שיעור 10 - משפט דה מואבר ושורשי היחידה

לצפיה נצפה לצפיה חוזרת

תוכן השיעור

משפט דה - מואבר

 

 

מנוסחת הכפל, ניתן לקבל את הטענה הבאה:

(cos⁡θ+i sin⁡θ )^n=cos⁡nθ+i sin⁡nθ

n שלם.

ממשפט דה-מואבר, נקבל את השוויון:

z^n=[r(cos⁡θ+i sin⁡θ )]^n=r^n (cos⁡nθ+i sin⁡nθ )

 

פתרון משוואות בהצגה קוטבית

 

נפתור משוואה מהסוג z^n=w כאשר w מספר מרוכב.

נרשום את w בהצגה קוטבית w=r(cos⁡α+i sin⁡α )

 

סיכום שורשים מסדר n וסכום סדרה הנדסית

 

פתרונות המשוואה z^n=R(cosθ+isinθ) הם:

z_k=√(n&r)(cos⁡((α+2πk)/n)+i sin⁡((α+2πk)/n) )

k=0,1,2,…,n-1

איפה נמצאים פתרונות אלו במישור גאוס?

נמצאים על מעגל שרדיוסו √(n&r) והם הקדקודים של מצולע משוכלל בעל n צלעות.

פתרונות המשוואה מהווים סדרה הנדסית שאיברה הראשון:

z_k=√(n&r)(cos⁡〖α/n〗+i sin⁡〖α/n〗 )

ומנת הסדרה: q=cos⁡〖2π/n〗+i sin⁡〖2π/n〗

סכום פתרונות המשוואה תמיד שווה ל-0.

 

שורשי היחידה

 

מקרה פרטי של משוואות מהסוג שראינו הוא משוואה מהצורה z^n=1.

כלומר, נרצה למצוא את השורשים מסדר n של המספר 1.

פתרונות משוואה זו נקראים שורשי היחידה.

דוגמא: נפתור את המשוואה z^3=1

 

שאלות ותשובות

יש לך שאלה?
נשמח לענות! נפרסם את שאלתך והתשובה כדי לסייע לאחרים
לרשום שאלה

סרטונים נוספים

00:11:50