נקודת קיצון של פונקציה בשני משתנים ללא אילוץ

משפט – נניח כי נתונה f(x,y) ומחפשים לה נקודת קיצון.

תנאי הכרחי – תנאי סדר ראשון – הוא איפוס הנגזרות החלקיות. כלומר $f_x=0 ,f_y=0$

נפתור את מערכת המשוואות הנל ונקבל נקודות חשודות לקיצון. נכריע האם הנקודות קיצון על ידי תנאי סדר שני:

תנאי סדר שני – נחשב בעבור כל נקודה חשובה את ערך הביטוי

$Δ=f_{xx}∙f_{yy}-f_{xy}^2$

אם $∆>0$ אז הנקודה היא נקודת קיצון: $f_{xx}>0$ נקודת מינימום, $f_{xx}<0$ נקודת מקסימום.

אם $∆<0$ הנקודה ההיא נקודת אוכף

אם $∆=0$ לא ניתן לדעת לפי מבחן זה את סוג הקיצון.

לדוגמה: $f(x,y)=xy^2-y^2-\frac{x^2}{2}-2x+3$