משוואות טריגונומטריות

משוואה טריגונומטרית היא משוואה שבה מופיעות פונקציות טריגונומטריות המכילות נעלם.

למשל, המשוואות: \(sin⁡x=4 cos⁡x     ,  8 cos⁡3x=2  ,    sin⁡x=\frac{1}{2}\).

המטרה היא למצוא את הערכים של x המקיימים את המשוואה.

למשוואה טריגונומטרית בד"כ יש אינסוף פתרונות.

\(sin⁡(180°-α)=sin⁡α \)

\(sin⁡(α+360°)=sin⁡α \)

פתרונות יסודיים של משוואות מהצורה  sin (ax+b)=m

כדי למצוא את הפתרונות של משוואה מהצורה sinx=a ניעזר בשתי הזהויות:מהזהות הראשונה נקבל שאם זווית α היא פתרון של המשוואה sinx=a אז גם הזוית 180°-α היא פתרון נוסף של המשוואה

מהזהות השנייה נקבל שאם זווית α היא פתרון של המשוואה sinx=a אז גם זויות המתקבלות ע"י הוספת/חיסור כפולות שלמות של 360° מהזוית α הן פתרונות של המשוואה.

נרשום את כל הפתרונות בעזרת האות k, המייצגת מספר שלם.

אם α הוא פתרון של המשוואה אז פתרון כללי הוא:

α+360°k

\(k=…,-3,-2,-1, 0 , 1 , 2 , 3,…\)

תרגילים (1)

מצא את הפתרון הכללי של המשוואה: \(sin⁡𝑥=\frac{1}{2}\)

ואת כל הפתרונות בתחום: \(−360°≤𝑥≤360° \)

השלבים בפתרון המשוואה  sin (ax+b)=m

(1) בודקים תחום הגדרה: sin⁡x=a       -1≤a≤1

(2) מוצאים בעזרת מחשבון את הפתרון היסודי α שמקיים: sin⁡α=a

(3) מוצאים פתרון יסודי נוסף: 180°-α

(4) מוסיפים 360°k לכל אחד מהפתרונות היסודיים ומקבלים את הפתרונות הכלליים:

\(𝑥_1=𝛼+360°𝑘 \)

\(𝑥_2=(180°−𝛼)+360°𝑘 \)

(5) כדי למצוא פתרונות כלליים בתחום, נציב מספר ערכים שלמים במקום k לפי התחום הנתון בשאלה. \(k=…,-3,-2,-1, 0 , 1 , 2 , 3,…\)

תרגיל (2)

מצא את הפתרון הכללי של המשוואה: \(sin⁡𝑥=\frac{√2}{2} \)

ואת כל הפתרונות בתחום: \(−360°≤𝑥≤360° \)

תרגיל (3)

מצא את הפתרון הכללי של המשוואה: \(sin⁡𝑥=-\frac{√3}{2} \)

תרגיל (4)

מצא את הפתרון הכללי של המשוואה: \(sin\frac{𝑥}{3}=-\frac{√2}{2} \)

תרגיל (5)

מצא את הפתרון הכללי של המשוואה: \(sin(70°-4x)=-1 \)