קדם אנליזה - טרנספורמציות - הזזות ושיקופים
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 קדם אנליזה - טרנספורמציות - הזזות ושיקופים
קדם אנליזה
טרנספורמציות - הזזות ושיקופים
🎯 מהן טרנספורמציות?
טרנספורמציות הן פעולות על פונקציה שמשנות את מיקום או צורת הגרף.
אם מכירים את הגרף של f(x), נוכל לשרטט בקלות גרפים של כל הטרנספורמציות שלו!
⬆️⬇️ הזזה אנכית (למעלה/למטה)
\(g(x) = f(x) + k\)
k > 0
הגרף עולה למעלה ב-k יחידות
k < 0
הגרף יורד למטה ב-|k| יחידות
💡 כלל: פעולה מחוץ לפונקציה → הזזה אנכית (ישירה)
⬅️➡️ הזזה אופקית (ימינה/שמאלה)
\(g(x) = f(x - h)\)
⚠️ שימו לב - הכיוון הפוך!
f(x − h), h > 0
הגרף זז ימינה h יחידות
(מינוס → ימינה)
f(x + h), h > 0
הגרף זז שמאלה h יחידות
(פלוס → שמאלה)
💡 טריק: f(x−3) → מה צריך להציב כדי לקבל 0? x=3 → הקודקוד ב-x=3
🪞 שיקופים
שיקוף ביחס לציר X
\(g(x) = -f(x)\)
(x, y) → (x, −y)
שיקוף ביחס לציר Y
\(g(x) = f(-x)\)
(x, y) → (−x, y)
📋 טבלת סיכום
| טרנספורמציה | נוסחה | השפעה |
|---|---|---|
| הזזה למעלה | \(f(x) + k\) | ↑ k יחידות |
| הזזה למטה | \(f(x) - k\) | ↓ k יחידות |
| הזזה ימינה | \(f(x - h)\) | → h יחידות |
| הזזה שמאלה | \(f(x + h)\) | ← h יחידות |
| שיקוף ציר X | \(-f(x)\) | הופך למעלה/למטה |
| שיקוף ציר Y | \(f(-x)\) | הופך ימין/שמאל |
✏️ דוגמה משולבת
נתונה: \(f(x) = x^2\)
תאר: \(g(x) = -(x-2)^2 + 3\)
פתרון שלב אחר שלב:
- \(x^2\) - פרבולה מחייכת, קודקוד (0,0)
- \((x-2)^2\) - הזזה ימינה 2 → קודקוד (2,0)
- \(-(x-2)^2\) - שיקוף → פרבולה עצובה, קודקוד (2,0)
- \(-(x-2)^2 + 3\) - הזזה למעלה 3 → קודקוד (2,3)
📝 סיכום
f(x) + k → אנכי (ישיר) | f(x − h) → אופקי (הפוך!)
−f(x) → שיקוף ציר X | f(−x) → שיקוף ציר Y
דוגמאות פתורות
⬆️➡️ הזזות משולבות:
מה עושה \(y = f(x-h) + k\) לגרף של \(f(x)\)?
הצג פתרון
| ⬆️➡️ הזזות משולבות הנוסחה הכללית: \(y = f(x - h) + k\) שתי הזזות בו-זמנית: 1️⃣ אופקית: \(h\) יחידות • \(h > 0\): ימינה ➡️ • \(h < 0\): שמאלה ⬅️ 2️⃣ אנכית: \(k\) יחידות • \(k > 0\): למעלה ⬆️ • \(k < 0\): למטה ⬇️ מה קורה? כל נקודה \((x, y)\) הופכת ל-\((x+h, y+k)\) שני הכיוונים ביחד! סדר הפעולות: אפשר לחשוב על זה בשני שלבים: 1. הזזה אופקית: \(f(x-h)\) 2. הזזה אנכית: \(+k\) או להיפך - התוצאה זהה! |
📊 דוגמה:
לאן נע הקודקוד של \(y = (x-3)^2 + 5\) ביחס ל-\(y = x^2\)?
הצג פתרון
| 📊 הזזת פרבולה הניתוח: \(y = (x-3)^2 + 5\) זו הצורה: \(f(x-h) + k\) כאשר \(h=3\) ו-\(k=5\) ההזזות: 1️⃣ אופקית: \(x-3\) → 3 יחידות ימינה ➡️ 2️⃣ אנכית: \(+5\) → 5 יחידות למעלה ⬆️ הקודקוד: מקורי: \((0, 0)\) חדש: \((0+3, 0+5) = (3, 5)\) ✓ בדיקה: נקודה על \(x^2\): \((2, 4)\) על \((x-3)^2+5\): \((2+3, 4+5) = (5, 9)\) בדוק: \((5-3)^2 + 5 = 4 + 5 = 9\) ✓ |
📐 צורה קנונית:
מה הקודקוד של \(y = (x+2)^2 - 7\)?
הצג פתרון
| 📐 צורה קנונית הצורה הכללית: \(y = (x - h)^2 + k\) קודקוד: \((h, k)\) זו "הצורה הקנונית" של פרבולה! הניתוח: \(y = (x+2)^2 - 7\) נכתוב מחדש: \(y = (x-(-2))^2 + (-7)\) זו הצורה \((x-h)^2 + k\) עם \(h=-2\) ו-\(k=-7\) הקודקוד: \((h, k) = (-2, -7)\) ✓ שמאלה 2, למטה 7 כלל מהיר: מהצורה \((x-h)^2 + k\) קודקוד: \((h, k)\) ⚠️ שים לב לסימנים! \((x+2)^2\) = \((x-(-2))^2\) אז \(h=-2\) דוגמאות נוספות: \((x-5)^2 + 3\) → \((5, 3)\) \((x+1)^2 - 2\) → \((-1, -2)\) \(x^2 + 4\) → \((0, 4)\) |
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.