שלב 1: מוצאים פונקציה קדומה

\(F(x) = x^2\)

שלב 2: מציבים גבולות

\(\Big[ x^2 \Big]_1^4 = F(4) - F(1)\)

\(= 4^2 - 1^2\)

\(= 16 - 1 = 15\)

שלב 1: מוצאים נקודות חיתוך עם ציר x

\(x^2 - 4 = 0\)

\(x = \pm 2\)

שלב 2: בודקים סימן בכל קטע

בקטע \([-2, 2]\): הפונקציה שלילית (מתחת לציר)

בקטע \([2, 3]\): הפונקציה חיובית (מעל הציר)

שלב 3: מחשבים כל חלק בנפרד

חלק 1 (שלילי, לוקחים ערך מוחלט):

\(\left| \int_{-2}^{2} (x^2-4) \, dx \right| = \left| \Big[ \frac{x^3}{3} - 4x \Big]_{-2}^{2} \right|\)

\(= \left| \left(\frac{8}{3} - 8\right) - \left(\frac{-8}{3} + 8\right) \right|\)

\(= \left| -\frac{16}{3} - \frac{16}{3} \right| = \left| -\frac{32}{3} \right| = \frac{32}{3}\)

חלק 2 (חיובי):

\(\int_{2}^{3} (x^2-4) \, dx = \Big[ \frac{x^3}{3} - 4x \Big]_{2}^{3}\)

\(= \left(9 - 12\right) - \left(\frac{8}{3} - 8\right)\)

\(= -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}\)

שלב 4: סוכמים

\(\text{שטח} = \frac{32}{3} + \frac{7}{3} = \frac{39}{3} = 13\)

שלב 1: מוצאים נקודות חיתוך

\(x^2 = x\)

\(x^2 - x = 0\)

\(x(x-1) = 0\)

\(x = 0\) או \(x = 1\)

שלב 2: מזהים מי למעלה

בקטע \([0, 1]\): נבדוק ב-\(x = 0.5\)

\(f(0.5) = 0.25\), \(g(0.5) = 0.5\)

לכן \(g(x) = x\) למעלה

שלב 3: מחשבים

\(\text{שטח} = \int_0^1 (x - x^2) \, dx\)

\(= \Big[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \Big]_0^1\)

\(= \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - (0)\)

\(= \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}\)

1. החלפת גבולות:

\(\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx\)

2. גבולות שווים:

\(\int_a^a f(x) \, dx = 0\)

3. חיבור קטעים (אדיטיביות):

\(\int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx\)

4. לינאריות:

\(\int_a^b [f(x) + g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx\)

\(\int_a^b k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int_a^b f(x) \, dx\)

❌ שגיאה 1: לשכוח שהשטח יכול להיות שלילי

✓ נכון: לבדוק איפה הפונקציה חיובית/שלילית

❌ שגיאה 2: להציב גבולות בסדר הפוך

✓ נכון: תמיד \(F(b) - F(a)\) (עליון פחות תחתון)

❌ שגיאה 3: לכתוב +C באינטגרל מסוים

✓ נכון: באינטגרל מסוים אין צורך ב-C

❌ שגיאה 4: לשכוח לבדוק מי למעלה בשטח בין פונקציות

✓ נכון: תמיד עליונה פחות תחתונה

1️⃣ לשרטט!

תמיד לשרטט את הפונקציה כדי להבין את השטח

2️⃣ נקודות חיתוך

למצוא איפה הפונקציה חותכת את ציר x או את הפונקציה השנייה

3️⃣ לחלק לקטעים

אם יש שינוי סימן - לפצל את האינטגרל

4️⃣ לבדוק תוצאה

שטח חייב להיות חיובי! אם יצא שלילי - משהו לא בסדר