📖 גאומטריה של המישור - יחסים במשולשים דומים

גאומטריה של המישור

דף 9: יחסים במשולשים דומים

🎯 מה נלמד בדף הזה?

כשמשולשים דומים עם יחס דמיון k, מה קורה ל:

📏 ההיקפים - מה היחס ביניהם?
📐 השטחים - מה היחס ביניהם?
📍 הקווים המיוחדים - גבהים, תיכונים, חוצי זווית?

⭐ משפט 1: יחס ההיקפים

במשולשים דומים, יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון.

P'/P = k

🤔 למה זה הגיוני?

היקף = סכום הצלעות. אם כל צלע גדולה פי k, אז גם הסכום גדול פי k!

💡 דוגמה:
משולש קטן: צלעות 3, 4, 5 → היקף = 12
יחס דמיון k = 2
משולש גדול: צלעות 6, 8, 10 → היקף = 24
יחס ההיקפים: 24/12 = 2 = k ✓

⭐ משפט 2: יחס השטחים

במשולשים דומים, יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון.

S'/S = k²

🤔 למה k בריבוע ולא k?

שטח = בסיס × גובה / 2. גם הבסיס וגם הגובה גדלים פי k, לכן:

S' = (k × בסיס) × (k × גובה) / 2 = k² × S

💡 דוגמה:
משולש קטן: שטח = 6
יחס דמיון k = 3
משולש גדול: שטח = 6 × 3² = 6 × 9 = 54

✏️ דוגמה: חישוב שטח והיקף

שאלה: שני משולשים דומים.
היקף המשולש הקטן = 20 ס"מ, שטחו = 15 סמ"ר.
יחס הדמיון k = 4.
מצאו את ההיקף והשטח של המשולש הגדול.

פתרון:

היקף: P' = k × P = 4 × 20 = 80 ס"מ

שטח: S' = k² × S = 4² × 15 = 16 × 15 = 240 סמ"ר

⭐ משפט 3: יחס הקווים המיוחדים

במשולשים דומים:

1. יחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון (k)
2. יחס תיכונים מתאימים שווה ליחס הדמיון (k)
3. יחס חוצי זוויות מתאימות שווה ליחס הדמיון (k)

🤔 למה k ולא k²?

גובה, תיכון וחוצה זווית הם קטעים (אורכים) - לא שטחים!
אורכים גדלים פי k, שטחים גדלים פי k².

📊 טבלת סיכום: יחסים במשולשים דומים

גודל	יחס	דוגמה (k=3)
צלעות	k	צלע 4 → צלע 12
גבהים	k	גובה 5 → גובה 15
תיכונים	k	תיכון 6 → תיכון 18
חוצי זווית	k	חוצה 4 → חוצה 12
היקפים	k	היקף 15 → היקף 45
שטחים	k²	שטח 10 → שטח 90

🔑 כלל הזהב:
אורכים (1D) → יחס k
שטחים (2D) → יחס k²

🌍 דוגמה מהחיים: הגדלת תמונה

יש לכם תמונה בגודל 4×6 ס"מ ואתם רוצים להגדיל אותה פי 3.

מה יהיו המידות החדשות?
4×3 = 12 ס"מ, 6×3 = 18 ס"מ → תמונה 12×18 ס"מ

כמה נייר צריך?
שטח מקורי: 4×6 = 24 סמ"ר
שטח חדש: 12×18 = 216 סמ"ר = 24 × 9 = 24 × 3²

→ צריך פי 9 יותר נייר (לא פי 3!)

📝 סיכום דף 9 - יחסים בדמיון

היקפים: יחס k (כמו הצלעות)

קווים מיוחדים: יחס k (גבהים, תיכונים, חוצי זווית)

שטחים: יחס k² (ריבוע יחס הדמיון!)

זכרו: אורך → k, שטח → k²

דוגמאות פתורות

📐 משפט תאלס:
שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית
מקצים עליהם:

הצג פתרון

קטעים פרופורציוניים

✓ נכונה

קטעים שווים

קטעים אקראיים

קטעים הפוכים

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהו קטע אמצעים? 🔍

קטע אמצעים ✨

קטע המחבר את
אמצעי שני צלעות
במשולש

שלב 2: התמונה 📊

במשולש ABC:
D אמצע AB, E אמצע AC
DE הוא קטע אמצעים

שלב 3: תכונות 💭

2 תכונות חשובות:

🔹 DE || BC (מקביל לצלע השלישית)
🔹 DE = ½BC (חצי מהצלע השלישית)

תשובה: הקטע המחבר אמצעי שתי צלעות

📐 משפט תאלס:
שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית
מקצים עליהם:

הצג פתרון

א קטעים פרופורציוניים ✓ נכונה

ב קטעים שווים

ג קטעים אקראיים

ד קטעים הפוכים

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משפט תאלס 🔍

משפט תאלס ✨

שני ישרים מקבילים
החותכים שוקי זווית

מקצים עליהם
קטעים פרופורציוניים

שלב 2: שרטוט 📊

שלב 3: משמעות פרופורציה 💭

פרופורציה פירושה:

🔹 היחס בין הקטעים על שוק אחד
🔹 שווה ליחס בין הקטעים על השוק השני

נוסחה:
a/b = c/d

או:
a/c = b/d

תשובה: קטעים פרופורציוניים

🎯 חישוב:
שני ישרים מקבילים חותכים שוקי זווית.
על שוק אחד: 3 ו-6.
על השוק השני: 4 ו-x.
מה x?

הצג פתרון

א 8 ✓ נכונה

ב 6

ג 12

ד 10

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנתונים 🔍

נתון:
🔹 שוק 1: קטעים 3 ו-6
🔹 שוק 2: קטעים 4 ו-x
🔹 x = ?

שלב 2: שרטוט 📊

שלב 3: משפט תאלס 📐

3/6 = 4/x

או:

3/4 = 6/x

שלב 4: חישוב 💭

3/6 = 4/x

3x = 6 × 4

3x = 24

x = 24 ÷ 3

x = 8

שלב 5: בדיקה ✓

3/6 = 4/8?

1/2 = 1/2 ✓

נכון!

תשובה: 8

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.