יחידות 5-6: פונקציות של שני משתנים f(x,y)

פונקציה f(x,y) מקבלת שני משתנים x,y ונותנת ערך מסויים.

פונקציה זו מתארת גרף תלת מימדי – במרחב ולכן קשה לשרטט את הפונקציה הזו.

נשתמש בכלים/שיטות שיתגברו על הבעיה בשרטוט תלת מימדי ושהשיטה תיתן מידע על פונקציה.

את הפונקציה בשני משתנים f(x,y) נשווה לערך c מסוים – תועלת מסוימת ונמצא את אוסף כל הנקודות x,y אוסף כל הסלים המביאים את הפונקציה f(x,y) לאותו הערך / לאותה התועלת c.

זה נקרא עש"ע – עקומת שוות ערך של f(x,y).

עקומות שוות ערך

עקומה שוות ערך – תהיה \(f:R^2→R\) . העקומה שוות ערך a של הפונקציה f(x,y) היא אוסף כל הנקודות (x,y)בהן מתקיים f(x,y)=a

נשים לב שבעש"ע הפונקציה מוציאה את אותו ערך בכל נקודה על אותה עש"ע f(A)=f(B)

עש"ע זה אוסף כל הסלים/ כל הנקודות שמביאים לפונקציה את אותה תועלת.

שרטוט עקומות שוות ערך

שיטה 1 – עש"ע כקו ישר

נוח להשתמש בשיטה זו כאשר העש"ע היא מוצגת ממעלה 1 כקו ישר y=mx+b. משווים את ערכי הפונקציה לאינדקס מסויים ואז  עבור האינדקס הזה מוצאים מספר נקודות המקיימות את המשוואה, מוצאים את העש"ע ואת כיוון הגידול של העש" לפי השיפוע – שיפוע חיובי העש"ע עולה משמאל לימין ולהפך.

שיטה 2 – כאשר לא ניתן לחלץ את ה-y.

נבחר אינדקס ממשי כלשהו מתוך תחום הערכים שהפונקציה יכולה לקבל ומחלצים את y ומבטאים אותו כפונקציה של איקס.

נבצע חקירה זריזה –

תחומי עליה וירידה: y'<0 העשע יורדות, y'>0 עשע עולות.

קמורה/קעורה מבחן נגזרת שנייה y''>0 עש"ע קמורות, y''<0 עש"ע קעורות.

נמצא נקודות חיתוך עם הצירים במידה ויש.

עם ציר ה-x מציבים y=0 ב- f(x,y)=a

עם ציר ה-y מציבים x=0 ב- f(x,y)=a

משרטטים עש"ע אחת ובוחנים את השפעת שינוי ערכך האינדקס a על עש"ע אחרת. (מציינים את האינדקס בשירטוט)

מציינים את כיוון הגידול על ידי חץ שמן. נגזרות חלקיות מסדר גראשון חיוביות כיוון החוצה.