כשיש בפונקציה גם שורש וגם מכנה, צריך לוודא:

1. תחת כל שורש: ביטוי ≥ 0
2. כל מכנה: ביטוי ≠ 0

התחום הוא החיתוך (∩) של כל התנאים!

💡 כלל חשוב:

שורש במכנה = צריך גם ≥ 0 וגם ≠ 0

ביחד: הביטוי חייב להיות > 0 (חיובי ממש!)

דוגמה 1: \(f(x) = \frac{5}{\sqrt{x}}\)

דורשים: \(x > 0\)

תחום: \(x > 0\) או \((0, \infty)\)

דוגמה 2: \(f(x) = \frac{3}{\sqrt{x - 2}}\)

דורשים: \(x - 2 > 0\) → \(x > 2\)

תחום: \(x > 2\) או \((2, \infty)\)

דוגמה 3: \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{5 - x}}\)

דורשים: \(5 - x > 0\) → \(x < 5\)

תחום: \(x < 5\) או \((-\infty, 5)\)

דוגמה 4: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}}\)

דורשים: \(x^2 - 9 > 0\)

פתרון: \((x-3)(x+3) > 0\) → \(x < -3\) או \(x > 3\)

תחום: \((-\infty, -3) \cup (3, \infty)\)

💡 כאן התנאים נפרדים:

השורש דורש ≥ 0, והמכנה דורש ≠ 0 (על ביטויים שונים!)

דוגמה 5: \(f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 3}\)

תנאי השורש: \(x \geq 0\)

תנאי המכנה: \(x \neq 3\)

תחום: \(x \geq 0\) ו-\(x \neq 3\)

דוגמה 6: \(f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x^2 - 1}\)

תנאי השורש: \(x + 4 \geq 0\) → \(x \geq -4\)

תנאי המכנה: \(x^2 - 1 \neq 0\) → \(x \neq \pm 1\)

תחום: \(x \geq -4\) ו-\(x \neq \pm 1\)

דוגמה 7: \(f(x) = \frac{\sqrt{2x - 6}}{x + 5}\)

תנאי השורש: \(2x - 6 \geq 0\) → \(x \geq 3\)

תנאי המכנה: \(x \neq -5\)

הערה: -5 < 3, אז התנאי \(x \neq -5\) כבר מתקיים!

תחום: \(x \geq 3\)

דוגמה 8: \(f(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{5 - x}\)

תנאי שורש ראשון: \(x - 1 \geq 0\) → \(x \geq 1\)

תנאי שורש שני: \(5 - x \geq 0\) → \(x \leq 5\)

חיתוך: צריך גם וגם!

תחום: \(1 \leq x \leq 5\) או \([1, 5]\)

דוגמה 9: \(f(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{4 - x}\)

תנאי שורש ראשון: \(x \geq 0\)

תנאי שורש שני: \(4 - x \geq 0\) → \(x \leq 4\)

תחום: \(0 \leq x \leq 4\) או \([0, 4]\)

דוגמה 10: \(f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x - 2}\)

תנאי השורש: \(x \geq 0\)

תנאי המכנה: \(x \neq 2\)

תחום: \([0, 2) \cup (2, \infty)\)

דוגמה 11: \(f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x - 4}}\)

תנאי מכנה ראשון: \(x \neq 0\)

תנאי שורש במכנה: \(x - 4 > 0\) → \(x > 4\)

הערה: אם \(x > 4\) אז בוודאי \(x \neq 0\)

תחום: \(x > 4\) או \((4, \infty)\)

דוגמה 12: \(f(x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{2 - x}}\)

תנאי שורש במונה: \(x + 3 \geq 0\) → \(x \geq -3\)

תנאי שורש במכנה: \(2 - x > 0\) → \(x < 2\)

תחום: \(-3 \leq x < 2\) או \([-3, 2)\)

דוגמה 13: \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{x + 1}\)

תנאי שורש במכנה: \(x^2 - 4 > 0\) → \(x < -2\) או \(x > 2\)

תנאי שורש שני: \(x + 1 \geq 0\) → \(x \geq -1\)

חיתוך: צריך (\(x < -2\) או \(x > 2\)) וגם (\(x \geq -1\))

\(x < -2\) לא מתאים כי \(x \geq -1\)

תחום: \(x > 2\) או \((2, \infty)\)

1. רשמו את כל התנאים בנפרד
2. פתרו כל תנאי בנפרד
3. מצאו את החיתוך - מה מקיים את כולם יחד
4. שרטטו ציר מספרים אם צריך!