פונקציה מעריכית מוגדרת לכל x!

\(f(x) = a^x\) (כאשר a > 0, a ≠ 1)

תחום: ℝ (כל המספרים)

💡 למה?

אפשר להעלות בסיס חיובי בכל חזקה שהיא - חיובית, שלילית, שבר, אפס - הכל עובד!

למשל: \(2^3 = 8\), \(2^{-1} = 0.5\), \(2^0 = 1\), \(2^{0.5} = \sqrt{2}\)

דוגמה 1: \(f(x) = 2^x\)

בסיס חיובי (2 > 0) → מוגדר לכל x

תחום: ℝ

דוגמה 2: \(f(x) = e^x\)

e ≈ 2.718 הוא בסיס חיובי → מוגדר לכל x

תחום: ℝ

דוגמה 3: \(f(x) = 3^{x+1}\)

הביטוי בחזקה יכול להיות כל דבר → מוגדר לכל x

תחום: ℝ

דוגמה 4: \(f(x) = 5 \cdot 2^{3x-7} + 4\)

פעולות על פונקציה מעריכית לא משנות את התחום

תחום: ℝ

דוגמה 5: \(f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\)

הבסיס ½ הוא חיובי → מוגדר לכל x

תחום: ℝ

💡 תזכורת חשובה:

הטווח של פונקציה מעריכית \(a^x\) (עם a > 0) הוא (0, ∞) - תמיד חיובי!

לכן אפשר תמיד להוציא שורש מפונקציה מעריכית!

דוגמה 6: \(f(x) = \sqrt{2^x}\)

תנאי: \(2^x \geq 0\)

בדיקה: \(2^x > 0\) תמיד! (מעריכית תמיד חיובית)

תחום: ℝ

דוגמה 7: \(f(x) = \sqrt{e^x - 1}\)

תנאי: \(e^x - 1 \geq 0\)

\(e^x \geq 1\)

\(x \geq \ln(1) = 0\)

תחום: \(x \geq 0\)

דוגמה 8: \(f(x) = \sqrt{4 - 2^x}\)

תנאי: \(4 - 2^x \geq 0\)

\(2^x \leq 4\)

\(2^x \leq 2^2\) → \(x \leq 2\)

תחום: \(x \leq 2\)

דוגמה 9: \(f(x) = \sqrt{e^x - e^{-x}}\)

תנאי: \(e^x - e^{-x} \geq 0\)

\(e^x \geq e^{-x}\)

כפל ב-\(e^x\) (חיובי): \(e^{2x} \geq 1\)

\(2x \geq 0\) → \(x \geq 0\)

תחום: \(x \geq 0\)

דוגמה 10: \(f(x) = \frac{1}{2^x - 1}\)

תנאי: \(2^x - 1 \neq 0\)

\(2^x \neq 1\) → \(x \neq 0\)

תחום: \(x \neq 0\)

דוגמה 11: \(f(x) = \frac{x}{e^x - e^2}\)

תנאי: \(e^x - e^2 \neq 0\)

\(e^x \neq e^2\) → \(x \neq 2\)

תחום: \(x \neq 2\)

דוגמה 12: \(f(x) = \frac{2^x}{3^x - 9}\)

תנאי: \(3^x - 9 \neq 0\)

\(3^x \neq 9 = 3^2\) → \(x \neq 2\)

תחום: \(x \neq 2\)

דוגמה 13: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{e^x - 2}}\)

תנאי (שורש במכנה): \(e^x - 2 > 0\)

\(e^x > 2\)

\(x > \ln(2)\)

תחום: \(x > \ln(2)\)

דוגמה 14: \(f(x) = \sqrt{x} \cdot e^x\)

תנאי השורש: \(x \geq 0\)

המעריכית: אין הגבלה

תחום: \(x \geq 0\)

דוגמה 15: \(f(x) = \frac{e^x}{\sqrt{x - 1}}\)

תנאי שורש במכנה: \(x - 1 > 0\) → \(x > 1\)

תחום: \(x > 1\)