572 בגרות קיץ מועד א 2022 שאלה 1

נתונים שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ.

מרכזו של המעגל האחד הוא בנקודה M ומשוואתו היא a , \((x-a)^2+y^2=r^2\) הוא פרמטר חיובי.
מרכזו של המעגל האחר הוא בנקודה N ומשוואתו היא \((x-13)^2+y^2=R^2\) .
אורכו של הקטע המחבר את מרכזי המעגלים הוא 9 , והיחס בין אורכי הרדיוסים של המעגלים הוא 1:2 , r < R .
א. ִמצאו את משוואת המעגל שמרכזו N ואת שתי האפשרויות למשוואת המעגל שמרכזו M .

נתוןכי a<13.

ב. סרטטו במערכת צירים אחת סקיצה של שני המעגלים ושל כל המשיקים המשותפים לשני המעגלים.

ג. ִמצאו את משוואת המשיק העובר בנקודה המשותפת לשני המעגלים.

ד. הישר 0 = mx - y + n הוא משיק משותף לשני המעגלים. ִמצאו את m ואת n (שתי אפשרויות).

נתונים שני מעגלים אחרים המשיקים זה לזה מבחוץ.

משוואות המעגלים הן: \((x-k)^2+y^2=R^2 ; (x-t)^2+y^2=r^2\) ,  t  ו־k הם פרמטרים.

ערכי הרדיוסים r ו־ R זהים לאלה שמצאתם בסעיף א.

ה. האם ייתכן כי שני הישרים שאת משוואותיהם מצאתם בסעיף ד משיקים גם למעגלים האלה?

אם כן – ִמצאו את t ואת k. אם לא– ַנמקו.