שיעור 8 - הצגה טריגונומטרית ומעבר לאלגברית ולהפך

לצפיה נצפה לצפיה חוזרת

תוכן השיעור

הצגה טריגונומטרית (קוטבית) של מספר מרוכב

 

לכל נקודה, מתאים קטע המחבר את ראשית הצירים עם הנקודה.

מספר מרוכב z=x+yi ניתן להציג גם באמצעות המרחק שלו מהראשית והזווית שהוא יוצר עם ציר ה-x (המרחק נסמן ב-r).

הצגה זו נקראת הצגה קוטבית (פולרית).

על ידי שימוש בטריגונומטריה, ובסימון r=|z|=√(x^2+y^2 ) המודול של z.

הזווית θ נקראת הארגומנט של המספר המרוכב ומסומנת θ=arg⁡(z)

 

הצגה טריגונומטרית (קוטבית) של מספר מרוכב

 

במשולש ישר זווית AOB מתקיים:

(1) cos⁡θ=x/r    ומכאן x=r∙cos⁡θ

(2) sin⁡θ=y/r    ומכאן y=r∙sin⁡θ

נביע את המספר המרוכב באמצעות r ו- θ

 

z=r(cos⁡θ+i∙sin⁡θ )=Rcisθ

 

מעבר מהצגה טריגונומטרית להצגה אלגברית

 

כאשר נתון מספר מרוכב בצורה טריגונומטרית z=r(cosθ+isinθ), ורוצים להעבירו להצגה אלגברית z=x+yi צריך למצוא את x ואת y.

אפשר לעשות זאת באחת משתי הדרכים הבאות:

דרך א' – נחשב את cos⁡θ ואת sin⁡θ בעזרת מחשבון ונבצע פתיחת סוגריים.

דרך ב' – נחשב את x ואת y לפי הנוסחאות x=r cos⁡θ ו-  y=r sin⁡θ ונציג את המספר בצורה  z=x+yi.

דרך ג' – חישוב פשוט במחשבון r=Pol (a,b) , θ=RCL tan

 

תרגיל 

מצא את ההצגה האלגברית של המספר המרוכב z=6cis 120°

 

מעבר מהצגה אלגברית להצגה טריגונומטרית

 

כאשר נתון מספר מרוכב בהצגה אלגברית z=x+yi

ורוצים להעבירו להצגה טריגונומטרית z=r(cosθ+isinθ)=R cis θ, צריך לחשב את r ואת θ. נעשה זאת באופן הבא:

(1) נחשב את r כפי שחישבנו את הערך המוחלט: r=√(x^2+y^2 )

(2) נחשב את הזווית θ על פי הנוסחה: tan⁡θ=y/x

 

זכרו: המחזור של פונקציית הטנגנס הוא 180°, לכן בתחום 0°≤θ≤360° נקבל שני פתרונות לזווית θ.

בהתאם לרביע שבו נמצא המספר z נבחר את הזווית המתאימה

 

תרגיל 2 

מצא את ההצגה הקוטבית של מספר המרוכב  z=-2+2i

 

תרגיל 3

מצא את ההצגה הקוטבית של מספר המרוכב z=1-√3 i

 

שאלות ותשובות

יש לך שאלה?
נשמח לענות! נפרסם את שאלתך והתשובה כדי לסייע לאחרים
לרשום שאלה

סרטונים נוספים

00:14:30