נקודת קיצון של פונקציה בשני משתנים ללא אילוץ

משפט – נניח כי נתונה f(x,y) ומחפשים לה נקודת קיצון.

תנאי הכרחי – תנאי סדר ראשון – הוא איפוס הנגזרות החלקיות. כלומר \(f_x=0 ,f_y=0\)

נפתור את מערכת המשוואות הנל ונקבל נקודות חשודות לקיצון. נכריע האם הנקודות קיצון על ידי תנאי סדר שני:

תנאי סדר שני – נחשב בעבור כל נקודה חשובה את ערך הביטוי

\(Δ=f_{xx}∙f_{yy}-f_{xy}^2\)

אם \(∆>0\) אז הנקודה היא נקודת קיצון: \(f_{xx}>0\) נקודת מינימום, \(f_{xx}<0\) נקודת מקסימום.

אם \(∆<0\) הנקודה ההיא נקודת אוכף

אם \(∆=0\) לא ניתן לדעת לפי מבחן זה את סוג הקיצון.

לדוגמה: \(f(x,y)=xy^2-y^2-\frac{x^2}{2}-2x+3\)