גאומטריה אנליטית - נוסחת השיפוע
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 גאומטריה אנליטית - נוסחת השיפוע
גאומטריה אנליטית - הישר
שיפוע של ישר - נוסחה והבנה
🎯 מהו שיפוע?
השיפוע מודד את קצב השינוי של y ביחס לשינוי ב-x.
במילים פשוטות: כמה עולים (או יורדים) על כל צעד ימינה
💡 אינטואיציה:
חשבו על מדרגות - השיפוע הוא היחס בין גובה המדרגה לרוחבה.
שיפוע גדול = מדרגות תלולות. שיפוע קטן = מדרגות רדודות.
⭐ נוסחת השיפוע
נתונות שתי נקודות: \(A(x_1, y_1)\) ו-\(B(x_2, y_2)\)
\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
הסבר הנוסחה:
- \(\Delta y = y_2 - y_1\) = ההפרש בין ערכי y (כמה עלינו/ירדנו)
- \(\Delta x = x_2 - x_1\) = ההפרש בין ערכי x (כמה זזנו הצידה)
- השיפוע = היחס ביניהם
⚠️ חשוב: לא משנה איזו נקודה בוחרים כ-"ראשונה" - התוצאה זהה!
(רק צריך להיות עקביים - אם מתחילים מנקודה מסוימת ב-y, מתחילים ממנה גם ב-x)
📊 הדגמה גרפית
✏️ דוגמאות חישוב שיפוע
דוגמה 1: מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך \(A(2, 3)\) ו-\(B(5, 9)\)
\(m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2\)
תשובה: m = 2 (הישר עולה)
דוגמה 2: מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך \(A(1, 7)\) ו-\(B(4, 1)\)
\(m = \frac{1 - 7}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2\)
תשובה: m = -2 (הישר יורד)
דוגמה 3: מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך \(A(-2, 4)\) ו-\(B(3, 4)\)
\(m = \frac{4 - 4}{3 - (-2)} = \frac{0}{5} = 0\)
תשובה: m = 0 (ישר אופקי!)
דוגמה 4: מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך \(A(-1, -3)\) ו-\(B(2, 6)\)
\(m = \frac{6 - (-3)}{2 - (-1)} = \frac{6 + 3}{2 + 1} = \frac{9}{3} = 3\)
תשובה: m = 3
דוגמה 5: מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך \(A(3, 2)\) ו-\(B(3, 8)\)
\(m = \frac{8 - 2}{3 - 3} = \frac{6}{0}\) = לא מוגדר!
תשובה: השיפוע לא מוגדר (ישר אנכי x = 3)
📈 סוגי שיפועים
m > 0
ישר עולה ↗
m < 0
ישר יורד ↘
m = 0
ישר אופקי →
m לא מוגדר
ישר אנכי ↑
⚖️ השוואת שיפועים
💡 מסקנה: ככל שהשיפוע גדול יותר (בערך מוחלט), הישר תלול יותר!
📝 סיכום
\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
m > 0 → עולה | m < 0 → יורד | m = 0 → אופקי
שיפוע לא מוגדר → ישר אנכי
דוגמאות פתורות
חשב את השיפוע של הישר העובר דרך הנקודות \((1,2)\) ו-\((3,6)\).
הצג פתרון
\(m = 2\)
✓ נכונה\(m = 4\)
\(m = \frac{1}{2}\)
\(m = -2\)
נשתמש בנוסחה \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).
כאן: \(\frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2\).
נתונות הנקודות \((4,1)\) ו-\((8,5)\). מה השיפוע של הישר העובר דרכן?
הצג פתרון
\(m = 1\)
✓ נכונה\(m = 2\)
\(m = \frac{1}{2}\)
\(m = 4\)
אפשר לבחור כל נקודה כראשונה, העיקר לשמור על אותו סדר במונה ובמכנה.
\(\frac{5 - 1}{8 - 4} = \frac{4}{4} = 1\).
חשב את השיפוע של הישר העובר דרך \((1,5)\) ו-\((3,1)\).
הצג פתרון
\(m = -2\)
✓ נכונה\(m = 2\)
\(m = -\frac{1}{2}\)
\(m = 4\)
\(\frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2\), לכן השיפוע שלילי והישר יורד.
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.