גאומטריה - גבהים במשולש ומעגל חסום
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 גאומטריה - גבהים במשולש ומעגל חסום
מעגל - חלק א'
גבהים במשולש ומעגל חסום
📐 משפט: שלושת הגבהים נפגשים בנקודה
שלושת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת
🏷️ לנקודה הזו קוראים: אורתוצנטר (Orthocenter)
📍 איפה נמצא האורתוצנטר?
- משולש חד זווית: בתוך המשולש
- משולש ישר זווית: בקודקוד הזווית הישרה!
- משולש קהה זווית: מחוץ למשולש
🎯 4 הנקודות המיוחדות במשולש
| קווים | נקודת חיתוך | משמעות |
|---|---|---|
| תיכונים | מרכז כובד | נקודת שיווי משקל |
| חוצי זווית | אינצנטר | מרכז מעגל חסום |
| אנכים אמצעיים | סירקומצנטר | מרכז מעגל חוסם |
| גבהים | אורתוצנטר | - |
⭐ מעגל חסום במשולש
בכל משולש אפשר לחסום מעגל
(מעגל שנוגע בשלוש הצלעות מבפנים)
📍 מרכז המעגל החסום:
נקודת החיתוך של חוצי הזוויות
(נמצא תמיד בתוך המשולש!)
💡 למה חוצי זווית?
מרכז המעגל החסום צריך להיות במרחק שווה מכל הצלעות (זה הרדיוס).
נקודה במרחק שווה משתי צלעות הכולאות זווית - נמצאת על חוצה הזווית!
לכן נקודת חיתוך חוצי הזוויות במרחק שווה מכל 3 הצלעות.
🔄 חוסם vs חסום - מה ההבדל?
| מעגל חוסם | מעגל חסום | |
|---|---|---|
| מיקום | מחוץ למשולש (מקיף) | בתוך המשולש |
| עובר דרך | הקודקודים | נוגע בצלעות |
| מרכז | חיתוך אנכים אמצעיים | חיתוך חוצי זווית |
| רדיוס = | מרחק מהקודקודים | מרחק מהצלעות |
💡 טריק לזכור:
חוסם = המעגל חוסם (מקיף, עוטף) את המשולש מבחוץ
חסום = המעגל חסום (כלוא, נמצא בפנים) בתוך המשולש
📝 סיכום דף 3
גבהים נפגשים באורתוצנטר
מעגל חוסם: דרך הקודקודים, מרכז = חיתוך אנכים אמצעיים
מעגל חסום: נוגע בצלעות, מרכז = חיתוך חוצי זווית
דוגמאות פתורות
📐 משפט תאלס:
שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית
מקצים עליהם:
הצג פתרון
קטעים פרופורציוניים
✓ נכונהקטעים שווים
קטעים אקראיים
קטעים הפוכים
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: מהו קטע אמצעים? 🔍
|
קטע אמצעים ✨
קטע המחבר את
אמצעי שני צלעות במשולש |
שלב 2: התמונה 📊
במשולש ABC:
D אמצע AB, E אמצע AC DE הוא קטע אמצעים |
שלב 3: תכונות 💭
| 2 תכונות חשובות: 🔹 DE || BC (מקביל לצלע השלישית) 🔹 DE = ½BC (חצי מהצלע השלישית) |
תשובה: הקטע המחבר אמצעי שתי צלעות
📐 משפט תאלס:
שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית
מקצים עליהם:
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: משפט תאלס 🔍
משפט תאלס ✨ שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים |
שלב 2: שרטוט 📊
שלב 3: משמעות פרופורציה 💭
| פרופורציה פירושה: 🔹 היחס בין הקטעים על שוק אחד 🔹 שווה ליחס בין הקטעים על השוק השני נוסחה: a/b = c/d או: a/c = b/d |
תשובה: קטעים פרופורציוניים
🎯 חישוב:
שני ישרים מקבילים חותכים שוקי זווית.
על שוק אחד: 3 ו-6.
על השוק השני: 4 ו-x.
מה x?
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: הנתונים 🔍
| נתון: 🔹 שוק 1: קטעים 3 ו-6 🔹 שוק 2: קטעים 4 ו-x 🔹 x = ? |
שלב 2: שרטוט 📊
שלב 3: משפט תאלס 📐
| 3/6 = 4/x או: 3/4 = 6/x |
שלב 4: חישוב 💭
| 3/6 = 4/x 3x = 6 × 4 3x = 24 x = 24 ÷ 3 x = 8 |
שלב 5: בדיקה ✓
| 3/6 = 4/8? 1/2 = 1/2 ✓ נכון! |
תשובה: 8
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.