + 4² = 9 + 16 = 25
5² = 25

3² + 4² = 5² ✓

זה משולש ישר זווית!

תשובה: ישר זווית

שאלה 50

2.00 נק'

🎉 שאלת סיכום אחרונה:
איזה משפט הכי חשוב לזכור?

רק משפט 12 - סכום זוויות

אף אחד - לא צריך לזכור

כולם! - כל 13 המשפטים חשובים

רק משפט 1 - זוויות צמודות

הסבר:

🎉 כל הכבוד! סיימת את המבחן!

✨ מזל טוב! ✨

למדת 13 משפטים גיאומטריים
שיעזרו לך בכל בעיה במשולשים!

זכור:
כל משפט הוא כלי בארגז הכלים שלך
לפתרון בעיות בגיאומטריה

כולם חשובים!

תשובה: כולם! 🎯

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 50 הושלמו