כללי גזירה - פונקציות פולינום
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 כללי גזירה - פונקציות פולינום
📐 כללי גזירה - פונקציות פולינום
איך מוצאים נגזרת של כל פונקציה פולינומית
🎯 למה זה חשוב?
בפרק הקודם למדנו ש-\(f'(a)\) הוא שיפוע המשיק. אבל איך בעצם מחשבים את הנגזרת?
החדשות הטובות: יש כללים פשוטים שמאפשרים לגזור כל פונקציה פולינומית תוך שניות!
🔑 המפתח: במקום לחשב גבולות מסובכים, נשתמש בכללי גזירה שכבר הוכחו.
📚 תזכורת: מהי פונקציית פולינום?
פולינום = סכום של חזקות של \(x\) עם מקדמים
דוגמאות:
⭐ כללי הגזירה הבסיסיים
💡 הכלל החשוב ביותר: נגזרת של חזקה
\((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\)
במילים: "מוריד את המעריך למטה, ומחסר 1 מהמעריך"
✏️ דוגמאות לכלל החזקה
|
דוגמה 1: \((x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x\) |
דוגמה 2: \((x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2\) |
|
דוגמה 3: \((x^4)' = 4 \cdot x^{4-1} = 4x^3\) |
דוגמה 4: \((x^5)' = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4\) |
|
דוגמה 5: \((x^{10})' = 10x^9\) |
דוגמה 6: \((x^{100})' = 100x^{99}\) |
🔍 שימו לב לדפוס: המעריך יורד ב-1 בכל פעם!
📝 דוגמאות מפורטות - גזירת פולינום
דוגמה 1: פולינום ממעלה שנייה
גזרו את \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\)
פתרון:
גוזרים כל איבר בנפרד:
\(f'(x) = (3x^2)' - (5x)' + (2)'\)
\(f'(x) = 3 \cdot 2x - 5 \cdot 1 + 0\)
\(f'(x) = 6x - 5\)
דוגמה 2: פולינום ממעלה שלישית
גזרו את \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 7x - 1\)
פתרון:
\(f'(x) = (x^3)' - (4x^2)' + (7x)' - (1)'\)
\(f'(x) = 3x^2 - 4 \cdot 2x + 7 - 0\)
\(f'(x) = 3x^2 - 8x + 7\)
דוגמה 3: פולינום ממעלה רביעית
גזרו את \(f(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 6\)
פתרון:
\(f'(x) = 2 \cdot 4x^3 - 3 \cdot 3x^2 + 2x - 0\)
\(f'(x) = 8x^3 - 9x^2 + 2x\)
📊 נגזרת שנייה
נגזרת שנייה = הנגזרת של הנגזרת
\(f''(x) = (f'(x))'\)
דוגמה:
מצאו את \(f'(x)\) ואת \(f''(x)\) עבור \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\)
נגזרת ראשונה:
\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)
נגזרת שנייה:
\(f''(x) = (3x^2 - 12x + 9)' = 6x - 12\)
💡 למה צריך נגזרת שנייה?
- לקביעת סוג נקודת הקיצון (מקסימום או מינימום)
- למציאת תחומי קעירות
- למציאת נקודות פיתול
⚠️ מקרים מיוחדים - חשוב לזכור!
| פונקציה | נגזרת | הסבר |
|---|---|---|
| \(f(x) = c\) (קבוע) | \(f'(x) = 0\) | קבוע לא משתנה → נגזרת 0 |
| \(f(x) = x\) | \(f'(x) = 1\) | \(x = x^1\) → \(1 \cdot x^0 = 1\) |
| \(f(x) = ax\) | \(f'(x) = a\) | המקדם נשאר |
| \(f(x) = ax + b\) | \(f'(x) = a\) | הקבוע נעלם |
🤔 למה נגזרת של קבוע היא 0?
כי קבוע לא משתנה! אם \(f(x) = 5\), הגרף הוא קו אופקי, ושיפוע של קו אופקי הוא 0.
🚫 טעויות נפוצות - הימנעו!
❌ טעות 1: שוכחים להוריד את המעריך
\((x^3)' = x^2\) ← שגוי!
\((x^3)' = 3x^2\) ← נכון!
❌ טעות 2: שוכחים להפחית 1 מהמעריך
\((x^4)' = 4x^4\) ← שגוי!
\((x^4)' = 4x^3\) ← נכון!
❌ טעות 3: גוזרים את המקדם
\((5x^2)' = 10x^2\) ← שגוי!
\((5x^2)' = 10x\) ← נכון!
❌ טעות 4: נגזרת של קבוע
\((7)' = 7\) ← שגוי!
\((7)' = 0\) ← נכון!
📋 טבלת נגזרות - לשינון!
📝 סיכום
הכלל המרכזי: \((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\)
גוזרים כל איבר בנפרד, מקדמים יוצאים החוצה, קבועים נעלמים!
עכשיו אתם מוכנים להמשיך לנושא הבא: חקירת פונקציה - עלייה, ירידה וקיצון!
דוגמאות פתורות
נתונה הפונקציה הפולינומית \(f(x) = 3x^2 + 5x - 7\).
מהי הנגזרת \(f'(x)\)?
הצג פתרון
\(f'(x) = 6x + 5\)
✓ נכונה\(f'(x) = 3x + 5\)
\(f'(x) = 6x^2 + 5\)
\(f'(x) = 6x + 7\)
נוסחה כללית:
לכל קבועים \(a, b, c\):
\(f(x) = ax^2 + bx + c \Rightarrow f'(x) = 2ax + b\).
כאן \(a = 3\) ולכן \(2a = 6\), ו-\(b = 5\).
נחשב:
\(f'(x) = 2 \cdot 3x + 5 = 6x + 5\).
שימי לב: האיבר הקבוע \(-7\) נעלם, כי נגזרת של קבוע היא 0.
מהי הנגזרת של הפונקציה \(f(x) = 4x^3\)?
הצג פתרון
\(f'(x) = 12x^2\)
✓ נכונה\(f'(x) = 4x^2\)
\(f'(x) = 3x^4\)
\(f'(x) = 12x^3\)
נוסחת חזקת חזקות:
לכל קבוע \(a\) ומספר טבעי \(n\):
\(\frac{d}{dx}(ax^n) = a \cdot n \cdot x^{n-1}\).
כאן \(a = 4\), \(n = 3\) ולכן:
\(f'(x) = 4 \cdot 3 \cdot x^{3-1} = 12x^2\).
טעות נפוצה: להשאיר את החזקה 3 (ולקבל \(12x^3\)) במקום להוריד אותה ב-1.
נתונה הפונקציה \(f(x) = -2x^2 + 8\).
מהי הנגזרת \(f'(x)\)?
הצג פתרון
\(f'(x) = -4x\)
✓ נכונה\(f'(x) = -2x\)
\(f'(x) = -4x^2\)
\(f'(x) = 4x\)
נשתמש שוב בכלל \(ax^n \rightarrow a \cdot n \cdot x^{n-1}\).
עבור \(-2x^2\):
\(\frac{d}{dx}(-2x^2) = -2 \cdot 2x^{1} = -4x\).
עבור הקבוע \(8\) הנגזרת היא 0.
לכן \(f'(x) = -4x\) בלבד.
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.