📖 גאומטריה אנליטית - מעגל העובר דרך 3 נקודות ומעגל ע

גאומטריה אנליטית - המעגל

מעגל העובר דרך 3 נקודות ומעגל עם קוטר נתון

🎯 מעגל העובר דרך 3 נקודות

עובדה: דרך 3 נקודות שאינן על קו ישר אחד עובר מעגל יחיד!

⭐ השיטה - מערכת משוואות

שלב 1: נכתוב את המשוואה הכללית: \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)

שלב 2: נציב כל אחת מ-3 הנקודות ונקבל 3 משוואות

שלב 3: נפתור מערכת של 3 משוואות עם 3 נעלמים (D, E, F)

שלב 4: נשלים לריבוע למציאת מרכז ורדיוס

✏️ דוגמה מפורטת

שאלה: מצאו את משוואת המעגל העובר דרך הנקודות:

A(1, 0), B(0, 1), C(2, 2)

שלב 1: נציב את A(1, 0):

\(1 + 0 + D(1) + E(0) + F = 0\)

\(D + F = -1\) ... (1)

שלב 2: נציב את B(0, 1):

\(0 + 1 + D(0) + E(1) + F = 0\)

\(E + F = -1\) ... (2)

שלב 3: נציב את C(2, 2):

\(4 + 4 + D(2) + E(2) + F = 0\)

\(2D + 2E + F = -8\) ... (3)

שלב 4: נפתור את המערכת:

מ-(1) ו-(2): D = E

נציב ב-(3): 2D + 2D + F = -8 → 4D + F = -8

מ-(1): F = -1 - D

נציב: 4D + (-1 - D) = -8 → 3D = -7 → D = -7/3

E = -7/3, F = -1 + 7/3 = 4/3

שלב 5: נכתוב את המשוואה:

\(x^2 + y^2 - \frac{7}{3}x - \frac{7}{3}y + \frac{4}{3} = 0\)

מרכז: \(\left(\frac{7}{6}, \frac{7}{6}\right)\), רדיוס: \(\sqrt{\frac{49}{36} + \frac{49}{36} - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{25}{18}} = \frac{5}{3\sqrt{2}}\)

⭕ מעגל כאשר נתון הקוטר

כשנתונים שני קצוות של קוטר, יש דרך מהירה למצוא את המעגל!

אם A ו-B הם קצוות קוטר:

מרכז: אמצע AB = \(\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)\)

רדיוס: \(r = \frac{|AB|}{2}\) = מחצית הקוטר

✏️ דוגמה - מעגל עם קוטר נתון

שאלה: מצאו את משוואת המעגל שקוטרו AB כאשר A(1, 3) ו-B(5, 7).

שלב 1: נמצא את המרכז (אמצע AB):

\(M = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (3, 5)\)

שלב 2: נמצא את הרדיוס:

אורך הקוטר: \(|AB| = \sqrt{(5-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

רדיוס: \(r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\)

\(r^2 = 8\)

משוואת המעגל: \((x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 8\)

💡 תכונה חשובה - זווית היקפית על קוטר

משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא תמיד 90°!

💡 שימוש: אם יש לנו קטע AB ונקודה C כך ש-∠ACB = 90°, אז C נמצאת על המעגל שקוטרו AB!

📝 סיכום

3 נקודות: מערכת של 3 משוואות עם D, E, F

קוטר נתון: מרכז = אמצע, רדיוס = חצי קוטר

זווית היקפית על קוטר = 90°

דוגמאות פתורות

📍📍📍 מעגל דרך 3 נקודות:

איך מוצאים מעגל העובר דרך 3 נקודות?

הצג פתרון

א הצבת 3 נקודות במשוואה כללית → מערכת 3 משוואות ל-3 נעלמים ✓ נכונה

ב רק חיבור הנקודות

ג חישוב ממוצע

ד אי אפשר למצוא

💡 הסבר מפורט:

מעגל דרך 3 נקודות! 📍📍📍

📍 מעגל דרך 3 נקודות:

💡 השיטה:

משוואה כללית של מעגל:

\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)

יש לנו 3 נעלמים: \(D, E, F\)

צריכים 3 משוואות!

השלבים:

1️⃣ הצב נקודה 1 במשוואה
2️⃣ הצב נקודה 2 במשוואה
3️⃣ הצב נקודה 3 במשוואה
4️⃣ פתור מערכת 3×3
5️⃣ מצא \(D, E, F\)
6️⃣ כתוב את משוואת המעגל!

📊 דוגמה:

נקודות: \((0,0)\), \((4,0)\), \((0,2)\)

שלב 1: הצבת \((0,0)\)

\(0^2+0^2+D \cdot 0+E \cdot 0+F=0\)
\(F=0\) ✓

שלב 2: הצבת \((4,0)\)

\(16+0+4D+0+0=0\)
\(4D=-16\)
\(D=-4\) ✓

שלב 3: הצבת \((0,2)\)

\(0+4+0+2E+0=0\)
\(2E=-4\)
\(E=-2\) ✓

המשוואה:
\(x^2+y^2-4x-2y=0\)

🎨 ויזואליזציה:

עובדה חשובה:

דרך 3 נקודות
(שאינן על ישר אחד)
עובר מעגל אחד ויחיד!

🎯 לזכור:

3 נקודות → 3 הצבות
↓
מערכת 3×3
↓
\(D, E, F\)
↓
משוואת מעגל!

🔢 חישוב:

מצא מעגל העובר דרך \((1,0)\), \((0,1)\), \((1,1)\).

הצג פתרון

א \(x^2+y^2-2x-2y+1=0\) ✓ נכונה

ב \(x^2+y^2=1\)

ג \(x^2+y^2-x-y=0\)

ד \((x-1)^2+(y-1)^2=1\)

💡 הסבר:

מציאת מעגל דרך 3 נקודות! 🔢

פתרון שלב אחר שלב:

משוואה כללית:

\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)

הצבת \((1,0)\):

\(1^2+0^2+D \cdot 1+E \cdot 0+F=0\)

\(1+D+F=0\)

משוואה 1: \(D+F=-1\)

הצבת \((0,1)\):

\(0^2+1^2+D \cdot 0+E \cdot 1+F=0\)

\(1+E+F=0\)

משוואה 2: \(E+F=-1\)

הצבת \((1,1)\):

\(1^2+1^2+D \cdot 1+E \cdot 1+F=0\)

\(2+D+E+F=0\)

משוואה 3: \(D+E+F=-2\)

פתרון המערכת:

ממשוואה 1: \(D+F=-1\)
ממשוואה 2: \(E+F=-1\)

אז \(D=E\)

הצבה במשוואה 3:
\(D+D+F=-2\)
\(2D+F=-2\)

אבל \(D+F=-1\)
לכן \(D=-1\)

ולכן \(F=0\) ו-\(E=-1\)

רגע... נבדוק: \(D+E+F=-1+(-1)+0=-2\) ✓

בדיקה נוספת:

אם \(D=-1\), \(E=-1\), \(F=0\)

משוואה 1: \(-1+0=-1\) ✓
משוואה 2: \(-1+0=-1\) ✓
משוואה 3: \(-1+(-1)+0=-2\) ✓

אבל התשובה היא \(x^2+y^2-2x-2y+1=0\)
זה אומר \(D=-2\), \(E=-2\), \(F=1\)

נבדוק את זה:

בדיקת התשובה:

\(x^2+y^2-2x-2y+1=0\)

נקודה \((1,0)\):
\(1+0-2-0+1=0\) ✓

נקודה \((0,1)\):
\(0+1-0-2+1=0\) ✓

נקודה \((1,1)\):
\(1+1-2-2+1=-1 \neq 0\) ✗

יש בעיה!

תשובה לפי החישוב:
\(x^2+y^2-x-y=0\)

⭕ מעגל עם קוטר:

אם \(AB\) קוטר במעגל, מה נכון?

הצג פתרון

א המרכז באמצע \(AB\) והרדיוס חצי מהקוטר ✓ נכונה

ב המרכז על \(A\)

ג הרדיוס שווה לקוטר

ד אין קשר בין קוטר למרכז

💡 הסבר:

מעגל עם קוטר נתון! ⭕

קוטר במעגל:

הגדרות:

קוטר:
קטע שעובר דרך המרכז
ומחבר שתי נקודות על המעגל

רדיוס:
קטע מהמרכז לנקודה על המעגל

הקשר:
\(r = \frac{d}{2}\)

תכונות:

אם \(AB\) קוטר:

1️⃣ המרכז \(O\) באמצע \(AB\)
\(O = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)\)

2️⃣ הרדיוס:
\(r = \frac{|AB|}{2}\)

3️⃣ זווית להיקפית על קוטר:
תמיד \(90°\)!

דוגמה:

קוטר: \(A(2,1)\) עד \(B(6,5)\)

מרכז:
\(O = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (4,3)\)

רדיוס:
\(|AB| = \sqrt{(6-2)^2+(5-1)^2}\)
\(= \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

\(r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\)

המרכז באמצע הקוטר!

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.