פונקציות הומוגניות

הגדרה פונקציה הומוגנית

פונקציה f(x,y) תקרא הומוגנית מדרגה p אם לכל x ו- y ולכל t>0 מתקיים:

$f(tx,ty)=t^p∙f(x,y)$

במילים: הכפלת המשתנים ב-t מכפילה את ערכה של הפונקציה ב- $t^p$

משפט

אם $f:R^2→R$ הומוגנית מדרגה p, אזי נגזרותיה החלקיות $f_x$ ו- $f_y$ הומוגניות מדרגה p-1.

משפט אוילר

אם הפונקציה f הומוגנית מדרגה p אזי לכל x ו- y:

$pf(x,y)=x∙f_x (x,y)+y∙f_y (x,y)$

הערות

משפט על גידול כל גורם בפונקציה הומוגנית:

"בפונקציית היצור הנתונה, גידול של %___ בגורמי היצור, יגדיל את התפוקה ב %___"

כאשר צריך לבדוק את ההשפעה של הגדלת/הקטנת הסל:

$f(tx,ty)=t^p∙f(x,y)$

אגף שמאל הסל אחרי השינוי

$t^p$ שינוי התועלת כתוצאה משינוי הסל

f(x,y) הסל לפני השינוי

אם לא ניתן להוציא גורם משותף – הפונקציה לא הומוגנית

אם צריך להוכיח קשר בין נקודות כשלא ידוע ההומוגנית ואנו צריכים להפטר מהמשתנה p כמעט תמיד נגיע למצב שהוא בכפל ולכן צריך לחלק שני משתנים כדי להיפטר ממנו. מכיוון שמדובר ב 2 משוואות אפשר גם להעלות אחת מהן בריבוע.