572 בגרות קיץ מועד א 2022 שאלה 3

נתונה המשוואה \(z^2+ z\overline{z} =z +2\overline{z} +9+7i\),  z הוא מספר מרוכב.

z1 הוא אחד הפתרונות של המשוואה, והוא מייצג נקודה הנמצאת במישור גאוס ברביע הראשון, על מעגל שמרכזו בראשית הצירים.

א. ִמצאו את משוואת המעגל.

חוסמים ַּבמעגל ריבוע שאחד מקודקודיו מיוצג על ידי המספר z1 .

ב. ַחשבו את שטח הריבוע.

ג. ִמצאו את השיעורים של שאר קודקודי הריבוע.

מכפילים ב־r1(cos(a)+isin(a)   כל אחד מן המספרים המייצגים את שני קודקודי הריבוע שנמצאים ברביעים הראשון והשלישי, ומכפילים ב־r2(cos(a+30 )+isin(a+30 ) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני קודקודי הריבוע שנמצאים ברביעים השני והרביעי.

הנקודות במישור גאוס המייצגות את התוצאות שהתקבלו לאחר ההכפלה יוצרות מרובע קמור חדש במישור גאוס.

נתון: r1 ו־ r2 חיוביים, \(r_1\neq r_2\) .

ד. מהו סוג המרובע שהתקבל? ַנמקו את התשובה.

נתון כי שטח המרובע שהתקבל גדול פי \(\sqrt3\) משטח הריבוע שחישבתם בסעיף ב.

ה. ַחשבו את \(r_1 \cdot r_2\)