אליפסה שיעור 1

הגדרת האליפסה:

המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות שווה לקטע קבוע.

2 נקודות קבועות F1 ו- F2 נקראות מוקדי האליפסה

ניקח חוט שלא מתארך יותר ונחבר את 2 הנקודות לקצות החוט.

נשמור על העיפרון מתוח ונזיז את העיפרון בקשת גדולה – העפרון יצייר את האליפסה הרצויה.

 נמתח את החוט ונצייר את כל הנקודות שסכום מרחקיהם משתי הנקודות קובעות .

אליפסה היא אוסף כל הנקודות במישור אשר סכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות הוא גודל קבוע. 

אליפסה קנונית. נשים את מוקדי האליפסה במרחק שווה מראשית הצירים על ציר ה-X.

הגדרת האליפסה: המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות שווה לקטע קבוע.

נסמן: F_1 (c,0)  ו- F_2 (-c,0) הן הנקודות הקבועות הנקראות מוקדי האליפסה.

P(x_1,y_1) נקודה כלשהי על האליפסה.

כל אחד משני המרחקים של נקודה על האליפסה מהמוקדים F F נקרא רדיוס וקטור.

המרחק מ-F1P נקרא r1 והמחק PF2 נקרא r2.

אורך הקטע הקבוע (השווה לסכום מרחקי נקודה על האלפסה מהמוקדים) מסומן ב- 2a.

ולכן אזי מתקיים: PF_1+PF_2=2a

על פי מה שהסתברנו עד כה שי פרמטרים מאפייניםאת האליפסה והם A ו0- C ושניהם חיוביים.

האליפסה חותכת את ציר x בנקודות (–a, 0), (a, 0)
ואת ציר y בנקודות (0, –b), (0, b).

לאליפסה שיש שני צירי סימטריה – ציר x וציר y.

הקטע שבין נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר x

נקרא הציר הראשי של האליפסה ואורכו 2a.

הקטע שבין נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר y

נקרא הציר המשני של האליפסה ואורכו 2b.

ראשית הצירים היא מרכז האליפסה

גרף האליפסה סימטרי ביחס לשני הצירים

מיתר באליפסה הנו קטע המחבר שתי נקודות שעל האליפסה

קוטר באליפסה הנו מיתר העובר דרך אראשית הצירים

תנאי לקיום אליפסה

כל נקודה P שעל האליפסה יוצרת יחד עם המוקדים משולש PF_1 F_2.

נסתמך על המשפט:

סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית.

לכן חייב להתקיים: 2c<r1+r2

2c<2a

c<a

התנאי לקיום האליפסה:

c<a

המשוואה האלגברית
של האליפסה

הגדרת האליפסה: המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות שווה לקטע קבוע.  x^2/a^2 +y^2/b^2 =1

עפ"י הגדרת האליפסה אם נקודה P על האליפסה אז מתקיים:

r1+r2=2a

רדיוס וקטור

r1=a-cx/a

r2=a+cx/a

כדאי לזכור את הנוסחאות שקיבלנו עבור רדיוסי וקטורים

ניתן להעזר בהן להוכחת בעיו תהקשורות לאליפסה

משוואת המשיק לאליפסה
בנקודה שעליה

משוואת המשיק לאליפסה x^2/a^2 +y^2/b^2 =1 בנקודה (x_1,y_1) שעליה היא:

(xx_1)/a^2 +(yy_1)/b^2 =1

משוואת המשיק בצורה מפורשת היא:

y=-(b^2 x_1)/(a^2 y_1 ) x+b^2/y_1

כלומר:

m=-(b^2 x_1)/(a^2 y_1 )

n=b^2/y_1

ניתן לרשום את משוואת המשיק גם בצורה: b^2 xx_1+a^2 yy_1=a^2 b^2

משוואת הנורמל לאליפסה
בנקודה שעליה

ראינו ששיפוע המשיק לאליפסה x^2/a^2 +y^2/b^2 =1 בנקודה (x_1,y_1) שעל האליפסה הוא:

m=-(b^2 x_1)/(a^2 y_1 )

הנורמל הוא ישר המאונך למשיק בנקודת ההשקה.

לכן שיפוע הנורמל הוא:

-1/m=(a^2 y_1)/(b^2 x_1 )

מכאן שמשוואת הנורמל היא:

(a^2 x)/x_1 -(b^2 y)/y_1 =c^2

הידעת שצורת המסלול של  כדור הארץ סביב השמש היא אליפסה, והשמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה.

ממצא זה התגלה על ידי האסטרונום יוהנס קפלר (1571 – 1630).

קפלר גילה שכל כוכבי הלכת נעים סביב השמש במסלול אליפטי.

את ממצאיו ניסח קפלר באמצעות שלושה חוקים:

החוק הראשון של קפלר: 

על פי חוק זה צורת המסלול של כל כוכב לכת סביב השמש הוא אליפסה כשהשמש נמצאת באחד מהמוקדים של אותה אליפסה.

החוק השני של קפלר אומר שהקו שמחבר בין כוכב הלכת עם השמש מכסה שטחים שווים במרווחי זמן שווים.

על פי החוק השני של קפלר אם כוכב הלכת קרוב לשמש, במסלולו סביבה, אז הוא ינוע מהר יותר ביחס למהירותו כאשר הוא רחוק מהשמש.

חוק זה נקרא גם "חוק השטחים השווים": הקו שמחבר את כוכב הלכת עם השמש מכסה שטחים שווים במרווחי זמן שווים.

החוק השלישי של קפלר קובע שיחס ריבועי זמני ההקפה של שני כוכבי לכת מסביב לשמש פרופורציונאלי ליחס המרחקים שלהם מהשמש בחזקת שלוש.

יש הקוראים לחוק זה "החוק ההרמוני".

במילים פשוטות, החוק השלישי של קפלר אומר

שכוכבי הלכת הרחוקים יותר מהשמש הם בעלי זמן

מחזור גדול יותר, ומהירותם קטנה יותר.