חקירה: הקשר בין פונקציה לנגזרתה

🎯 מטרת הפעילות

בפעילות זו תגלו בעצמכם את הקשר המופלא בין גרף של פונקציה לגרף של הנגזרת שלה.

שאלת המפתח: אם אני יודע איך נראה גרף של פונקציה, האם אני יכול לצייר את גרף הנגזרת?

📝 ענו על השאלות הבאות:

1. כאשר הנקודה נמצאת בחלק עולה של הפונקציה (הגרף הכחול), מה הסימן של השיפוע?

2. כאשר הנקודה נמצאת בחלק יורד של הפונקציה, מה הסימן של השיפוע?

3. כאשר הנקודה נמצאת בנקודת קיצון (מקסימום או מינימום), מה השיפוע?

עכשיו נחשוף את גרף הנגזרת (הגרף האדום)!

לחצו על תיבת הסימון "הצג נגזרת" באפליקציה למעלה.

📝 השלימו את הטבלה:

הזיזו את הנקודה והשלימו:

🏆 הכללים שגילינו:

שאלה 1:

נתון גרף של פונקציה f. הפונקציה עולה בתחום \((-\infty, 2)\) ויורדת בתחום \((2, \infty)\).

א) מה סימן הנגזרת בתחום \((-\infty, 2)\)? ______

ב) מה סימן הנגזרת בתחום \((2, \infty)\)? ______

ג) מה ערך הנגזרת ב-\(x=2\)? ______

ד) מה סוג הנקודה \(x=2\) בפונקציה f? ______

שאלה 2:

נתון ש-\(f'(x) > 0\) לכל \(x < 1\) וגם \(f'(x) < 0\) לכל \(x > 1\).

א) באילו תחומים הפונקציה f עולה? ______

ב) באילו תחומים הפונקציה f יורדת? ______

ג) מה קורה בנקודה \(x=1\)? ______

🎯 אתגר למתקדמים:

אם \(f(x) = x^3 - 3x\), שרטטו (בערך) את גרף הנגזרת \(f'(x)\) בלי לחשב!

רמז: מצאו איפה f עולה, איפה יורדת, ואיפה נקודות הקיצון.