התפלגות נורמלית - מבוא להתפלגות נורמלית ותכונותיה
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 התפלגות נורמלית - מבוא להתפלגות נורמלית ותכונותיה
התפלגות נורמלית
מבוא להתפלגות נורמלית ותכונותיה
📊 משתנה בדיד לעומת משתנה רציף
משתנה בדיד
בין שני ערכים סמוכים אין ערכים נוספים
דוגמאות: מספר ילדים, מספר מכוניות
1 ילד, 2 ילדים, 3 ילדים...
משתנה רציף
בין שני ערכים יש אינסוף ערכים אפשריים
דוגמאות: גובה, משקל, טמפרטורה
1.70מ', 1.705מ', 1.7052מ'...
🔔 מהי התפלגות נורמלית?
ההתפלגות הנורמלית היא ההתפלגות המוכרת ביותר בעולם, ומתארת תופעות רבות בטבע ובחברה.
נקראת גם: "עקומת הפעמון" או "התפלגות גאוסיאנית"
💡 דוגמאות לתופעות שמתפלגות נורמלית:
- גובה אנשים באוכלוסייה
- משקל תינוקות בלידה
- ציוני מבחנים סטנדרטיים (פסיכומטרי, בגרות)
- טמפרטורת גוף
- טעויות מדידה
⭐ תכונות ההתפלגות הנורמלית
1️⃣ סימטרית
ההתפלגות סימטרית סביב הממוצע - תמונת מראה מושלמת
2️⃣ ממוצע = חציון = שכיח
כל מדדי המרכז נמצאים באותה נקודה - במרכז ההתפלגות
3️⃣ צפיפות יורדת מהמרכז
ככל שמתרחקים מהממוצע, ריכוז הערכים הולך ויורד
4️⃣ השטח הכולל שווה ל-100%
השטח בין העקומה לציר x שווה ל-1 (או 100%)
5️⃣ 50% מכל צד
50% מהערכים מעל הממוצע, 50% מתחתיו
📐 שני הפרמטרים שמגדירים התפלגות נורמלית
כל התפלגות נורמלית מוגדרת על ידי שני פרמטרים בלבד:
\(\mu\) (או \(\bar{x}\))
הממוצע
קובע את מיקום ההתפלגות על ציר x
\(\sigma\) (או S)
סטיית התקן
קובעת את רוחב הפעמון (הפיזור)
ככל שסטיית התקן גדולה יותר → הפעמון רחב ונמוך יותר
ככל שסטיית התקן קטנה יותר → הפעמון צר וגבוה יותר
🔄 כלל הסימטריה
שטחים סימטריים ביחס לממוצע - שווים זה לזה!
💡 דוגמה:
אם הממוצע הוא 100:
- השטח בין 95 ל-100 = השטח בין 100 ל-105
- השטח מתחת ל-90 = השטח מעל 110
📈 השטח כהסתברות/אחוז
💡 הקשר החשוב:
בהתפלגות נורמלית, השטח מתחת לעקומה מייצג:
- אחוז מהאוכלוסייה
- הסתברות/סיכוי לקבל ערך מסוים
- שכיחות יחסית
✏️ דוגמה:
אם השטח בין גובה 170 ל-180 ס"מ הוא 0.30 (או 30%), זה אומר:
- 30% מהאוכלוסייה בגובה בין 170 ל-180
- ההסתברות שאדם אקראי יהיה בגובה זה היא 0.30
🔢 המרות:
| צורה | דוגמה |
|---|---|
| שבר עשרוני | 0.30 |
| אחוזים | 30% |
| הסתברות | P = 0.30 |
📊 כלל 68-95-99.7 (הכלל האמפירי)
| טווח | אחוז הערכים |
|---|---|
| \(\mu \pm 1\sigma\) | ≈ 68% |
| \(\mu \pm 2\sigma\) | ≈ 95% |
| \(\mu \pm 3\sigma\) | ≈ 99.7% |
📝 סיכום
התפלגות נורמלית = עקומת פעמון סימטרית
ממוצע = חציון = שכיח (במרכז)
שטח = הסתברות = אחוז
כלל 68-95-99.7
דוגמאות פתורות
🧮 ציון תקן מציון:
במבחן בציון מספרי הממוצע הוא 70 וסטיית התקן היא 10. תלמיד קיבל ציון 85.
מהו ציון התקן שלו?
הצג פתרון
חישוב ציון תקן:
\(z = \dfrac{X-\mu}{\sigma} = \dfrac{85-70}{10} = \dfrac{15}{10} = 1.5\).
בשפה יומיומית: הציון של התלמיד גבוה מהממוצע בסטיית תקן וחצי.
📉 ציון מתחת לממוצע:
באותו מבחן (μ=70, σ=10) תלמידה קיבלה 62.
מהו ציון התקן שלה?
הצג פתרון
\(z = \dfrac{62-70}{10} = \dfrac{-8}{10} = -0.8\).
שפה יומיומית: היא 0.8 סטיות תקן מתחת לממוצע – קצת נמוך מהממוצע, אבל לא רחוק מאוד.
🔄 מ-z לציון:
ידוע שציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 80 וסטיית תקן 6.
תלמיד קיבל ציון תקן \(z = 1\).
מה הציון המקורי שלו?
הצג פתרון
הופכים את הנוסחה:
\(X = \mu + z\sigma = 80 + 1\cdot6 = 86\).
שפה יומיומית: "סטיית תקן אחת מעל הממוצע" פירושו להוסיף סטיית תקן אחת לציון הממוצע.
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.