גאומטריה אנליטית - משוואת ישר ע"פ נקודה ושיפוע
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 גאומטריה אנליטית - משוואת ישר ע"פ נקודה ושיפוע
גאומטריה אנליטית - הישר
מציאת משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע
🎯 השיטה
כאשר נתונים שיפוע ונקודה על הישר, יש לנו כבר את m!
נשאר רק למצוא את b.
נתונים: שיפוע m ונקודה \((x_0, y_0)\)
מציבים במשוואה:
\(y_0 = m \cdot x_0 + b\)
ופותרים למציאת b
⭐ נוסחת נקודה-שיפוע (Point-Slope Form)
משוואת ישר עם שיפוע m העובר דרך \((x_0, y_0)\):
\(y - y_0 = m(x - x_0)\)
💡 יתרון: לא צריך למצוא את b בנפרד - פשוט מציבים ומפשטים!
✏️ דוגמה 1
שאלה: מצאו משוואת ישר עם שיפוע \(m = 2\) העובר דרך \((3, 7)\)
פתרון: נציב m = 2 ואת הנקודה (3, 7):
\(7 = 2 \cdot 3 + b\)
\(7 = 6 + b\)
\(b = 1\)
\(y = 2x + 1\)
✏️ דוגמה 2 - שיטת נקודה-שיפוע
שאלה: מצאו משוואת ישר עם שיפוע \(m = -3\) העובר דרך \((2, 4)\)
פתרון:
\(y - 4 = -3(x - 2)\)
\(y - 4 = -3x + 6\)
\(y = -3x + 10\)
\(y = -3x + 10\)
✏️ דוגמה 3 - שיפוע שברי
שאלה: מצאו משוואת ישר עם שיפוע \(m = \frac{1}{2}\) העובר דרך \((4, 1)\)
\(y - 1 = \frac{1}{2}(x - 4)\)
\(y - 1 = \frac{1}{2}x - 2\)
\(y = \frac{1}{2}x - 1\)
\(y = \frac{1}{2}x - 1\)
✏️ דוגמה 4 - נקודה שלילית
שאלה: מצאו משוואת ישר עם שיפוע \(m = 4\) העובר דרך \((-1, 2)\)
\(y - 2 = 4(x - (-1))\)
\(y - 2 = 4(x + 1)\)
\(y - 2 = 4x + 4\)
\(y = 4x + 6\)
\(y = 4x + 6\)
💡 מקרה מיוחד: ישר דרך ראשית הצירים
שאלה: מצאו משוואת ישר עם שיפוע \(m = 5\) העובר דרך \((0, 0)\)
הנקודה (0, 0) היא ראשית הצירים, אז b = 0!
\(y = 5x\)
💡 כלל: ישר העובר דרך ראשית הצירים תמיד מהצורה \(y = mx\)
📝 סיכום
נוסחת נקודה-שיפוע:
\(y - y_0 = m(x - x_0)\)
או: הציבו את m והנקודה ב-\(y = mx + b\) ומצאו b
דוגמאות פתורות
נתון ישר עם שיפוע \(m = 2\) וחיתוך עם ציר ה-Y בנקודה \((0,3)\). מה משוואת הישר?
הצג פתרון
\(y = 2x + 3\)
✓ נכונה\(y = 2x - 3\)
\(y = -2x + 3\)
\(y = 3x + 2\)
בצורה \(y = mx + b\) השיפוע הוא m והחיתוך עם ציר ה-Y הוא b. כאן: \(m=2, b=3\).
לישר שיפוע \(m = 1\) והוא חותך את ציר ה-Y בנקודה \((0,-2)\). מה משוואתו?
הצג פתרון
\(y = x - 2\)
✓ נכונה\(y = x + 2\)
\(y = -x - 2\)
\(y = -x + 2\)
שיפוע 1 → המקדם של x הוא 1. חיתוך עם ציר ה-Y הוא -2 → האיבר החופשי הוא -2.
לישר שיפוע \(m = -3\) והוא חותך את ציר ה-Y בנקודה \((0,1)\). מה משוואת הישר?
הצג פתרון
\(y = -3x + 1\)
✓ נכונה\(y = 3x + 1\)
\(y = -3x - 1\)
\(y = x + 1\)
שיפוע שלילי → מקדם x שלילי. חיתוך עם ציר ה-Y הוא 1 → האיבר החופשי 1.
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.