גאומטריה של המישור - גבהים במשולש
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 גאומטריה של המישור - גבהים במשולש
גאומטריה של המישור
דף 5: גבהים במשולש
📖 הגדרה
גובה במשולש הוא קטע היוצא מקודקוד
ומאונך (ניצב) לצלע שמולו (או להמשכה).
שימו לב: הגובה יוצא מקודקוד (לא מאמצע הצלע כמו אנך אמצעי!)
נקודת H נקראת "רגל הגובה" - זו הנקודה שבה הגובה פוגש את הצלע.
🔍 גבהים בסוגי משולשים שונים
המיקום של הגבהים משתנה לפי סוג המשולש!
1️⃣ משולש חד זווית (כל הזוויות קטנות מ-90°)
כל הגבהים בתוך המשולש ונקודת המפגש בפנים
2️⃣ משולש ישר זווית (זווית אחת = 90°)
שני ניצבים הם גבהים! נקודת המפגש = קודקוד הזווית הישרה
3️⃣ משולש קהה זווית (זווית אחת גדולה מ-90°)
גובה אחד יוצא להמשך הצלע! נקודת המפגש מחוץ למשולש
⭐ המשפט: שלושת הגבהים נפגשים בנקודה אחת
שלושת הגבהים במשולש (או הישרים המכילים אותם)
נחתכים בנקודה אחת.
נקודת המפגש נקראת "אורתוצנטר" (Orthocenter).
📍 מיקום האורתוצנטר:
- משולש חד: בתוך המשולש
- משולש ישר: על קודקוד הזווית הישרה
- משולש קהה: מחוץ למשולש
📊 סיכום: ארבע נקודות המפגש
| קווים | נקודת מפגש | תכונה מיוחדת | מיקום |
|---|---|---|---|
| תיכונים | מרכז כובד (G) | מחלק כל תיכון 2:1 | תמיד בפנים |
| חוצי זוויות | מרכז מעגל חסום (I) | מרחקים שווים מהצלעות | תמיד בפנים |
| אנכים אמצעיים | מרכז מעגל חוסם (O) | מרחקים שווים מהקודקודים | חד-בפנים, קהה-בחוץ |
| גבהים | אורתוצנטר (H) | - | חד-בפנים, קהה-בחוץ |
⚠️ אל תתבלבלו! גובה ≠ אנך אמצעי
| גובה | אנך אמצעי | |
|---|---|---|
| מתחיל מ... | קודקוד | אמצע צלע |
| מאונך ל... | הצלע שמול הקודקוד | הצלע שעליה הוא עומד |
| עובר באמצע? | לא בהכרח! | כן, בהגדרה |
💡 רק במשולש שווה-שוקיים: הגובה לבסיס = האנך האמצעי לבסיס = התיכון לבסיס!
🌍 דוגמה מהחיים
📐 מדידת גובה הר:
כשמודדים את גובה הר, מודדים את המרחק האנכי (הגובה) מהפסגה לקרקע - לא את אורך המדרון!
🏠 בנייה: כשבונים גג משולש, חשוב לדעת את הגובה כדי לחשב כמה חומר צריך.
📏 שטח משולש: S = ½ × בסיס × גובה - לכן הגובה חיוני לחישוב שטח!
📝 סיכום דף 5 - גבהים
הגדרה: קטע מקודקוד המאונך לצלע שמולו
מפגש: 3 גבהים נפגשים בנקודה אחת (אורתוצנטר)
משולש חד: כל הגבהים בפנים | קהה: גובה אחד בחוץ
משולש ישר: הניצבים הם גבהים!
דוגמאות פתורות
📐 משפט תאלס:
שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית
מקצים עליהם:
הצג פתרון
קטעים פרופורציוניים
✓ נכונהקטעים שווים
קטעים אקראיים
קטעים הפוכים
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: מהו קטע אמצעים? 🔍
|
קטע אמצעים ✨
קטע המחבר את
אמצעי שני צלעות במשולש |
שלב 2: התמונה 📊
במשולש ABC:
D אמצע AB, E אמצע AC DE הוא קטע אמצעים |
שלב 3: תכונות 💭
| 2 תכונות חשובות: 🔹 DE || BC (מקביל לצלע השלישית) 🔹 DE = ½BC (חצי מהצלע השלישית) |
תשובה: הקטע המחבר אמצעי שתי צלעות
📐 משפט תאלס:
שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית
מקצים עליהם:
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: משפט תאלס 🔍
משפט תאלס ✨ שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים |
שלב 2: שרטוט 📊
שלב 3: משמעות פרופורציה 💭
| פרופורציה פירושה: 🔹 היחס בין הקטעים על שוק אחד 🔹 שווה ליחס בין הקטעים על השוק השני נוסחה: a/b = c/d או: a/c = b/d |
תשובה: קטעים פרופורציוניים
🎯 חישוב:
שני ישרים מקבילים חותכים שוקי זווית.
על שוק אחד: 3 ו-6.
על השוק השני: 4 ו-x.
מה x?
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: הנתונים 🔍
| נתון: 🔹 שוק 1: קטעים 3 ו-6 🔹 שוק 2: קטעים 4 ו-x 🔹 x = ? |
שלב 2: שרטוט 📊
שלב 3: משפט תאלס 📐
| 3/6 = 4/x או: 3/4 = 6/x |
שלב 4: חישוב 💭
| 3/6 = 4/x 3x = 6 × 4 3x = 24 x = 24 ÷ 3 x = 8 |
שלב 5: בדיקה ✓
| 3/6 = 4/8? 1/2 = 1/2 ✓ נכון! |
תשובה: 8
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.