קדם אנליזה - פונקציות חזקה וחקירת פולינום
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 קדם אנליזה - פונקציות חזקה וחקירת פולינום
קדם אנליזה
פונקציות חזקה וחקירת פולינום
📊 פונקציות חזקה - \(f(x) = x^n\)
פונקציות חזקה הן הבסיס לכל הפולינומים. צורת הגרף תלויה ב-n:
n זוגי (2, 4, 6, ...)
- פונקציה זוגית (סימטרית לציר Y)
- תחום ערכים: \(y \geq 0\)
- נקודת מינימום ב-(0, 0)
- יורדת ב-\((-\infty, 0)\), עולה ב-\((0, \infty)\)
n אי-זוגי (1, 3, 5, ...)
- פונקציה אי-זוגית (סימטרית לראשית)
- תחום ערכים: כל הממשיים
- עולה בכל תחום ההגדרה
- עוברת דרך הראשית (0, 0)
⚖️ השוואה: n זוגי מול n אי-זוגי
| n זוגי | n אי-זוגי | |
|---|---|---|
| צורה | ∪ (כוס) | ↗ (עולה) |
| זוגיות | זוגית | אי-זוגית |
| תחום ערכים | \([0, \infty)\) | \((-\infty, \infty)\) |
| קיצון | מינימום ב-(0,0) | אין |
| התנהגות בקצוות | \(x \to \pm\infty \Rightarrow y \to \infty\) | \(x \to -\infty \Rightarrow y \to -\infty\) \(x \to \infty \Rightarrow y \to \infty\) |
🧩 פולינום כמכפלת גורמים לינאריים
\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)...(x - x_n)\)
כל גורם \((x - x_i)\) נותן שורש (חיתוך עם ציר X) בנקודה \(x_i\)
💡 איך לשרטט?
- מצא את השורשים - נקודות החיתוך עם ציר X
- קבע את הכיוון - לפי מקדם a ומעלת הפולינום
- שרטט בין השורשים - הגרף מחליף סימן בכל שורש
✏️ דוגמה: \(f(x) = (x+2)(x-1)(x-3)\)
שורשים: x = -2, x = 1, x = 3
מעלה: 3 (אי-זוגית) → מתחיל למטה, מסיים למעלה
מקדם: a = 1 > 0
🔢 ריבוי של שורש
כאשר גורם מופיע בחזקה, זה משפיע על התנהגות הגרף באותה נקודה:
ריבוי אי-זוגי (1, 3, 5...)
הגרף חותך את ציר X
(מחליף סימן)
ריבוי זוגי (2, 4, 6...)
הגרף נוגע בציר X
(לא מחליף סימן)
✏️ דוגמה: \(f(x) = (x+1)^2(x-2)\)
- ב-x = -1: ריבוי 2 (זוגי) → נוגע בציר X
- ב-x = 2: ריבוי 1 (אי-זוגי) → חותך את ציר X
🔭 התנהגות בקצוות
התנהגות הפולינום כש-x שואף לאינסוף תלויה ב:
- מעלת הפולינום (זוגית/אי-זוגית)
- סימן המקדם המוביל (חיובי/שלילי)
| a > 0 | a < 0 | |
|---|---|---|
| מעלה זוגית | ↗ ∞ ↖ (שני הקצוות למעלה) |
↘ -∞ ↙ (שני הקצוות למטה) |
| מעלה אי-זוגית | ↙ -∞ ... ∞ ↗ (משמאל למטה, מימין למעלה) |
↖ ∞ ... -∞ ↘ (משמאל למעלה, מימין למטה) |
📝 שלבי חקירה איכותנית של פולינום
- מצא את השורשים (חיתוך עם ציר X)
- בדוק ריבוי של כל שורש (חותך או נוגע)
- קבע התנהגות בקצוות (לפי מעלה ומקדם)
- מצא חיתוך עם ציר Y (הצב x=0)
- שרטט את הגרף
📝 סיכום
xⁿ: n זוגי → כוס | n אי-זוגי → עולה
ריבוי זוגי → נוגע | ריבוי אי-זוגי → חותך
קצוות: מעלה + סימן מקדם = כיוון
דוגמאות פתורות
\(f(x) = x^{2}+2x+2\)
הצג פתרון
\(f(x) = x^{2}+2x+2\)
\(f'(x) = 2x+2\)
\(2x+2 = 0\)
\(2x = -2\)
\(x = \frac{-2}{2} = -1\)
\(f''(x) = 2\)
\(f''(-1) = 2\) — > 0
מכיוון ש-\(f''(-1) > 0\), זו נקודת מינימום
| x | −∞ | ... | -1 | ... | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | − | 0 | + | ||
| f(x) | ↘ | ⬤ | ↗ |
ירידה → עלייה = מינימום
\(f(-1) = 1 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 2\)
\(= 1 \cdot 1 + -2 + 2\)
\(f(-1) = 1\)
נקודת הקיצון: \((-1,\ 1)\)
\(f(x) = 3x^{2}+2x+3\)
הצג פתרון
\(f(x) = 3x^{2}+2x+3\)
\(f'(x) = 6x+2\)
\(6x+2 = 0\)
\(6x = -2\)
\(x = \frac{-2}{6} = -0.33\)
\(f''(x) = 6\)
\(f''(-0.33) = 6\) — > 0
מכיוון ש-\(f''(-0.33) > 0\), זו נקודת מינימום
| x | −∞ | ... | -0.33 | ... | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | − | 0 | + | ||
| f(x) | ↘ | ⬤ | ↗ |
ירידה → עלייה = מינימום
\(f(-0.33) = 3 \cdot (-0.33)^2 + 2 \cdot (-0.33) + 3\)
\(= 3 \cdot 0.11 + -0.66 + 3\)
\(f(-0.33) = 2.67\)
נקודת הקיצון: \((-0.33,\ 2.67)\)
\(f(x) = 3x^{2}+2x+3\)
הצג פתרון
\(f(x) = 3x^{2}+2x+3\)
\(f'(x) = 6x+2\)
\(6x+2 = 0\)
\(6x = -2\)
\(x = \frac{-2}{6} = -0.33\)
\(f''(x) = 6\)
\(f''(-0.33) = 6\) — > 0
מכיוון ש-\(f''(-0.33) > 0\), זו נקודת מינימום
| x | −∞ | ... | -0.33 | ... | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | − | 0 | + | ||
| f(x) | ↘ | ⬤ | ↗ |
ירידה → עלייה = מינימום
\(f(-0.33) = 3 \cdot (-0.33)^2 + 2 \cdot (-0.33) + 3\)
\(= 3 \cdot 0.11 + -0.66 + 3\)
\(f(-0.33) = 2.67\)
נקודת הקיצון: \((-0.33,\ 2.67)\)
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.